2023-2024学年上海市浦东新区新川中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市浦东新区新川中学高一（上）期末数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知a，b都是自然数，则“a+b是偶数”是“a，b都是偶数”的条件．( )
A. 充分而不必要B. 必要而不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
2.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A. f(x)=−lnxB. f(x)=12xC. f(x)=−1xD. f(x)=3|x−1|
3.若实数x，y满足x2+4y2−xy=3，则成立．( )
A. xy≥1B. x2+4y2≤4C. x+2y≥− 2D. x+2y≤ 2．
4.已知非空集合A、B满足：A∪B=R，A∩B=⌀，已知函数f(x)=−x2,x∈A−2x+1,x∈B，对于下列两个命题：①存在无穷多非空集合对(A,B)，使得方程f(x)=−2无解；②存在唯一的非空集合对(A,B)，使得f(x)为偶函数.下列判断正确的是( )
A. ①正确，②错误B. ①错误，②正确C. ①②都正确D. ①②都错误
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.已知全集U=R，集合A={x||x|>0}，则A−=______．
6.函数y=lg21+x1−x的定义域是______．
7.已知x>0，则f(x)=x+2x的最小值为______ ．
8.方程x2+x+c=0的两个实数根为x1、x2，若x12x2+x22x1=3，则实数c=______．
9.若幂函数的图像经过点(4,2)，则此幂函数为y= ______ ．
10.若x>0时，指数函数y=(m2−3)x的值总大于1，则实数m的取值范围是______．
11.已知f(x)是定义域为R的奇函数，且x≤0时，f(x)=ex−1，则f(x)的值域是______．
12.已知tanα=−34，则sinα= ______ ．
13.函数f(x)=lg3(−x2+x)的严格增区间为______ ．
14.关于x的方程|2x−3|+|−x+2|=|x−1|的解集为______．
15.设p>0，q>0且满足lg16p=lg20q=lg25(p+q)，则pq=______．
16.设函数f(x)的定义域为R，满足f(x+1)=2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)=x(x−1).若对任意x∈(−∞,m]，都有f(x)≥−89，则m的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知角α的终边过点P(2t,−3t)(t≠0)，求角α的正弦、余弦，正切及余切值．
18.(本小题10分)
已知函数y=f(x)，其中f(x)=4x+k2x(k∈R)．
(1)是否存在实数k，使函数y=f(x)是奇函数？若存在，请写出证明．
(2)当k=1时，判断y=f(x)在(0,+∞)上的单调性并证明．
19.(本小题10分)
已知全集为实数集R，集合M={x|116≤22x≤256}，N={x|lg5(x2−4x)≥1}，求：
(1)M∩N；
(2)若对任意的x∈(M∩N)，使得a+1>(12)xa成立，求实数a的取值范围．
20.(本小题10分)
环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速80km/h.经多次测试得到该汽车每小时耗电量M(单位：Wh)与速度v(单位：km/h)的数据如下表所示：
为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：
①M1(v)=140v3+bv2+cv；②M2(v)=1000⋅23v+a；③M3(v)=300lgav+b．
(1)当0≤v≤80时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型(需说明理由)，并求出相应的函数解析式；
(2)现有一辆同型号电动汽车从A地行驶到B地，其中高速上行驶200km，国道上行驶30km，若高速路上该汽车每小时耗电量N(单位：Wh)与速度v(单位：km/h)的关系满足N(v)=2v2−10v+200(80≤v≤120)，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？
21.(本小题14分)
已知函数f(x)=2x(x∈R)，记g(x)=f(x)−f(−x)．
(1)解不等式：f(2x)−f(x)≤6；
(2)设k为实数，若存在实数x0∈(1,2]，使得g(2x0)=k⋅g2(x0)−1成立，求k的取值范围；
(3)记h(x)=f(2x+2)+a⋅f(x)+1(其中a为实数)，若对于任意的x∈[0,1]，均有h(x)⩾12，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：令a=1，b=3，满足a+b是偶数，但a，b都不是偶数，故充分性不成立，
a，b都是偶数，
则a+b是偶数，故必要性成立，
故“a+b是偶数”是“a，b都是偶数”的必要不充分条件．
故选：B．
根据已知条件，依次讨论充分性，必要性，即可求解．
本题主要考查充分条件与必要条件的定义，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：对于A，因为y=lnx在(0,+∞)上单调递增，y=−x在(0,+∞)上单调递减，
所以f(x)=−lnx在(0,+∞)上单调递减，故A错误；
对于B，因为y=2x在(0,+∞)上单调递增，y=1x在(0,+∞)上单调递减，
所以f(x)=12x在(0,+∞)上单调递减，故B错误；
对于C，因为y=1x在(0,+∞)上单调递减，y=−x在(0,+∞)上单调递减，
所以f(x)=−1x在(0,+∞)上单调递增，故C正确；
对于D，因为f(12)=3|12−1|=312= 3，f(1)=3|1−1|=30=1，f(2)=3|2−1|=3，
显然f(x)=3|x−1|在(0,+∞)上不单调，D错误．
故选：C．
利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可．
本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵x2+4y2−xy=3，∴x2+4y2=xy+3，
又∵x2+4y2≥2x⋅2y=4xy，当且仅当x=2y时，取等号，
∴xy+3≥4xy，即xy≤1，故A错误，
∴x2+4y2=xy+3≤4，故B正确，
∴(x+2y)2=x2+4xy+4y2=3+5xy≤8，
∴−2 2≤x+2y≤2 2，故CD错误，
故选：B．
由题意可知x2+4y2=xy+3，由基本不等式可得x2+4y2≥2x⋅2y=4xy，当且仅当x=2y时，取等号，代入可得xy≤1，进而可判断AB，再结合(x+2y)2=x2+4xy+4y2=3+5xy可判断CD．
本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：根据题意，设∃a∈R，A=[a,+∞)，B=(−∞,a)，
易知当x∈B时，f(x)>−2a+1，当x∈A时，f(x)≤−a2，
令−2a+1≥−2−a2<−2，解得 2当A={x|x≠0}，B={x|x=0}时，显然函数f(x)为偶函数；
当A={x|x≠1}，B={x|x=1}时，由−x2=−2x+1，解得x=1，故函数f(x)此时也为偶函数，故②错误．
故选：A．
根据题意，根据分段函数的性质，分析①②是否正确，即可得答案．
本题考查分段函数的性质，涉及函数的奇偶性，属于基础题．
5.【答案】{0}
【解析】解：∵全集U=R，集合A={x||x|>0}={x|x≠0}，
∴A−={0}．
故答案为：{0}．
先求出集合A，再利用补集的运算求解．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
6.【答案】(−1,1)
【解析】解：函数y=lg21+x1−x的定义域满足1+x1−x>0，
解得−1∴函数y=lg21+x1−x的定义域是(−1,1)．
故答案为：(−1,1)．
函数y=lg21+x1−x的定义域满足1+x1−x>0，由此能求出结果．
本题考查对数函数的定义域的求法，是基础题，解题时要注意分式不等式的合理运用．
7.【答案】2 2
【解析】解：因为x>0，所以f(x)=x+2x≥2 x⋅2x=2 2，
当且仅当x=2x，即x= 2时，等号成立．
故答案为：2 2．
利用基本不等式即可得解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
8.【答案】−3
【解析】解：∵方程x2+x+c=0的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2=−1，x1x2=c，
∵x12x2+x22x1=3，∴x1x2(x1+x2)=3，
∴−c=3，∴c=−3．
故答案为：−3．
由根与系数的关系，可得x1+x2=−1，x1x2=c，进而可求c．
本题考查函数的零点与方程根的关系，属基础题．
9.【答案】y=x12,x∈[0,+∞)
【解析】解：由题意，设幂函数y=xα，
则2=4α，解得α=12，
所以y=x12,x∈[0,+∞)．
故答案为：y=x12,x∈[0,+∞)．
设幂函数y=xα，将点(4,2)代入，即可求解．
本题主要考查幂函数的概念，属于基础题．
10.【答案】(−∞,−2)∪(2,+∞)
【解析】解：若x>0时，指数函数y=(m2−3)x的值总大于1，则m2−3>1，解得m<−2或m>2．
则实数m的取值范围是(−∞,−2)∪(2,+∞)．
故答案为：(−∞,−2)∪(2,+∞)．
根据指数函数a>1时，函数单调递增，可得m2−3>1，求解即可．
本题考查指数函数性质的应用，属于基础题．
11.【答案】(−1,1)
【解析】解：∵f(x)是定义域为R的奇函数，且x≤0时，f(x)=ex−1，
∴f(x)=−1ex+1,x>0ex−1，
∴当x>0时，f(x)=−1ex+1∈(0,1)，
当x≤0时，f(x)=ex∈(−1,0]，
则f(x)的值域是(−1,1)．
故答案为：(−1,1)．
推导出f(x)=−1ex+1,x>0ex−1，由此能求出f(x)的值域．
本题考查函数的定义域和函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】−35或35
【解析】解：因为tanα=−34<0，则角α为第二或第四象限角，
若角α为第二象限角，则tanα=sinαcsα=−34sin2α+cs2α=1sinα>0，解得sinα=35；
若角α为第四象限角，则tanα=sinαcsα=−34sin2α+cs2α=1sinα<0，解得sinα=−35．
综上所述，sinα=±35．
故答案为：−35或35．
对角α终边的位置进行分类讨论，结合同角三角函数的基本关系可求得sinα的值．
本题主要考查了同角基本关系的应用，属于中档题．
13.【答案】(0,12]
【解析】解：根据题意，对于函数f(x)=lg3(−x2+x)，
有−x2+x>0，即x2−x<0，解得0所以，函数f(x)的定义域为(0,1)，
因为内层函数u=−x2+x的增区间为(0,12]，减区间为[12,1),
外层函数y=lg3u在其定义域上为增函数，
所以，函数函数f(x)=lg3(−x2+x)的严格增区间为(0,12]．
故答案为：(0,12]．
根据题意，先求出函数f(x)的定义域，利用复合函数法可求得函数f(x)的单调递增区间，即可得答案．
本题考查复合函数的单调性，涉及对数函数的性质，属于基础题．
14.【答案】[32,2]
【解析】解：易知方程中三个绝对值对应的零点分别为：1，32，2，则：
①x≤1时，原方程可化为3−2x+2−x=1−x，解得x=2，不符合题意，舍去；
②1③32④x>2时，原方程可化为2x−3+x−2=x−1，解得x=2，此时不符合题意，
综上可知，原方程的解集为{x|32≤x≤2}.
故答案为：[32,2].
先求出每个绝对值对应的零点，然后利用零点分区间法求解．
本题考查零点分区间法解含绝对值的方程，考查学生的逻辑推理、数学运算等核心素养，属于中档题．
15.【答案】 5−12
【解析】解：设lg16p=lg20q=lg25(p+q)=t，
则p=16t，q=20t，p+q=25t，即16t+20t=25t，pq=(1620)t=(45)t>0，
将方程16t+20t=25t两边同时除以20t，得(45)t+1=(54)t，即(45)2t+(45)t−1=0，
则(45)t=−1+ 52，即(45)t= 5−12．
故答案为： 5−12．
设lg16p=lg20q=lg25(p+q)=t，对数式化为指数式，转化成关于pq的方程即可．
本题考查指数式和对数式的转化属于中档题．
16.【答案】(−∞,73]
【解析】解：因为f(x+1)=2f(x)，∴f(x)=2f(x−1)，
∵x∈(0,1]时，f(x)=x(x−1)∈[−14,0]，
∴x∈(1,2]时，x−1∈(0,1]，f(x)=2f(x−1)=2(x−1)(x−2)∈[−12,0]；
∴x∈(2,3]时，x−1∈(1,2]，f(x)=2f(x−1)=4(x−2)(x−3)∈[−1,0]，
当x∈(2,3]时，由4(x−2)(x−3)=−89解得x=73或x=83，
若对任意x∈(−∞,m]，都有f(x)≥−89，则m≤73．
故答案为：(−∞,73].
由f(x+1)=2f(x)，得f(x)=2f(x−1)，分段求解析式，结合图象可得m的取值范围．
本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．
17.【答案】解：根据三角函数的定义可知，r= (2t)2+(−3t)2= 13|t|，
若t>0时，sinα=−3t 13|t|=−3 13，csα=2t 13|t|=2 13，
tanα=−3t2t=−32，ctα=2t−3t=−23，
同理若t<0时，sinα=3 13，csα=−2 13，tanα=−32，ctα=−23
【解析】根据三角函数的定义，求得角α的正弦、余弦和正切值及余切值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
18.【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=4x+k2x定义域为R，
若f(x)是奇函数，则f(0)=1+k=0，解得k=−1，
当k=−1时，f(x)=4x−12x=2x−2−x，
f(−x)=2−x−2x=−(2x−2−x)=−f(x)，f(x)为奇函数，符合题意，
故k=−1．
(2)f(x)是R上的增函数，
证明如下：
当k=1时，f(x)=4x+12x=2x+2−x，
设任意x1，x2∈(0,+∞)且0f(x1)−f(x2)=(2x1+2−x1)−(2x2+2−x2)
=(2x1−2x2)+(2−x1−2−x2)=(2x1−2x2)+(12x1−12x2)
=(2x1−2x2)+(2x2−2x12x12x2)=(2x1−2x2)(1−12x12x2)
=(2x1−2x2)(2x1+x2−12x12x2)，
∵0∴x1+x2>0,2x1+x2>1，∴2x1+x2−1>0，
则f(x1)−f(x2)<0
∴f(x1)∴f(x)是在(0,+∞)上是单调增函数．
【解析】(1)f(x)是奇函数，利用f(0)=0解出k的值，并检验即可．
(2)结合单调性的定义即可证明．
本题考查函数奇偶性、单调性的判定和证明，涉及利用函数的奇偶性求参数的取值范围，属于基础题．
19.【答案】解：(1)因为M={x|116≤22x≤256}={x|2−4≤22x≤28}={x|−4≤2x≤8}={x|−2≤x≤4}，
N={x|lg5(x2−4x)≥1}={x|x2−4x≥5}={x|x≤−1或x≥5}，
所以，M∩N=[−2,−1]．
(2)当x∈(M∩N)时，即当−2≤x≤−1时，2≤(12)x≤4，
因为对任意的x∈(M∩N)，使得a+1>(12)xa成立，
当a>0时，则有a(a+1)>(12)x，即a(a+1)>4，因为a>0，解得a> 17−12，
当a<0时，则有a(a+1)<(12)x，即a(a+1)<2，因为a<0，解得−2综上所述，实数a的取值范围是(−2,0)∪( 17−12,+∞)．
【解析】(1)求出集合M、N，利用交集的定义可求得集合M∩N；
(2)求出(12)x在x∈(M∩N)的取值范围，分a>0、a<0两种情况讨论，根据不等式恒成立可得出关于实数a的不等式，综合可得出实数a的取值范围．
本题主要考查集合的运算，考查转化能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)对于③:M3(v)=300lgav+b，当v=0时，它无意义，故不符合题意，
对于②:M2(v)=1000⋅(23)v+a，该函数为减函数，故不符合题意，
故选①:M1(v)=140v3+bv2+cv，
由表中数据可得，140×103+b×102+c×10=1325140×403+b×402+c×40=4400，解得b=−2c=150，
∴M(v)=140v3−2v2+150v．
(2)高速路段长200km，所用时间为200vh，
则所耗电量为f(v)=200v⋅N(v)=200v⋅(2v2−10v+200)=400v+40000v−2000=400(v+100v)−2000，
由对勾函数的性质可知，f(v)在[80,120]上单调递增，
∴f(v)min=f(80)=400(80+10080)−2000=30500Wh，
国道路段30km，所用时间为30vh，
则所耗电量为g(v)=30v⋅M(v)=30v(140v3−2v2+150v)=34v2−60v+4500，
∵0≤v≤80，∴当v=40时，g(x)min=g(40)=3300Wh，
∴当这辆车在高速上的行驶速度为80km/h，在国道上的行驶速度为40km/h时，该车从A地行驶到B地的总耗电量最少，最少为30500+3300=33800Wh．
【解析】本题主要考查了函数的实际应用，考查了对勾函数和二次函数的性质，属于中档题．
(1)对于③M3(v)=300lgav+b，当v=0时，它无意义，故不符合题意；对于②M2(v)=1000⋅(23)v+a，该函数为减函数，故不符合题意，故选①M1(v)=140v3+bv2+cv，再利用待定系数法即可求解．
(2)根据已知条件，结合对勾函数的性质，以及二次函数的性质即可求解．
21.【答案】解：(1)函数f(x)=2x，f(2x)−f(x)≤6，
即为22x−2x−6≤0，即为(2x+2)(2x−3)≤0，
即有2x≤3，解得x≤lg23，
即解集为(−∞,lg23]；
(2)存在实数x0∈(1,2]，使得g(2x0)=k⋅g2(x0)−1成立，
即为1+22x0−2−2x0=k(2x0−2−x0)2，
设t=2x0−2−x0，在(1,2]递增，可得32(2x0+2−x0)2=22x0+2−2x0+2=t2+4，
即有1+t 4+t2=kt2，
则k=1t2+ 4t2+1，
设m=1t2，m∈[16225,49)，
即有y=m+ 4m+1，在m∈[16225,49)递增，
可得y∈[271225,199),
即有k∈[271225,199),
(3)h(x)=f(2x+2)+a⋅f(x)+1
=22x+2+a⋅2x+1=4(2x)2+a⋅2x+1，
令v=2x，∵x∈[0,1]，∴v∈[1,2]，
∴h(x)=φ(v)=4v2+av+1．
若对于任意的x∈[0,1]，均有h(x)⩾12，
即对任意v∈[1,2]，φ(v)⩾12．
当−a8⩽1，即a⩾−8时，φ(v)min =5+a⩾12，解得a⩾−92，综上，a⩾−92；
当−a8⩾2，即a⩽−16时，φ(v)min =17+2a⩾12，解得a⩾−334，所以a无解；
当1<−a8<2，即−16故a的取值范围为[−92,+∞)．
【解析】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，二次函数闭区间上的最值以及单调性的应用．(1)函数f(x)=2x，f(2x)−f(x)≤6，即为22x−2x−6≤0，即为(2x+2)(2x−3)≤0，可得解集；
(2)根据g(2x0)=k⋅g2(x0)−1，利用换元法，求解最值，即可求解k的取值范围；
(3)根据h(x)=f(2x+2)+a⋅f(x)+1(其中a为实数)，x∈[0,1]，均有h(x)⩾12，令v=2x，即对任意v∈[1,2]，φ(v)⩾12.分类讨论即可求解a的范围．v
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