北师大版七年级下学期期中考试培优卷（范围：整式的乘法、相交线与平行线、变量之间的关系）-【学霸满分】2023-2024学年七年级数学下册重难点专题提优训练（北师大版）

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若，则的补角的大小是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求一个补角的度数，根据度数之和为180度的两个角互补进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴的补角的大小是，
故选：B．
2．一粒石子落入湖面，形成一个如圆一样的涟漪，在圆面积S与半径r的关系式中，变量是（ ）
A．S，rB．S，C．，rD．S，2
【答案】A
【分析】本题考查了常量和变量的定义；在某一变化过程中，数值发生改变的量叫做变量，数值不发生改变的量叫做常量，依据定义即可判断．熟练理解变量的定义是解题的关键．
【详解】解：关系式中，常量是，变量是，，
故选：．
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了同底数幂乘法、合并同类项、积的乘方、同底数幂除法，利用相关法则逐一计算即可．
【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算正确，符合题意；
故选：D．
4．如图是小强同学一次立足跳远的示意图，小强从点B起跳，落到了点A处，若米，则小强的跳远成绩（ ）

A．米B．米C．米D．米
【答案】A
【分析】本题考查了垂线段最短的定理，小强的跳远成绩是按照垂线段测量，根据垂线段最短可得到结果，准确理解垂线段最短的定义是解题的关键．
【详解】解：由题可得，小强的跳远成绩是按照垂线段测量，
∵米，
∴按照垂线段最短定理可得小强的跳远成绩一定小于米，
选项中只有选项A满足，
故选：A．
5．经测算，一个水分子的直径约为0.0000000004m，数据0.0000000004用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．
【详解】解：．
故选B．
6．下列说法中正确的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．若，那么，，互为补角
C．在同一平面内，不重合的两条直线不是平行就是相交
D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
【答案】C
【分析】此题考查了平行线的性质，互补的定义，平行公理及推论．根据平行线的性质，垂线的性质，互补的定义，平行公理及推论求解即可．
【详解】解：A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项不符合题意；
B、如果两个角的和为，则这两个角互为补角，故本选项不符合题意；
C、在同一平面内，不重合的两条直线不是平行就是相交，故本选项符合题意；
D、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故本选项不符合题意；
故选：C．
7．某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如表）：下列说法错误的是（ ）
A．在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速
B．在一定温度范围内，温度越高，声速越快
C．当空气温度为时，声音可以传播
D．当温度升高到时，声速为
【答案】D
【分析】根据图表信息，判断解答即可，本题考查了函数的理解，函数的计算，读懂题意，正确处理信息是解题的关键．
【详解】A．在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速，正确，不符合题意；
B．在一定温度范围内，温度越高，声速越快，正确，不符合题意；
C．当空气温度为时，声音可以传播，正确，不符合题意；
D．当温度升高到时，声速为，错误，符合题意；
故选D．
8．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查了有理数比较大小、负整数指数幂、零指数幂的运算，根据运算法则计算后比较大小即可．
【详解】解：∵，，，，
∴
故选：B．
9．如图，已知，与相交于点C，连接．则下列结论：①；②；③与是同旁内角；④；⑤若平分，则．其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③④⑤C．①③④D．②④⑤
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，同旁内角的定义，根据平行线的性质即可判断②④；根据同旁内角的定义即可判断③；由角平分线的定义得到，再由即可判断⑤；根据现有条件无法证明，即可判断①．
【详解】解：①根据现有条件无法证明，故①错误；
②∵，
∴，故②正确；
③与是同旁内角，故③正确；
④∵，
∴，
∴，故④正确；
⑤若平分，则，则，故⑤正确；
故选：B．
10．骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢和免疫力.如图是骑行爱好者老刘某天骑自行车行驶路程（km）与时间（h）的关系图象，观察图象得到下列信息，其中错误的是（ ）

A．点表示老刘出发，他一共骑行B．老刘实际骑行时间为
C．老刘的骑行速度为D．老刘的骑行在的速度比的速度慢
【答案】B
【分析】仔细观察图象，结合路程、速度、时间的关系逐项判断即可．
【详解】解：由图可知，点所对应的路程为80km，时间为5h，即表示出发5h，老刘共骑行80km，故A正确，不符合题意；
内的路程没有变化，
老刘实际骑行时间为，故B错误，符合题意；
老刘骑行的路程为30km，
的速度为，故C正确，不符合题意；
骑行的路程为，
的速度为，
，
老刘的骑行在的速度比的速度慢，故D正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了用图象表示变量之间的关系，读懂题意，从所给的图象中获取解题所需要的信息是解题的关键．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11．计算：．
【答案】/
【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的计算法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12．如图，射线平分，且，若，则．
【答案】/度
【分析】本题考查了角的平分线，平行线的性质，根据射线平分，得到；根据，得，结合，计算即可．
【详解】∵射线平分，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13．已知，，且，则的值是．
【答案】1
【分析】
本题考查了同底数幂的乘法及其逆用、幂的乘方；由，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：1．
14．随着杭州亚运会的临近，吉祥物的生产也进入“白热化”阶段，某工厂每名缝纫工生产标准吉祥物的数量y（个）与生产天数x（天）之间的关系如下表：
则一名缝纫工生产240个标准的杭州亚运会吉祥物需要天．
【答案】8
【分析】本题考查变量之间的关系，先找出生产天数与生产数量两个变量的关系，并建立关系式，即可求得答案．
【详解】解：由题意可得生产天数x与生产数量y之间的关系式为：，
∴当时，，
∴天，
故答案为：8．
15．如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P．若，，则的度数是．
【答案】/45度
【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角定义，先分别求出和，再根据“两直线平行，内错角相等”求出和，即可得出答案．
【详解】∵，，
∴，．
∵，，
∴，，
∴．
故答案为：．
16．把加上一个单项式，使其成为一个完全平方式，这个单项式是．
【答案】或或或
【分析】
本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式得出结论即可．
【详解】解：∵，或 ，或 ，
∴或或或，
故答案为：或或或．
三、解答题（一）：本大题共4小题，每小题6分，共24分.
17．计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．
（1）利用同底数幂相乘、积的乘方、幂的乘方计算后再合并同类项即可；
（2）利用乘方、零指数幂、负整数指数幂计算后，再进行加减运算即可．
【详解】（1）解：
（2）
18．先化简，再求值：，其中.
【答案】
【分析】先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再根据多项式除单项式的法则进行计算，最后把a的值代入计算即可．
【详解】解：，
把代入得，．
【点睛】本题考查代数式求值、平方差公式和完全平方公式、多项式除单项式的法则，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
19．如图，直线与相交于点M，于点M，，．
(1)试说明：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了对顶角相等、垂直定义，熟练掌握相关性质是解题关键，
（1）设，证出，，即可证出结论；
（2）先求出，列方程解出x，即可求出结论．
【详解】（1）解：设 ，
∴，
∵ ，
∴，
∴， ，
∴；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴．
20．地表以下岩层的温度/与所处深度/有如下关系：
(1)上表中自变量x是______，因变量y是_______．
(2)请写出y与x的关系式．
(3)根据（2）中的关系式，估计地表以下7处岩层的温度．
【答案】(1)深度，温度
(2)
(3)
【分析】（1）由表格可知，上表中自变量x是深度，因变量y是温度；
（2）由表格可知，当深度增加1 ，温度增加35，可得，整理即可；
（3）将代入，计算求解即可．
【详解】（1）解：由表格可知，上表中自变量x是深度，因变量y是温度，
故答案为：深度，温度；
（2）解：由表格可知，当深度增加1 ，温度增加35，
∴，
∴y与x的关系式为；
（3）解：将代入得，
∴地表以下7处岩层的温度为．
【点睛】本题考查了自变量、因变量，用关系式表示变量间的关系，求函数值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.
21．如图，所有小正方形的边长都为1个单位长度，A、B、C都在格点上．
(1)过点A作直线的垂线，垂足为G；
(2)过点A作直线，垂足为A，直线交于点H；
(3)过点A作直线的平行线l；
(4)点A到直线的距离等于个单位长度．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)2
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，垂线，点到直线的距离等知识，解题的关键是理解垂线的定义，属于中考常考题型．
（1）根据垂线的定义作出图形即可；
（2）根据垂线的定义作出图形即可；
（3）根据平行线的定义作出图形即可；
（4）线段的长即为点A到直线的距离．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求．
（2）如图，直线即为所求．
（3）如图，直线l即为所求．
（4）解：线段的长即为点A到直线的距离是2，
故答案为：2．
22．若我们规定三角“”表示为：；方框“”表示为：．例如：．请根据这个规定解答下列问题：
(1)计算：；
(2)代数式为完全平方式，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是掌握完全平方公式．
（1）根据题目所给新定义的运算顺序和运算法则进行计算即可；
（2）先根据题目所给新定义的运算顺序和运算法则进行计算，再根据完全平方公式的特征即可解答．
【详解】（1）解：根据题意可得：
；
故答案为：；
（2）解：根据题意可得：
，
∵原式为完全平方式，
∴．
23．如图，某中学校园内有一块长为，宽为的长方形地块，学校计划在中间留一块长为，宽为的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化．
(1)求修建雕像的小长方形地块的面积；（用含，的代数式表示）
(2)求长方形地块的面积；（用含，的代数式表示）
(3)当，时，求绿化部分的面积．
【答案】(1)修建雕像的小长方形地块的面积为
(2)长方形地块的面积为
(3)绿化部分的面积108
【分析】本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式的应用，解题的关键是掌握多项式与多项式相乘的法则，单项式与多项式相乘的运算法则．
（1）利用长方形面积公式直接计算即可；
（2）利用长方形面积公式直接计算即可；
（3）先将阴影部分面积计算出来，再代值进行计算即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：修建雕像的小长方形地块的面积为：，
答：修建雕像的小长方形地块的面积为；
（2）解：根据题意得：长方形地块的面积为：，
答：长方形地块的面积为；
（3）解：由（1）（2）知修建雕像的小长方形地块的面积为，长方形地块的面积为，
则绿化部分的面积为：
；
当，时，，
答：绿化部分的面积108．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
24．如图，在四边形中，，，，．动点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时动点Q从点C出发，以相同的速度沿方向匀速运动，当点P运动到点A时，P，Q两点同时停止运动，连接．设点P的运动时间为．请解答下列问题：

(1)当t为何值时，？
(2)设三角形的面积为，求S与t之间的关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)10
(2)
(3)存在，
【分析】（1）由题意可得，，由得到，解方程即可；
（2）由，得到，又由，，根据三角形面积公式即可得到答案；
（3）假设存在，列出关于t的方程，求出t的值即可．
【详解】（1）解：由题意可得，，
由得到．
解得．
∴当时，；
（2）∵，，
∴，
∵，，
∴．
∴S与t之间的关系式为；
（3）假设存在，
则．
解得．
∴存在，当时，使．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用、列函数关系式等知识， 数形结合和准确计算是解题的关键．
25．【问题情境】：在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线，点E、G分别为直线、上上的点，点F是平面内任意一点，连接、．
【探索发现】：
（1）当时，求证：；
（2）“智慧小组”经过探索后发现：不断改变的度数，与始终存在某种数量关系：当时，______度（用含x的代数式表示）；
【深入探究】：
（3）如图2点P、Q分别是直线CD上的点，且，直线，交于点K，“智胜小组”探究与之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由；
（4）如图3，在（3）的探究基础上，，“科创小组”探究与之间的数量关系．请直接写出它们的关系，不需要说明理由．
【答案】（1）见详解；（2）x ；（3），理由见解析；（4）
【分析】本题考查了利用平行线的性质探求角的度数及关系，根据图准确作出辅助线是解题关键．
（1）过F作，可得，再根据两直线平行内错角相等，可推出，从而得出结果；
（2）利用直接得出结果即可；
（3）与之间的数量关系为，利用平行线的性质即可求证；
（4）过点M作，设，利用平行线的性质即可求证．
【详解】（1）证明：如图所示，过F作，
，
，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2）由（1）可得：，
故答案为：x；
（3）与之间的数量关系为，理由如下：
设，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（4）∵，
∴设，
过点M作，
，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
温度
0
10
20
30
…
声速
324
330
336
342
348
生产天数x/天
1
2
3
4
5
…
生产数量y/个
30
60
90
120
150
…
深度/
1
2
3
4
5
温度/
55
90
125
160
195