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专题2.2 平行线的判定与性质之八大考点-【学霸满分】2023-2024学年七年级数学下册重难点专题提优训练（北师大版）
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这是一份专题2.2 平行线的判定与性质之八大考点-【学霸满分】2023-2024学年七年级数学下册重难点专题提优训练（北师大版），文件包含专题22平行线的判定与性质之八大考点原卷版docx、专题22平行线的判定与性质之八大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共51页， 欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc25238" 【典型例题】 PAGEREF _Tc25238 \h 1
\l "_Tc29949" 【考点一同位角、内错角、同旁内角的辨别】 PAGEREF _Tc29949 \h 1
\l "_Tc13588" 【考点二 添加一条件使两条直线平行】 PAGEREF _Tc13588 \h 3
\l "_Tc19478" 【考点三 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行】 PAGEREF _Tc19478 \h 5
\l "_Tc2474" 【考点四 垂直于同一直线的两直线平行】 PAGEREF _Tc2474 \h 7
\l "_Tc28626" 【考点五 两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补】 PAGEREF _Tc28626 \h 9
\l "_Tc11428" 【考点六 根据平行线的性质与判定求角度】 PAGEREF _Tc11428 \h 12
\l "_Tc1154" 【考点七 平行线的性质在生活中的应用】 PAGEREF _Tc1154 \h 14
\l "_Tc32091" 【考点八 平行线的性质与判定探究角的关系】 PAGEREF _Tc32091 \h 16
\l "_Tc20262" 【过关检测】 PAGEREF _Tc20262 \h 23
【典型例题】
【考点一同位角、内错角、同旁内角的辨别】
例题：（2023下·浙江·七年级专题练习）如图，填空．
（1）若直线，被直线所截，则与是同位角；
（2）若直线，被直线所截，则与是内错角；
（3）与是直线和直线被直线所截构成的角；
（4）与是直线和直线被直线所截构成的角；
（5）图中的同旁内角有个，它们是．
【变式训练】
1．（2023下·黑龙江绥化·七年级校考期中）如图，的同旁内角是，的内错角是，的同位角是．
2．（2023下·河北邢台·七年级邢台三中校考阶段练习）如图，
（1）当直线、被直线所截时，的内错角是；
（2）的同位角是；
（3）的同旁内角是．
【考点二 添加一条件使两条直线平行】
例题：（2023下·四川达州·七年级校考期末）如图：请写出一个条件： ，使．理由是： ．
【变式训练】
1．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，要使，需添加的一个条件是（写出一个即可）
2．（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，对于下列条件：①；②；③；④；其中一定能判定的条件有（填写所有正确条件的序号）．
【考点三 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行】
例题：（2023下·上海徐汇·七年级校考期中）如图所示，已知，垂足为，，垂足为，，试说明直线与平行．
解∶∵，垂足为B，垂足为D，(已知)，
∴____，____(_____)
即，，
又∵(___)，
∴____=____(___)，
∴ (___)．
【变式训练】
1．（2023下·福建龙岩·七年级龙岩初级中学校考阶段练习）如图，如果，求证：；．
观察下面的解答过程，补充必要的依据或结论．
证明：∵（已知），
（______________），
∴（_______________），
又∵（已知），
∴（____________）（等式的性质）
∴（_______________）
又∵（_____________），
∴（等式的性质）
∵（已知），
∴，
∴（___________________________）
2．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，，与互余．
(1)与平行吗？为什么？
(2)若，则与平行吗？为什么？
【考点四 垂直于同一直线的两直线平行】
例题：（2022上·广东梅州·八年级校考期末）如图，，，垂足分别是，，．
(1)判断与的位置关系；（不需要证明）
(2)求证：．
【变式训练】
1．（2023下·四川成都·七年级校考阶段练习）如图所示，直线相交于点O，平分，平分，，垂足为点H，与平行吗？说明理由．
【考点五 两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补】
例题：（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，已知，，垂足分别为D、F，．
求证：．
（ ）：∵，（已知）
∴（ ）
∴（ ）（同位角相等，两直线平行）
∴（ ）
∵（ ）
∴（ ）
∴（ ）
∴（ ）
【变式训练】
1．（2023上·陕西西安·八年级高新一中校考阶段练习）如图，已知，，求证：．
2．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）推理填空：如图：，．求证：．
证明：因为（已知），（____________），
得，
所以（____________），
得，
因为（已知），
得（等量代换），
所以（____________），
所以（____________）．
【考点六 根据平行线的性质与判定求角度】
例题：（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图，点在同一条直线上，点在同一条直线上，连接，过点作，已知．
(1)求证：；
(2)若平分，求的度数．
【变式训练】
1．（2023上·重庆沙坪坝·八年级统考期中）已知：如图，在中，点在边上，分别交，于点，， 平分，，
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
2．（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）如图，在中，，F、G是、上的两点，．
(1)求证：；
(2)若，平分，求的度数．
【考点七 平行线的性质在生活中的应用】
例题：（2023下·贵州黔南·七年级校考期中）如图，的一边是平面镜，，点C是上一点，一束光线从点C射出，经过平面镜上的点D反射后沿射线射出，已知，要使反射光线，则的度数是度．
【变式训练】
1．（2023下·全国·七年级专题练习）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线变成，点在射线上，，则．
2．（2023下·吉林松原·七年级统考期中）如图1，为响应国家新能源建设，公交站亭装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光（平行光线），如图2，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，要使，需将电池板逆时针旋转度，．
【考点八 平行线的性质与判定探究角的关系】
例题：（2023下·辽宁营口·七年级统考期中）如图，已知，．点P是射线AM上一动点（与点A不重合）、BC，BD分别平分和，分别交射线AM于点C，D．
(1)求的度数．
(2)当点P运动到使时，的度数是多少？为什么？
(3)当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化．请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
【变式训练】
1．（2023下·浙江·七年级专题练习）如图，已知直线，且和分别交于A、B两点，点P在直线上．
(1)之间的关系为；
(2)如果点P在A、B两点之间运动时，之间的关系为 ；
(3)如果点P（点P和A、B不重合）在A、B两点外侧运动时，之间关系为．
2．（2023上·四川遂宁·七年级射洪中学校联考阶段练习）如图1，直线，点分别在和上，，平分．
(1)试说明：；
(2)如图2，若于点，请问与有何数量关系，并说明理由．
【过关检测】
一、单选题
1．（2024上·福建泉州·七年级福建省泉州市培元中学校考期末）如图，已知直线，，则等于（ ）．
A．B．C．D．
2．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，下列结论正确的是（ ）
A．与是对顶角B．与是同位角C．与是同旁内角D．与是同旁内角
3．（2024上·陕西西安·八年级统考期末）某小区地下停车场的栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时，．若此时平行地面，则的度数为（ ）
A．162°B．152°C．150°D．142°
4．（2024上·陕西西安·八年级统考期末）如图，在中，点D、E、F分别是上的点，连接，则下列条件中，能判定的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024上·甘肃兰州·八年级校联考期末）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：；；平分；平分．其中正确结论的个数是（ ）
A．个B．个C．个D．个
二、填空题
6．（2024上·陕西榆林·八年级统考期末）如图，已知，直线经过点A，请写出一个能判定的条件．（写出一个即可）
7．（2023上·湖北十堰·七年级统考期末）如图，已直线，，，则度．
8．（2023下·陕西渭南·七年级统考期末）如图，给出以下结论：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同位角；④与是内错角．其中正确的是．（填序号）
9．（2024上·福建泉州·七年级统考期末）有经验的渔夫用鱼叉捕鱼时，不是将鱼叉对准他看到的鱼，这是由于光从空气射入水中时，发生折射现象．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水中时发生了折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线，，，则的度数为．
10．（2023上·江西上饶·九年级统考期中）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起（其中，，），若固定，改变的位置（其中点位置始终不变），且，点在直线的上方．当的一边与的某一边平行时，则所有可能的度数为：．
三、解答题
11．（2024上·福建泉州·七年级统考期末）如图，在方格纸中，点是的边上的一点，点，，都在格点上．
(1)过点画直线，交于点；
(2)过点画的垂线，交于点；
(3)在（2）的前提下，点到直线的距离是哪条线段的长度?
（直接写出答案，不必说明理由）
12．（2024上·福建泉州·七年级福建省泉州市培元中学校考期末）如图，于点．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若平分，交于点，且，求的度数．
13．（2024上·河南周口·七年级统考期末）如图，已知，．
(1)判断、是否平行，并说明理由．
(2)若，求的度数．
14．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，已知点在上，，平分．
(1)求证：平分；
(2)若，，求证：．
15．（2022上·四川眉山·七年级校考期末）已知：，点在直线上，点在直线上．
(1)如图，，．
①若，求的度数．
②试判断与的位置关系，并说明理由．
(2)如图，平分，平分，试探究与的数量关系，并说明理由．
16．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线、的反向延长线交于主光轴上一点P．
【提出问题】小明提出：、和三个角之间存在着什么样的数量关系？
【分析问题】我们学习过平行线的性质，利用平行线的性质可以把分成两部分进行研究．
【解决问题】请你帮小明解决这个问题，并说明理由．
【举一反三】（1）如图①，若，，则度．
（2）如图②，已知，点E、F分别是、上的点，点P位于上方，．用含α和β的代数式表示下列各角．
①的大小为．
②如图③，在图②的基础上，若和分别平分和，则的大小为．
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc25238" 【典型例题】 PAGEREF _Tc25238 \h 1
\l "_Tc29949" 【考点一同位角、内错角、同旁内角的辨别】 PAGEREF _Tc29949 \h 1
\l "_Tc13588" 【考点二 添加一条件使两条直线平行】 PAGEREF _Tc13588 \h 3
\l "_Tc19478" 【考点三 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行】 PAGEREF _Tc19478 \h 5
\l "_Tc2474" 【考点四 垂直于同一直线的两直线平行】 PAGEREF _Tc2474 \h 7
\l "_Tc28626" 【考点五 两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补】 PAGEREF _Tc28626 \h 9
\l "_Tc11428" 【考点六 根据平行线的性质与判定求角度】 PAGEREF _Tc11428 \h 12
\l "_Tc1154" 【考点七 平行线的性质在生活中的应用】 PAGEREF _Tc1154 \h 14
\l "_Tc32091" 【考点八 平行线的性质与判定探究角的关系】 PAGEREF _Tc32091 \h 16
\l "_Tc20262" 【过关检测】 PAGEREF _Tc20262 \h 23
【典型例题】
【考点一同位角、内错角、同旁内角的辨别】
例题：（2023下·浙江·七年级专题练习）如图，填空．
（1）若直线，被直线所截，则与是同位角；
（2）若直线，被直线所截，则与是内错角；
（3）与是直线和直线被直线所截构成的角；
（4）与是直线和直线被直线所截构成的角；
（5）图中的同旁内角有个，它们是．
【变式训练】
1．（2023下·黑龙江绥化·七年级校考期中）如图，的同旁内角是，的内错角是，的同位角是．
2．（2023下·河北邢台·七年级邢台三中校考阶段练习）如图，
（1）当直线、被直线所截时，的内错角是；
（2）的同位角是；
（3）的同旁内角是．
【考点二 添加一条件使两条直线平行】
例题：（2023下·四川达州·七年级校考期末）如图：请写出一个条件： ，使．理由是： ．
【变式训练】
1．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，要使，需添加的一个条件是（写出一个即可）
2．（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，对于下列条件：①；②；③；④；其中一定能判定的条件有（填写所有正确条件的序号）．
【考点三 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行】
例题：（2023下·上海徐汇·七年级校考期中）如图所示，已知，垂足为，，垂足为，，试说明直线与平行．
解∶∵，垂足为B，垂足为D，(已知)，
∴____，____(_____)
即，，
又∵(___)，
∴____=____(___)，
∴ (___)．
【变式训练】
1．（2023下·福建龙岩·七年级龙岩初级中学校考阶段练习）如图，如果，求证：；．
观察下面的解答过程，补充必要的依据或结论．
证明：∵（已知），
（______________），
∴（_______________），
又∵（已知），
∴（____________）（等式的性质）
∴（_______________）
又∵（_____________），
∴（等式的性质）
∵（已知），
∴，
∴（___________________________）
2．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，，与互余．
(1)与平行吗？为什么？
(2)若，则与平行吗？为什么？
【考点四 垂直于同一直线的两直线平行】
例题：（2022上·广东梅州·八年级校考期末）如图，，，垂足分别是，，．
(1)判断与的位置关系；（不需要证明）
(2)求证：．
【变式训练】
1．（2023下·四川成都·七年级校考阶段练习）如图所示，直线相交于点O，平分，平分，，垂足为点H，与平行吗？说明理由．
【考点五 两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补】
例题：（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，已知，，垂足分别为D、F，．
求证：．
（ ）：∵，（已知）
∴（ ）
∴（ ）（同位角相等，两直线平行）
∴（ ）
∵（ ）
∴（ ）
∴（ ）
∴（ ）
【变式训练】
1．（2023上·陕西西安·八年级高新一中校考阶段练习）如图，已知，，求证：．
2．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）推理填空：如图：，．求证：．
证明：因为（已知），（____________），
得，
所以（____________），
得，
因为（已知），
得（等量代换），
所以（____________），
所以（____________）．
【考点六 根据平行线的性质与判定求角度】
例题：（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图，点在同一条直线上，点在同一条直线上，连接，过点作，已知．
(1)求证：；
(2)若平分，求的度数．
【变式训练】
1．（2023上·重庆沙坪坝·八年级统考期中）已知：如图，在中，点在边上，分别交，于点，， 平分，，
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
2．（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）如图，在中，，F、G是、上的两点，．
(1)求证：；
(2)若，平分，求的度数．
【考点七 平行线的性质在生活中的应用】
例题：（2023下·贵州黔南·七年级校考期中）如图，的一边是平面镜，，点C是上一点，一束光线从点C射出，经过平面镜上的点D反射后沿射线射出，已知，要使反射光线，则的度数是度．
【变式训练】
1．（2023下·全国·七年级专题练习）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线变成，点在射线上，，则．
2．（2023下·吉林松原·七年级统考期中）如图1，为响应国家新能源建设，公交站亭装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光（平行光线），如图2，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，要使，需将电池板逆时针旋转度，．
【考点八 平行线的性质与判定探究角的关系】
例题：（2023下·辽宁营口·七年级统考期中）如图，已知，．点P是射线AM上一动点（与点A不重合）、BC，BD分别平分和，分别交射线AM于点C，D．
(1)求的度数．
(2)当点P运动到使时，的度数是多少？为什么？
(3)当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化．请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
【变式训练】
1．（2023下·浙江·七年级专题练习）如图，已知直线，且和分别交于A、B两点，点P在直线上．
(1)之间的关系为；
(2)如果点P在A、B两点之间运动时，之间的关系为 ；
(3)如果点P（点P和A、B不重合）在A、B两点外侧运动时，之间关系为．
2．（2023上·四川遂宁·七年级射洪中学校联考阶段练习）如图1，直线，点分别在和上，，平分．
(1)试说明：；
(2)如图2，若于点，请问与有何数量关系，并说明理由．
【过关检测】
一、单选题
1．（2024上·福建泉州·七年级福建省泉州市培元中学校考期末）如图，已知直线，，则等于（ ）．
A．B．C．D．
2．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，下列结论正确的是（ ）
A．与是对顶角B．与是同位角C．与是同旁内角D．与是同旁内角
3．（2024上·陕西西安·八年级统考期末）某小区地下停车场的栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时，．若此时平行地面，则的度数为（ ）
A．162°B．152°C．150°D．142°
4．（2024上·陕西西安·八年级统考期末）如图，在中，点D、E、F分别是上的点，连接，则下列条件中，能判定的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024上·甘肃兰州·八年级校联考期末）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：；；平分；平分．其中正确结论的个数是（ ）
A．个B．个C．个D．个
二、填空题
6．（2024上·陕西榆林·八年级统考期末）如图，已知，直线经过点A，请写出一个能判定的条件．（写出一个即可）
7．（2023上·湖北十堰·七年级统考期末）如图，已直线，，，则度．
8．（2023下·陕西渭南·七年级统考期末）如图，给出以下结论：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同位角；④与是内错角．其中正确的是．（填序号）
9．（2024上·福建泉州·七年级统考期末）有经验的渔夫用鱼叉捕鱼时，不是将鱼叉对准他看到的鱼，这是由于光从空气射入水中时，发生折射现象．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水中时发生了折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线，，，则的度数为．
10．（2023上·江西上饶·九年级统考期中）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起（其中，，），若固定，改变的位置（其中点位置始终不变），且，点在直线的上方．当的一边与的某一边平行时，则所有可能的度数为：．
三、解答题
11．（2024上·福建泉州·七年级统考期末）如图，在方格纸中，点是的边上的一点，点，，都在格点上．
(1)过点画直线，交于点；
(2)过点画的垂线，交于点；
(3)在（2）的前提下，点到直线的距离是哪条线段的长度?
（直接写出答案，不必说明理由）
12．（2024上·福建泉州·七年级福建省泉州市培元中学校考期末）如图，于点．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若平分，交于点，且，求的度数．
13．（2024上·河南周口·七年级统考期末）如图，已知，．
(1)判断、是否平行，并说明理由．
(2)若，求的度数．
14．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，已知点在上，，平分．
(1)求证：平分；
(2)若，，求证：．
15．（2022上·四川眉山·七年级校考期末）已知：，点在直线上，点在直线上．
(1)如图，，．
①若，求的度数．
②试判断与的位置关系，并说明理由．
(2)如图，平分，平分，试探究与的数量关系，并说明理由．
16．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线、的反向延长线交于主光轴上一点P．
【提出问题】小明提出：、和三个角之间存在着什么样的数量关系？
【分析问题】我们学习过平行线的性质，利用平行线的性质可以把分成两部分进行研究．
【解决问题】请你帮小明解决这个问题，并说明理由．
【举一反三】（1）如图①，若，，则度．
（2）如图②，已知，点E、F分别是、上的点，点P位于上方，．用含α和β的代数式表示下列各角．
①的大小为．
②如图③，在图②的基础上，若和分别平分和，则的大小为．
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