初中数学2.5 等腰三角形的轴对称性随堂练习题

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【名师点睛】
1.等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
2.等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
【典例剖析】
【例1】（2021秋•南阳期末）在△ABC中，AB＝AC．
（1）如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝ ．
（2）如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝ ．
（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？并给予证明．
【变式1】．（2018秋•宜兴市期中）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：BE＝CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC＝45°，原题设其它条件不变．求证：AE＝BC．
【例2】（2020秋•仪征市期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点O在BC边上运动（O不与B、C重合），连接AO．作∠AOD＝∠B，OD交AB于点D．
（1）当OD∥AC时，判断△AOB的形状并证明；
（2）在点O的运动过程中，△AOD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDO的度数；若不可以，请说明理由．
【变式2】（2019秋•常熟市期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，∠B＝40°，边AB的垂直平分线与边AB交于点E，与边BC交于点D．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求证：△ACD为等腰三角形．
【满分训练】
一．选择题（共10小题）
1．（2022春•无锡期末）在△ABC中，∠C＝20°，∠A＝∠B，则∠A的度数是（ ）
A．40°B．60°C．80°D．160°
2．（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．8cmB．13cmC．8cm或13cmD．11cm或13cm
3．（2022•崇川区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的角平分线，∠C＝70°，则∠BDC＝（ ）
A．30°B．40°C．70°D．75°
4．（2022•高邮市模拟）若一个等腰三角形的周长为32，则该等腰三角形的腰长x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜32B．0＜x＜16C．8＜x＜16D．8＜x＜32
5．（2021秋•梁溪区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，点E为AC的中点，连接DE．若△ABC的周长为20cm，则△CDE的周长为（ ）
A．10 cmB．12 cmC．14 cmD．16cm
6．（2021秋•滨湖区期末）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝5，边AC的垂直平分线分别交AC、BC于D、E，则△ABE的周长是（ ）
A．8B．9C．10D．11
7．（2022•建湖县一模）如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（2021秋•苏州期中）如图，在3×3的正方形网格中，A，B是两个格点，连接AB，在网格中找到一个格点C，使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
9．（2018秋•高邮市期末）如图，在△ABC中，AB＝3cm、AC＝4cm、BC＝5cm，在△ABC所平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画的条数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
10．（2020秋•江阴市期中）如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线平行于BC，分别交AB、AC于点E、F，当∠A大小变化时，线段EF和BE+CF的大小关系是（ ）
A．EF＞BE+CFB．EF＜BE+CFC．EF＝BE+CFD．不能确定
二．填空题（共8小题）
11．（2022春•锡山区期中）等腰三角形的两边长分别是4cm、9cm，则它的周长为 ．
12．（2022春•镇江期中）三角形的三边长为2，a，5，如果这个三角形中有两条边相等，那么它的周长是 ．
13．（2022•兴化市一模）顶角为80°的等腰三角形的底角为 ．
14．（2022春•靖江市校级月考）在△ABC中，∠A＝∠B，过点A作AD⊥CB交直线BC于点D，∠DAC＝36°，则∠C＝ °．
15．（2022•金坛区二模）如图，在△ABD中，C是边BD上一点．若AB＝AC＝CD，∠BAC＝40°，则∠D＝ °．
16．（2022•常州二模）如图、在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，且BD＝AB，连接AD，DC．则∠BDC的度数为 °．
17．（2019秋•崇川区校级期中）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直线BC上取一点P使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有 个．
18．（2022•秦淮区一模）如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点（OM＜ON），∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是 ．
三．解答题（共6小题）
19．（2021秋•泗阳县期中）如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若点H是BC的中点，求证：AH⊥AD．
20．（2021秋•鼓楼区期中）证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形．
已知：如图，在△ABC中， ；
求证： ；
证明：
21．（2017秋•灌云县期中）已知如图，△ABC中，EF∥BC，交AB、AC于E、F，∠B的平分线交EF于O点．
（1）求证：EO＝BE；
（2）若EF＝BE+CF，求证：OC平分∠ACB．
22．（2018秋•崇川区校级期中）如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．
23．（2021秋•泗洪县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，角平分线BD，CE相交于点O，求证：OB＝OC．
24．（2021秋•邗江区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E．
（1）若∠A＝50°，求∠CBD的度数；
（2）若AB＝7，△CBD周长为12，求BC的长．