初中数学苏科版八年级上册第一章 全等三角形1.1 全等图形一课一练

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【名师点睛】
（1）全等形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形．
（2）全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（3）三角形全等的符号
“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．
【典例剖析】
【知识点1】全等图形的识别
【例1】（2021·江苏·淮安市洪泽实验中学八年级期中）下列各组的两个图形属于全等图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据全等图形的定义，逐一判断选项，即可．
【详解】
解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意，
B.两个图形不能完全重合，不是全等图形，符合题意，
C.两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意，
D.两个图形能完全重合，是全等图形，不符合题意，
故选D．
【点睛】
本题主要考查全等图形的定义，熟练掌握“能完全重合的两个图形，是全等图形”是解题的关键．
【变式1.1】（2021·江苏连云港·八年级阶段练习）下列各组两个图形属于全等图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据全等图形的定义，逐一判断选项，即可．
【详解】
解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意，
B.两个图形能完全重合，是全等图形，符合题意，
C.两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意，
D.两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意，
故选B．
【点睛】
本题主要考查全等图形的定义，熟练掌握“能完全重合的两个图形，是全等图形”是解题的关键．
【变式1.2】（2021·江苏盐城·八年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．两个等边三角形一定是全等图形B．两个全等图形面积一定相等
C．形状相同的两个图形一定全等D．两个正方形一定是全等图形
【答案】B
【解析】
【分析】
利用全等的定义分别判断后即可得到正确答案.
【详解】
解：A、两个等边三角形不一定全等，例如两个等边三角形的边长分别为3和4，这两个三角形就不全等，故此选项错误；
B、两个全等的图形面积是一定相等的，故此选项正确；
C、形状相等的两个图形不一定全等，例如边长为3和4的正方形，故此选项错误；
D、两个正方形不一定全等，例如边长为3和4的正方形，故此选项错误.
故选B.
【点睛】
本题主要考查了全等的定义，解题的关键是了解能够完全重合的两个图形全等.
【知识点2】利用全等图形求角度
【例2】（2021·江苏·南京市第十二初级中学八年级期中）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，则∠A的大小是______．
【答案】95°
【解析】
【分析】
根据两个多边形全等，则对应角相等四边形以及内角和即可完成
【详解】
∵四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′
∴∠D=∠D′=130゜
∵四边形ABCD的内角和为360゜
∴∠A=360゜-∠B-∠C-∠D=95゜
故答案为：95゜
【点睛】
本题考查了多边形全等的性质、多边形的内角和定理，掌握多边形全等的性质是关键．
【变式2.1】（2020·江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度．
【答案】135
【解析】
【分析】
首先利用全等三角形的判定和性质求出∠1+∠3的值，即可得出答案；
【详解】
如图所示，
在△ACB和△DCE中，
{AB=DE∠A=∠DAC=DC，
∴△ACB≅△DCE(SAS)，
∴∠ABE=∠3，
∴∠1+∠2+∠3=(∠1+∠3)+45°=90°+45°=135°；
故答案是：135°．
【点睛】
本题主要考查了全等图形的应用，准确分析计算是解题的关键．
【变式2.2】（2021·江苏·沭阳县怀文中学八年级阶段练习）如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4=________．
【答案】180°.
【解析】
【分析】
仔细分析图中角度，可得出，∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°，进而得出答案．
【详解】
解：∵∠1和∠4所在的三角形全等，
∴∠1+∠4=90°，
∵∠2和∠3所在的三角形全等，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠2+∠3十∠4=180°．
故答案为：180．
【点睛】
此题主要考查了全等图形，解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用．
【知识点3】分割成几个全等图形
【例3】（2020·江苏苏州·七年级期末）如图，用三种不同的方法沿网格线把正方形分割成4个全等的图形（三种方法得到的图形相互间不全等）．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
观察图形发现：这个正方形网格的总面积为16，因此只要将面积分为4，即占4个方格，并且图形要保证为相同即可．
【详解】
解：如图所示：
．
【点睛】
本题主要考查了全等图形和作图，准确分析是解题的关键．
【变式3.1】（2018·江苏·洪泽新区中学八年级阶段练习）如图，某校有一块正方形花坛，现要把它分成4块全等的部分，分别种植四种不同品种的花卉，图中给出了一种设计方案，请你再给出四种不同的设计方案．
【答案】见解答过程．
【解析】
【详解】
分析:根据正方形的性质，①两条对角线把正方形分成四个全等的三角形；②作一组对边的平行线也能把正方形分成四个全等的矩形；③连接一组对边的中点，把正方形分成两个全等的矩形，再作矩形的对角线就把每个矩形都分成两个全等的三角形，这样就分成了四个全等的三角形；④过正方形的中心做互相垂直的两条线也能把正方形分成四个全等的四边形．
本题解析:设计方案如下：
【满分训练】
1．（2021秋•靖西市期末）下列各组图形中，属于全等图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断．
【解析】A、两个图形不能完全重合，故本选项错误；
B、两个图形，不能完全重合，故本选项错误；
C、两个图形能完全重合，故本选项正确；
D、两个图形不能够完全重合，故本选项错误．
故选：C．
2．（2021秋•宿豫区期中）下列两个图形是全等图形的是（ ）
A．两张同底版的照片B．周长相等的两个长方形
C．面积相等的两个正方形D．面积相等的两个三角形
【分析】要全等就必须保证图形完全重合，据此可得出正确答案．
【解析】A选项两图形不一定重合，故不是全等图形；
B选项的形状不一定相同，故不是全等图形；
C选项的形状也一样，能完全重合，故是全等图形；
D选项形状不一定相同，故不是全等图形；
故选：C．
3．（2021春•淮阳区期末）全等形是指两个图形（ ）
A．大小相等B．可以完全重合
C．形状相同D．以上都不对
【分析】根据全等图形的概念判断即可．
【解析】可以完全重合的两个图形叫做全等形，
故选：B．
4．（2021春•姑苏区期末）下列说法正确的是（ ）
A．两个等边三角形一定是全等图形
B．两个全等图形面积一定相等
C．形状相同的两个图形一定全等
D．两个正方形一定是全等图形
【分析】利用全等的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解析】A、两个等边三角形相似但不一定全等，故说法错误，不符合题意；
B、两个全等图形的面积一定相等，正确，符合题意；
C、形状相同的两个图形相似但不一定全等，故说法错误，不符合题意；
D、两个正方形相似但不一定全等，故说法错误，不符合题意，
故选：B．
5．（2021春•商水县期末）下列说法不正确的是（ ）
A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同
B．面积相等的两个图形是全等图形
C．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关
D．全等三角形的对应边相等，对应角相等
【分析】直接利用全等图形的性质进而分析得出答案．
【解析】A、如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同，正确，不合题意；
B、面积相等的两个图形是全等图形，错误，符合题意；
C、图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关，正确，不合题意；
D、全等三角形的对应边相等，对应角相等，正确，不合题意；
故选：B．
6．（2020春•天桥区期末）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（ ）
A．45°B．60°C．90°D．100°
【分析】首先证明△ABC≌△AED，根据全等三角形的性质可得∠1＝∠AED，再根据余角的定义可得∠AED+∠2＝90°，再根据等量代换可得∠1与∠2的和为90°．
【解析】∵在△ABC和△AED中，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴∠1＝∠AED，
∵∠AED+∠2＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
故选：C．
7．（2019秋•临西县期末）下列图形中，和所给图全等的图形是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据能够完全重合的两个图形是全等形即可判断出答案．
【解答】解；如图所示：和左图全等的图形是选项D．
故选：D．
8．（2020秋•涿鹿县期中）下列图形中与如图图形全等的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】认真观察图形，根据全等形的定义，能够重合的图形是全等形，可得答案．
【解析】A、圆里面的正方形与已知图形不能重合，故此选项不合题意；
B、与已知图形能完全重合，故此选项符合题意；
C、中间是长方形，与已知图形不重合，故此选项不合题意；
D、中间是长方形，与已知图形不重合，故此选项不合题意．
故选：B．
9．（2019秋•迁安市期末）小明学习了全等三角形后总结了以下结论：
①全等三角形的形状相同、大小相等；
②全等三角形的对应边相等、对应角相等；
③面积相等的两个三角形是全等图形；
④全等三角形的周长相等．
其中正确的结论个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】直接利用全等三角形的性质分别分析得出答案．
【解析】①全等三角形的形状相同、大小相等，正确；
②全等三角形的对应边相等、对应角相等，正确；
③面积相等的两个三角形是全等图形，错误；
④全等三角形的周长相等，正确．
故选：C．
10．（2018春•太原期末）下列说法：（1）全等图形的形状相同，大小相等；（2）全等三角形的对应边相等；（3）全等图形的周长相等，面积相等；（4）面积相等的两个三角形全等．其中正确的是（ ）
A．（ 1 ）（ 3）（ 4 ）B．（ 2）（ 3 ）（ 4 ）
C．（ 1 ）（ 2 ）（ 3 ）D．（ 1 ）（ 2）（ 3 ）（ 4 ）
【分析】能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，依据全等三角形的性质，即可得到正确结论．
【解析】（1）全等图形的形状相同，大小相等，正确；
（2）全等三角形的对应边相等，正确；
（3）全等图形的周长相等，面积相等，正确；
（4）面积相等的两个三角形不一定全等，错误；
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．（2021秋•雨花区期末）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，则∠A的大小是 95° ．
【分析】利用全等图形的定义可得∠D＝∠D′＝130°，然后再利用四边形内角和为360°可得答案．
【解析】∵四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'，
∴∠D＝∠D′＝130°，
∴∠A＝360°﹣∠B﹣∠C﹣∠D＝360°﹣75°﹣60°﹣130°＝95°，
故答案为：95°．
12．（2020春•石狮市期末）如图，四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'，则∠A的大小是 95° ．
【分析】利用全等图形的定义可得∠D＝∠D′＝130°，然后再利用四边形内角和为360°可得答案．
【解析】∵四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'，
∴∠D＝∠D′＝130°，
∴∠A＝360°﹣75°﹣60°﹣130°＝95°，
故答案为：95°．
13．（2021秋•常州期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝ 135° ．
【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3＝∠ACB，再由∠ACB+∠1＝∠1+∠3＝90°，可得∠1+∠2+∠3＝90°．
【解析】∵在△ABC和△DBE中，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴∠3＝∠ACB，
∵∠ACB+∠1＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°，
故答案为：135°．
14．（2019秋•越城区期末）下列图形中全等图形是 ⑤和⑦ （填标号）．
【分析】要认真观察图形，从①开始找寻，看后面的谁与之全等，然后是②，看后面的哪一个与它全等，如此找寻，可得答案．
【解析】由全等形的概念可知：共有1对图形全等，即⑤和⑦能够重合．
故答案为：⑤和⑦．
15．（2019秋•东台市月考）如图①，已知△ABC的六个元素，则图②中甲、乙、丙三个三角形中与图①中△ABC全等的图形是 丙 ．
【分析】根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）逐个判断即可．
【解析】已知图①的△ABC中，∠B＝62°，BC＝a，AB＝c，AC＝b，∠C＝58°，∠A＝60°，
图②中，甲：只有一个角和∠B相等，没有其它条件，不符合三角形全等的判定定理，即和△ABC不全等；
乙：只有一个角和∠B相等，还有一条边，没有其它条件，不符合三角形全等的判定定理，即和△ABC不全等；
丙：符合AAS定理，能推出两三角形全等；
故答案为：丙．
16．（2019秋•常州期中）下列4个图形中，属于全等的2个图形是 ①③ ．（填序号）
【分析】根据全等三角形的判定定理（SAS）即可得到结论．
【解析】根据全等三角形的判定（SAS）可知属于全等的2个图形是①③，
故答案为：①③．
三．解答题（共6小题）
17．观察图中图形，它们是不是全等形？为什么？
【分析】利用能够完全重合的两个图形称为全等图形，全等图形的大小和形状都相同，进而判断即可．
【解析】①是全等图形，因为旋转后能够完全重合；
②是全等图形，因为对折后能够完全重合；
③是全等图形，因为平移后能够完全重合．
④不是全等图形，因为不能完全重合．
18．找出图中的全等图形．
【分析】利用能够完全重合的两个图形称为全等图形，全等图形的大小和形状都相同，进而判断即可．
【解析】②与⑦是全等图形．
19．（2019秋•孝义市校级月考）如图所示，请你在图中画两条直线，把这个“+”图案分成四个全等的图形（要求至少要画出两种方法）．
【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形画线即可．
【解析】如图所示：
．
20．沿着图中的虚线，请把如图的图形划分为4个全等图形，把你的方案画在图中．
【分析】根据整个图形的面积和图形形状化成图形即可．
【解析】如图所示：
21．图中所示的是两个全等的五边形，AB＝8，AE＝5，DE＝11，HI＝12，IJ＝10，∠C＝90°，∠G＝115°，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，指出它们之间其他的对应顶点、对应边与对应角，并说出图中标的a、b、c、d、e、α、β各字母所表示的值．
【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角，可得对应顶点，对应边与对应角，进而可得a，b，c，d，e，α，β各字母所表示的值．
【解析】对应顶点：A和G，E和F，C和I，
对应边：AB和GH，AE和GF，ED和FJ，CD和JI，BC和HI；
对应角：∠A和∠G，∠B和∠H，∠C和∠I，∠D和∠J，∠E和∠F；
∵两个五边形全等，
∴a＝12，c＝8，b＝10，d＝5，e＝11，α＝90°，β＝115°．
22．（2018秋•洪泽区校级月考）如图，某校有一块正方形花坛，现要把它分成4块全等的部分，分别种植四种不同品种的花卉，图中给出了一种设计方案，请你再给出四种不同的设计方案．
【分析】根据正方形的性质，①两条对角线把正方形分成四个全等的三角形；②作一组对边的平行线也能把正方形分成四个全等的矩形；③连接一组对边的中点，把正方形分成两个全等的矩形，再作矩形的对角线就把每个矩形都分成两个全等的三角形，这样就分成了四个全等的三角形；④过正方形的中心做互相垂直的两条线也能把正方形分成四个全等的四边形．
【解析】设计方案如下：