2023-2024学年浙江省宁波市北仑区小浃江中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省宁波市北仑区小浃江中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式中属于最简二次根式的是( )
A. 6B. 4C. 16D. 1 2
2.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史.以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.为了使课间十分钟活动更加丰富有趣，班长打算先对全班同学喜欢的活动项目进行民意调.下面的调查数据中，他最应该关注的是( )
A. 众数B. 中位数C. 平均数D. 加权平均数
4.下列计算正确的是( )
A. 2× 5= 7B. (−5)2=5
C. 10÷ 5= 5D. 5 5−2 3=3 2
5.用配方法解方程x2−4x−7=0，下列配方正确的是( )
A. (x−4)2=23B. (x+4)2=23C. (x−2)2=11D. (x+2)2=3
6.一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形是( )
A. 四边形B. 五边形C. 六边形D. 七边形
7.若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中( )
A. 至少有一个角是钝角或直角B. 没有一个角是锐角
C. 每一个角都是钝角或直角D. 每一个角是锐角
8.如图，在平行四边形ABCD，O是AC、BD的交点，过点O与AC垂直的直线交边AD于点E，若△CDE的周长为11cm，则平行四边形ABCD的周长为( )
A. 20cmB. 22cmC. 24cmD. 26cm
9.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法：①若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；③若a−b+c=0，则它有一根为−1；④若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c=0两个不相等的实数根；其中正确的是( )
A. ②③④B. ①③④C. ②③D. ①②
10.如图，在平行四边形ABCD中，AD=4，∠A=60°，E是边DC延长线上一点，连接BE，以BE为边作等边三角形BEF，连接FC，则FC的最小值是( )
A. 3
B. 2
C. 6
D. 2 3
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.当 x+1有意义时，x的取值范围是______．
12.为弘扬传统文化，某校在读书节举行了“诗词竞赛”，某班20名同学参加了此次竞赛，他们的得分情况如下表所示，则全班20名同学的成绩的中位数是______．
13.有一边长为3的等腰三角形，它的两边长是方程x2−4x+k=0的两根，则k= ______．
14.已知样本x1，x2，…xn的平均数是5，方差是3，则样本3x1+5，3x2+52，…3xn+5的方差是______．
15.如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AE=3，DF=1，则边BC的长为______．
16.如图，在平行四边形ABCD中，∠B=30°，AB=2 3，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′D.当BC长为______时，△AB′D是直角三角形．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：
(1)3 3− 12+ 13；
(2)(2+ 5)(2− 5)．
18.(本小题6分)
解方程：
(1)x2−2x−1=0；
(2)(x−3)(2x+1)=(x−3)2．
19.(本小题8分)
如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形ABC如图所示．
(1)请作出△ABC关于原点O成中心对称的△A′B′C′；
(2)在网格图中作出▱ABCD．
(3)写出点A′的坐标．
20.(本小题6分)
如图，在四边形ABCD中，AC=BD，AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD中点，EF分别交AC、BD于点H、G.求证：OG=OH．
21.(本小题8分)
2023年第19届亚运会将在杭州举行，某校举办了“迎亚运，展风采”知识竞赛，满分100分，学生得分均为整数，为了解学生对亚运知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取了10名学生的竞赛成绩，结果如下：
七年级10名学生的竞赛成绩：94，83，94，85，96，94，88，95，87，84．
八年级10名学生的竞赛成绩：83，95，86，84，95，82，89，95，91，100．
对上述两个年级各10名学生的竞赛成绩做如下分析：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)请直接写出a，b，c，d的值．
(2)你认为上述七、八年级各10名学生的竞赛成绩哪个年级好？为什么？
(3)圆圆说：“由样本数据可以估计本次竞赛七年级学生中肯定没有同学得满分”.你认为圆圆的说法正确吗？请说明理由．
22.(本小题10分)
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB上的一点，作DE⊥BC，垂足为E，延长DE到F，连结CF，使∠A=∠F．
(1)求证：四边形ADFC是平行四边形．
(2)连接CD，若CD平分∠ADE，CF=10，CD=12，求四边形ADFC的面积．
23.(本小题10分)
根据以下素材，完成探索任务．
24.(本小题12分)
已知在平行四边形ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动．

(1)如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD=CP，求∠B的度数．
(2)如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动(同时Q点也停止)，若AD=6cm，当运动时间为______秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
(3)如图3，连结BP并延长与CD的延长线交于点F，CE平分∠ACF交BF于E点，连接AE，当AE⊥CE，DF=8时，求AC的长．
(4)如图4，在(1)的条件下，连结BP并延长与CD的延长线交于点F，连结AF，若AB=4cm，求△APF的面积．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、 6是最简二次根式，故此选项符合题意；
B、 4=2，故此选项不符合题意；
C、 16= 66，故此选项不符合题意；
D、1 2= 22，故此选项不符合题意；
故选：A．
利用最简二次根式的定义：被开方数不含分母，分母中不含根号，且被开方数不含能开的尽方的因数，判断即可．
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此判断即可．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3.【答案】A
【解析】解：此问题应当看最喜欢的活动项目的人最多，应当用众数．
故选：A．
众数、中位数、平均数从不同角度反映了一组数据的集中趋势，但该问题应当看最喜欢的活动项目的人最多，故应当用众数．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
4.【答案】B
【解析】解： 2× 5= 10，故A错误，不符合题意；
(−5)2=5，故B正确，符合题意；
10÷ 5= 2，故C错误，不符合题意；
5 5与2 3不是同类二次根式，故D错误，不符合题意；
故选：B．
根据二次根式相关的运算法则逐项判断即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
5.【答案】C
【解析】解：x2−4x−7=0，
x2−4x=7，
x2−4x+4=7+4，
(x−2)2=11，
故选：C．
利用解一元二次方程−配方法进行计算，即可解答．
本题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握解一元二次方程−配方法是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：设这个多边形的边数为n，
则(n−2)⋅180°=2×360°，
解得：n=6，
即这个多边形是六边形，
故选：C．
设多边形的边数为n，利用多边形的内角和与外角和列得方程解方程即可．
本题考查多边形的内角和与外角和，设这个多边形的边数为n后根据已知条件列得方程是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，
首先应该假设这个四边形中每一个角是锐角，
故选：D．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
8.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB=CD，AD=BC，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∵△CDE的周长为11cm，
∴△CDE的周长为：CD+CE+DE=CD+CE+AE=AD+CD=11cm．
∴▱ABCD的周长为2(AD+CD)=2×11=22厘米，
故选：B．
由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=CE，继而可根据△CDE的周长等于AD+CD=11cm求得平行四边形的周长即可．
此题考查了平行四边形的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质进行分析．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
9.【答案】A
【解析】解：①若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则ac2+bc+c=0，当c≠0时，ac+b+1=0，所以①错误；
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则Δ=−4ac>0，
因为方程ax2+bx+c=0的根的判别式Δ=b2−4ac>0，
所以方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，所以②正确；
③若a−b+c=0时，则b=a+c，则Δ=b2−4ac=(a+c)2−4ac=(a−c)2，
x=−b±(a−c)2a=−(a+c)±(a−c)2a，
解得x1=−ca，x2=−1，所以③正确；
④若b=2a+3c，则Δ=b2−4ac=(2a+3c)2−4ac=4a2+8ac+9c2=4(a+c)2+5c2>0，所以一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选：A．
由c是方程ax2+bx+c=0的一个根得到ac2+bc+c=0，只有c≠0时由ac+b+1=0，则可对①进行判断；由方程ax2+c=0有两个不相等的实根得到Δ=−4ac>0，则可判断Δ=b2−4ac>0，于是可对②进行判断；计算出根的判别式，再利用求根公式解方程可对③进行判断；利用b=2a+3c计算根的判别式得到Δ=4(a+c)2+5c2>0，则根据根的判别式的意义可对④进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
10.【答案】D
【解析】解：延长AB到点G，使BG=BC.连接EG，过点G作GH⊥DE，交DE的延长线于点H，过点C作CM⊥BG，垂足为M，
∴∠BMC=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=4，CD/​/AB，AD//BC，
∴∠CBM=∠A=60°，
∴∠BCM=90°−∠CBM=30°，
∴BM=12BC=2，CM= 3BM=2 3，
∵CD//AB，
∴CM=GH=2 3，
∵△BEF是等边三角形，
∴BF=BE，∠FBE=60°，
∴∠FBE−∠CBE=∠CBG−∠CBE，
∴∠FBC=∠EBG，
∴△FBC≌△EBG(SAS)，
∴FC=EG，
∴当GE最小时，CF也最小，
∵当点E与H重合时，GE最小，此时GE=GH=2 3，
∴CF的最小值为2 3，
故选：D．
延长AB到点G，使BG=BC.连接EG，过点G作GH⊥DE，交DE的延长线于点H，过点C作CM⊥BG，垂足为M，根据垂直定义可得∠BMC=90°，根据平行四边形的性质可得AD=BC=4，CD/​/AB，AD//BC，从而可得∠CBM=∠A=60°，进而可得∠BCM=30°，进而在Rt△BCM中，利用含30度角的直角三角形的性质可得BM=2，CM=2 3，从而可得CM=GH=2 3，再利用等边三角形的性质可得BF=BE，∠FBE=60°，从而利用等式的性质可得∠FBC=∠EBG，再利用SAS证明△FBC≌△EBG，最后利用全等三角形的性质可得FC=EG，从而可得当GE最小时，CF也最小，再根据当点E与H重合时，GE最小，此时GE=GH=2 3，即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，垂线段最短，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
11.【答案】x≥−1
【解析】解：由题意得：x+1≥0，
解得：x≥−1，
故答案为：x≥−1．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12.【答案】90
【解析】解：把这20名同学的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是90、90，
所以全班20名同学的成绩的中位数是90+902=90．
故答案为：90．
根据中位数的定义解答即可．
此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．
13.【答案】3或4
【解析】解：当该等腰三角形的腰长是3时，根据韦达定理知
3+x2=4，
∴x2=1，
∴x1⋅x2=3=k，即k=3；
当该等腰三角形的腰长不是3时，△=16−4k=0，
解得，k=4；
综上所述，k=3或k=4．
故答案是：3或4．
分类讨论：当腰长为3时，根据韦达定理求得k的值；当腰长不为3时，关于x的方程的判别式△=0，据此可以求得k的值．
本题考查了根与系数的关系、等腰三角形的性质．解答该题时要分类讨论，以防漏解．
14.【答案】27
【解析】解：∵样本x1，x2，…，xn的方差是3，
∴样本3x1+5，3x2+5，…，3xn+5的方差是32×3=27．
故答案为：27．
根据方差的变化规律当数据都加上一个数时，方差不变，当乘以一个数时，方差变成这个数的平方倍，即可得出答案．
本题考查了方差，当数据都加上一个数(或减去一个数)时，方差不变，即数据的波动情况不变；当乘以一个数时，方差变成这个数的平方倍．
15.【答案】8.
【解析】解：∵EF是△ABC的中位线，AE=3，
∴EF/​/BC，BC=2EF，BE=AE=3，
∴∠EDB=∠DBC，
∵BD平分∠EBC，
∴∠EBD=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴ED=BE=3，
∵DF=1，
∴EF=ED+DF=3+1=4，
∴BC=8，
故答案为8．
由三角形的中位线定理得到EF/​/BC，BC=2EF，BE=AE=3，利用等腰三角形的判定结合平行线的性质和角平分线的定义求出DE=3，可得EF=4，即可求出BC的长．
本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16.【答案】6或4或3
【解析】解：①如图1，延长B′A，交BC于点G，当∠B′AD=90°时，
∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AD/​/BC，∠B′AD=90°，
∴∠B′GC=90°，
∵∠B=30°，AB=2 3，
∴∠AB′C=30°，
∴GC=12B′C=12BC，
∴G为BC中点，
∴BG= 32AB=3，
∴BC=6，
②如图2，设B′C与AD相交于点F，当∠AB′D=90°时，
∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AB′=AB=CD，AC=CA，
∴△ACB′≌△CAD(SSS)，
∴∠DAC=∠B′CA，
∴FA=FC，
∵AD=B′C，
∴FB′=FD，
∴∠FB′D=∠FDB′，
∵∠AB′C=∠B=∠CDA，
∴∠AB′D=∠CDB′，
∵∠AB′D=90°，
∴∠CDB′=90°，
∴AB′//CD，
∵AB/​/CD，
∴B，A，B′在同一直线上，
∴∠BAC=∠B′AC=90°，
在Rt△ABC中，∠B=30°，AB=2 3，
∴BC=2 33AB=4；
③如图3，当∠ADB′=90°时，记CD与AB′交于点O，
由折叠可知，∠B=∠ADC=∠AB′C=30°，
BC=B′C=AD，
∴∠ODB′=60°，
∵∠AOD=∠B′OC，
∴△AOD≌△COB′(AAS)
∴OD=OB′，
∴△ODB′是等边三角形，
∴∠DB′C=90°，
同理可得∠ACB′=90°，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∠B=30°，AB=2 3，
BC= 32AB=3．
综上所述，BC的长为6或4或3．
分两种情况，利用含30°的直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和含30°的直角三角形的性质解答．
17.【答案】解：(1)3 3− 12+ 13
=3 3−2 3+ 33
=4 33；
(2)(2+ 5)(2− 5)
=4−5
=−1．
【解析】(1)先化简，再合并同类二次根式即可；
(2)根据平方差公式计算即可．
本题考查二次根式的混合运算、平方差公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】解：(1)x2−2x−1=0，
x2−2x=1，
x2−2x+1=1+1，
(x−1)2=2，
x−1=± 2，
x1=1+ 2，x2=1− 2；
(2)(x−3)(2x+1)=(x−3)2，
(x−3)(2x+1)−(x−3)2=0，
(x−3)(2x+1−x+3)=0，
(x−3)(x+4)=0，
x−3=0或x+4=0，
x1=3，x2=−4．
【解析】(1)利用解一元二次方程−配方法进行计算，即可解答；
(2)利用解一元二次方程−因式分解法进行计算，即可解答．
本题考查了解一元二次方程−配方法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求．
(2)如图，▱ABCD即为所求．

(3)点A′的坐标为(−1,1)．
【解析】(1)根据中心对称的性质作图即可．
(2)根据平行四边形的判定作图即可．
(3)由图可得出答案．
本题考查中心对称、平行四边形的判定，熟练掌握中心对称的性质、平行四边形的判定是解答本题的关键．
20.【答案】解：取BC边的中点M，连接EM，FM，

∵M、F分别是BC、CD的中点，
∴MF/​/BD，MF=12BD，
同理：ME/​/AC，ME=12AC，
∵AC=BD，
∴ME=MF，
∴∠MEF=∠MFE，
∵MF//BD，
∴∠MFE=∠OGH，
同理∠MEF=∠OHG，
∴∠OGH=∠OHG，
∴OG=OH．
【解析】取BC边的中点M，连接EM，FM，则根据三角形的中位线定理，即可证得△EMF是等腰三角形，根据等边对等角，即可证得∠MEF=∠MFE，然后根据平行线的性质证得∠OGH=∠OHG，根据等角对等边即可证得．
本题考查了三角形的中位线定理，正确证明△EMF是等腰三角形是关键．
21.【答案】解：(1)由题意得，a=110×(83+95+86+84+95+82+89+95+91+100)=90，
七年级10名学生的竞赛成绩中，94出现的次数最多，故众数b=94，
把八年级10名学生的竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是89，91，故中位数c=89+912=90，
d=110×[3×(94−90)2+(83−90)2+(85−90)2+(96−90)2+(88−90)2+(95−90)2+(87−90)2+(84−90)2]=23.2；
(2)七年级学生掌握的相关知识较好，虽然七、八年级竞赛成绩的平均数、但是七年级的竞赛成绩的中位数比八年级的高，方差比八年级的小，因此七年级学生掌握的相关知识较好；
(3)圆圆的说法错误，因为样本只代表部分数据，并不能表示七年级学生中没有同学得满分．
【解析】(1)依据平均数、中位数、众数和方差的计算方法即可得出答案；
(2)通过比较平均数、中位数、众数得出答案；
(3)根据抽样调查的意义解答即可．
本题考查方差、中位数、众数以及用样本估计总体，掌握各种统计量的定义是解答本题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵DE⊥BC，延长DE到F，
∴AC/​/DF，
∴∠A=∠BDF，
∵∠A=∠F，
∴∠BDF=∠F，
∴CF//AB，
又∵AC/​/DF，
∴四边形ADFC是平行四边形；
(2)解：∵CD平分∠ADE，
∴∠ADC=∠FDC，
在△ADC和△FDC中，
∠A=∠F∠ADC=∠FDCCD=CD，
∴△ADC≌△FDC(AAS)，
∴AD=DF，
由(1)得：四边形ADFC是平行四边形，
∴S四边形ADFC=2S△CDF，AD=CF=DF=10，
设EF=x，则DE=10−x，
在Rt△CED中，由勾股定理得：CE2=CD2−DE2，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE2=CF2−EF2，
∴122−(10−x)2=102−x2，
解得：x=145，
∴CE= CF2−EF2= 102−(145)2=485，
∴S四边形ADFC=2S△CDF=2×12DF⋅CE=2×12×10×485=96．
【解析】(1)由∠ACB=90°，DE⊥BC，推出AC/​/DF，得出∠A=∠BDF，再证∠BDF=∠F，则CF/​/AB，即可得出结论；
(2)先由AAS证得△ADC≌△FDC，得出AD=DF，由平行四边形的性质得S四边形ADFC=2S△CDF，AD=CF=DF=10，设EF=x，则DE=10−x，再由勾股定理求出x=145，CE=485，即可得出结果．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)根据题意得：5≤x≤12；
(2)根据题意得：(300−2x)(200−2×2x)=44800，
整理得：x2−200x+1900=0，
解得：x1=10，x2=190(不符合题意，舍去)，
∵5≤10≤12，
∴路面设置的宽度符合要求；
(3)设每平方米草莓平均利润下调y元，则每平方米草莓平均利润为(100−y)元，每月可售出5000+y5×500=(5000+100y)平方米草莓，
根据题意得：(100−y)(5000+100y)−20000=520000，
整理得：y2−50y+400=0，
解得：y1=10，y2=40，
又∵要让利于顾客，
∴y=40．
答：每平方米草莓平均利润下调40元．
【解析】(1)根据“道路宽度x不超过12米，且不小于5米”，即可得出纵向道路宽度x的取值范围；
(2)由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为(300−2x)米、宽为(200−2×2x)米的长方形，根据中间种植的面积是44800m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，取其符合题意的值，再对照(1)中x的取值范围，即可得出结论；
(3)设每平方米草莓平均利润下调y元，则每平方米草莓平均利润为(100−y)元，每月可售出(5000+100y)平方米草莓，利用总利润=销售利润−承包费，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24.【答案】4.8秒或8秒或9.6
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DPC=∠PCB，
∵CP平分∠BCD，
∴∠PCD=∠PCB，
∴∠DPC=∠DCP，
∴DP=DC，
∵CD=CP，
∴PC=CD=PD，
∴△PDC是等边三角形，
∴∠D=∠B=60°；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴PD/​/BC．
要使四边形PDQB是平行四边形，则PD=BQ，
设运动时间为t秒，根据题意可知：AP=t cm，CQ=2t cm，AD=6cm，
①当0∴6−0.5t=6−2t，
解得t=0，不合题意，舍去；
②当3∴6−0.5t=2t−6，
解得，t=4.8；
③当6∴6−0.5t=18−2t，
解得，t=8；
④当9∴6−0.5t=2t−18，
解得，t=9.6；
综上所述，当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形；
故答案为：4.8秒或8秒或9.6秒；
(3)如图3，延长AE交CF于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB/​/CD，
∵CE平分∠ACF，
∴∠ACE=∠HCE，
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=∠HEC=90°，
∵CE=CE，
∴△AEC≌△HEC(ASA)，
∴AE=EH，AC=CH，
∵AB/​/CD，
∴∠ABE=∠HFE，
∵∠AEB=∠HEF，
∴△ABE≌△HEF(AAS)，
∴AB=FH，
∵AB=CD，
∴FH=CD，
∵DF=DH+FH=DH+CD=CH=8，
∴AC=CH=8；
∴AC的长为8；
(4)如图2，作CH⊥AD于H，
∵△PDC是等边三角形，
∴CD=PD=AB=4cm，∠DCH=30°，
∴DH=12PD=12CD=2cm，
∴CH= 3DH=2 3，
∴S△PCD=12×4×2 3=4 3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，BC/​/AD，AB=CD，
∴S△PBC=S△FAB=12S平行四边形ABCD，
∴S△ABP+S△PCD=12S平行四边形ABCD，
∴S△APF+S△ABP=S△ABP+S△PCD，
∴S△APF=S△PCD=4 3cm2．
(1)根据平行四边形的性质、角平分线的定义得到∠DPC=∠DCP，得到DP=DC，证明△PDC是等边三角形，根据等边三角形的性质解答；
(2)分0(3)延长AE交CF于点H，证明△AEC≌△HEC(ASA)，可得AE=EH，AC=CH，再证明△ABE≌△HEF(AAS)，得AB=FH，然后利用线段的和差即可解决问题；
(4)作CH⊥AD，求出S△PCD，根据三角形面积公式得到S△APF=S△PCD，得到答案．
本题考查的是平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积计算，掌握三角形的面积公式、平行四边形的性质和判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．人数
2
7
7
4
成绩(分)
70
80
90
100
年级
平均数
众数
中位数
方差
七年级
90
b
91
d
八年级
a
95
c
34.2
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1
某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB=200米，BC=300米.准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果．
出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米．
素材2
该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓.果园每月的承包费为2万元．
问题解决
任务1
解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．
(1)请直接写出纵向道路宽度x的取值范围．
(2)若中间种植的面积是44800m2，则路面设置的宽度是否符合要求．
任务2
解决果园种植的预期利润问题．
(总利润=销售利润−承包费)
(3)若农户预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？