2025高考物理一轮考点突破训练第5章万有引力与宇宙航行第14讲万有引力定律及应用相对论考点3万有引力定律的应用

这是一份2025高考物理一轮考点突破训练第5章万有引力与宇宙航行第14讲万有引力定律及应用相对论考点3万有引力定律的应用，共4页。试卷主要包含了天体质量和密度的计算，人造卫星运行轨道等内容，欢迎下载使用。

1．天体质量和密度的计算
2.解答人造地球卫星运行问题的策略
(1)一种模型：无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。
(2)两种关系
①万有引力提供向心力：Geq \f(Mm,r2)＝ma＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r。
②重力等于万有引力：eq \f(GMm,R2)＝mg(R、g分别是地球的半径、地球表面重力加速度)。
(3)四字结论：越高越慢
Geq \f(Mm,r2)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ma→a＝\f(GM,r2)→a∝\f(1,r2),m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3))→ω∝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3)))
3．人造卫星运行轨道
卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星的轨道是赤道轨道。如图所示。
►考向1 天体质量和密度的计算
[解析] 若不考虑地球自转，根据地球表面万有引力等于重力，有Geq \f(m地m,R2)＝mg，则m地＝eq \f(gR2,G)，故A错误；根据太阳对地球的万有引力提供向心力，有eq \f(Gm太m地,L\\al(2,2))＝m地eq \f(4π2,L\\al(2,2))L2，则m太＝eq \f(4π2L\\al(3,2),GT\\al(2,2))，故B正确；由题中数据无法求出月球的质量，故C错误；由m地＝eq \f(gR2,G)和ρ地＝eq \f(m地,V地)，V地＝eq \f(4,3)πR3，可求出地球的平均密度ρ地＝eq \f(3g,4πRG)，故D正确。
估算天体质量和密度时应注意的问题
(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。
(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近运动的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝eq \f(4,3)πR3中的R只能是中心天体的半径。
(3)在考虑中心天体自转问题时，只有在两极处才有eq \f(GMm,R2)＝mg。
►考向2 行星(或卫星)运行参数的确定
(2023·浙江卷)木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为T0，则( D )
A．木卫一轨道半径为eq \f(n,16)r
B．木卫二轨道半径为eq \f(n,2)r
C．周期T与T0之比为neq \f(3,2)
D．木星质量与地球质量之比为eq \f(T\\al(2,0),T2)n3
[解析] 根据题意可得，木卫3的轨道半径为r3＝nr，根据万有引力提供向心力Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(4π2,T2)R，可得R＝eq \r(3,\f(GMT2,4π2))，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4，可得木卫一轨道半径为r1＝eq \f(nr,\r(3,16))，木卫二轨道半径为r2＝eq \f(nr,\r(3,4))，故A、B错误；木卫三围绕的中心天体是木星，月球的围绕的中心天体是地球，根据题意无法求出周期T与T0之比，故C错误；根据万有引力提供向心力，分别有Geq \f(M木m,nr2)＝meq \f(4π2,T2)nr，Geq \f(M地m,r2)＝meq \f(4π2,T\\al(2,0))r，联立可得eq \f(M木,M地)＝eq \f(T\\al(2,0),T2)n3，故D正确。故选D。
【跟踪训练】
(天体质量和密度的计算)(2023·辽宁卷)在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为( D )
A．k3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(T1,T2)))2 B．k3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(T2,T1)))2
C.eq \f(1,k3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(T1,T2)))2 D．eq \f(1,k3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(T2,T1)))2
[解析] 设月球绕地球运动的轨道半径为r1，地球绕太阳运动的轨道半径为r2，根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，可得Geq \f(m地m月,r\\al(2,1))＝m月eq \f(4π2,T\\al(2,1))r1，Geq \f(m地m日,r\\al(2,2))＝m地eq \f(4π2,T\\al(2,2))r2，其中eq \f(r1,r2)＝eq \f(R月,R日)＝eq \f(R地,kR日)，ρ＝eq \f(m,\f(4,3)πR3)，联立可得eq \f(ρ地,ρ日)＝eq \f(1,k3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(T2,T1)))2，故选D。
(天体运行参量分析)(多选)(2022·辽宁高考)如图所示，行星绕太阳的公转可以看作匀速圆周运动，在地面上容易测得地球—水星连线与地球—太阳连线夹角α，地球—金星连线与地球—太阳连线夹角β，两角最大值分别为αm、βm，则( BC )
A．水星的公转周期比金星的大
B．水星的公转向心加速度比金星的大
C．水星与金星的公转轨道半径之比为sin αm∶sin βm
D．水星与金星的公转线速度之比为eq \r(sin αm)∶eq \r(sin βm)
[解析] 根据万有引力提供向心力，有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r＝ma，可得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，a＝eq \f(GM,r2)，因为水星的公转半径比金星的小，可知水星的公转周期比金星的小，水星的公转向心加速度比金星的大，故A错误，B正确；设水星的公转半径为r水，地球的公转半径为r地，当α角最大时有sin αm＝eq \f(r水,r地)，同理可知sin βm＝eq \f(r金,r地)，所以水星与金星的公转轨道半径之比为r水∶r金＝sin αm∶sin βm，故C正确；根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)可得v＝eq \r(\f(GM,r))，则v水∶v金＝eq \r(r金)∶eq \r(r水)＝eq \r(sin βm)∶eq \r(sin αm)，故D错误。使用方法
已知量
利用公式
表达式
质量的计算
利用运行天体
r、T
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝eq \f(4π2r3,GT2)
r、v
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)
M＝eq \f(rv2,G)
v、T
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝eq \f(v3T,2πG)
利用天体表面重力加速度
g、R
mg＝eq \f(GMm,R2)
M＝eq \f(gR2,G)
密度的计算
利用运行天体
r、T、R
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝ρ·eq \f(4,3)πR3
ρ＝eq \f(3πr3,GT2R3)
当r＝R时
ρ＝eq \f(3π,GT2)
利用天体表面重力加速度
g、R
mg＝eq \f(GMm,R2)
M＝ρ·eq \f(4,3)πR3
ρ＝eq \f(3g,4πGR)