[数学]2023_2024学年江苏南京玄武区南京外国语学校高一上学期期中数学试卷(原题版+解析版)

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2023~2024学年江苏南京玄武区南京外国语学校高一上学期期中数学试卷
1. 若函数
A. 2
是幂函数且为奇函数，则 的值为
B. 3
C. 4
D. 2或4
答案
解析
D
【分析】
根据幂函数的定义，求得
【详解】
或
，分别代入函数的解析式，验证函数的奇偶性，即可求解，得到答案.
由题意，函数
是幂函数，可得
，
解得
当
或
，
时，函数
，此时函数
为奇函数，满足题意；
当
时，函数
，此时函数 为奇函数，满足题意，
故选D.
【点睛】
本题主要考查了幂函数的定义，以及幂函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
2. 已知
A.
，
，则
（
）
B.
C.
D.
答案
解析
C
【分析】
先求出两集合，再求两集合的交集.
【详解】
解：由
由
，
，得到
，即
，
，得到
，
则
，
故选：C．
3. 定义两种运算：
A. 奇函数
，则函数
为（
C. 奇函数且为偶函数
）
B. 偶函数
D. 非奇函数且非偶函数
答案
解析
A
，
所以
解得
，
，
故函数的定义域为
此时
，它关于原点对称．
，
而
，故
为奇函数，
故选： .
4. 设
A. 2
，且
恒成立，则 的最大值为（
C. 4
）
B. 3
D. 5
答案
C

解析
解：因为
所以
，所以
等价于
，
，
因为
所以
，
，当且仅当
时等号成立，
所以
，即 的最大值为
因此正确答案为：C
5. 若函数
A.
，若
B.
，则实数a的取值范围是（
C.
）
D.
答案
解析
B
【分析】
分
和
两种情况求解不等式即可.
【详解】
解：①当
即
时，由
，所以
，得
，
，解得
；
②当
时，由
，得
，或
，
所以
，解得
（舍去），
综上：
故选：B．
，
6. 已知
A.
为偶函数，它在
上是减函数，若有
B.
，则 的取值范围是（
C.
）
D.
答案
解析
A
函数
函数
为偶函数，由
在 上是减函数，
，可得
，
又
，则
，解得
.
因此，所求 的取值范围是
因此正确答案为：A.
.
7. 已知函数
A.
是偶函数，则实数k的值为（
）
C.
B.
D.
答案
解析
C
【分析】
由于
为偶函数，所以
，化简可求出实数k的值.
【详解】
解：定义域为
，
，
∵
∴
即
∴
是偶函数，
，
，即
，
即
，
∵
，∴
，得
．
故选：C

8. 已知函数
A.
，则
＝（ ）
B.
C.
D.
答案
解析
D
【分析】
可以求出
，从而可得出
，从而可求出
．
【详解】
解：
，
．
故选：
．
【点睛】
考查对数的运算性质，奇函数的定义，以及分子有理化的方法．
9. 下列说法正确的是（
A. 定义在R上的函数
B. 定义在R上的函数
C. 定义在R上的函数
D. 定义在R上的函数
）
满足
，则函数
，则函数
是R上的增函数
满足
是R上不是减函数
在区间
在区间
上是增函数，在区间
上是增函数，在区间
上也是增函数，则函数
上也是增函数，则函数
在R上是增函数
在R上是增函数
答案
解析
BC
【分析】
对于A，举例分析判断，对于B，根据减函数的定义分析判断，对于C，根据增函数的定义分析判断，对于D，举例判断.
【详解】
解：对A：如
，满足
，但
不是R上的增函数，所以A错误；
对B：若函数
则若
在R上为减函数，则对于任意
且
，则
定成立，
，函数
在R上不是减函数，故B正确；
在区间 上时增函数，在
，则 定成立，则函数
是定义在R上的函数，且 在区间
对C：若定义在R上的函数
则满足对于任意
上也是增函数，
且
在R上是增函数，故C正确；
上是增函数，在区间
对D：设函数
上也是增函数，
而
但
，不符合增函数的定义，所以
在R上不是增函数，故D错误；
故选：BC．
10. 有下列四种说法，正确的说法有（
A. 幂函数的图象一定不过第四象限；
B. 奇函数图象一定过坐标原点；
）
C. 命题“
D.
，
”的否定是“
，
”
定义在R上的函数
对任意两个不等实数a、b，总有
成立，则
在R上是增函数
答案
解析
ACD
【分析】
对于A，根据幂函数的性质判断，对于B，举例判断，对于C，将全称命题改为特称命题即可，对于D，由函数单调性的定义分析判断.
【详解】
对于A，根据幂函数的图象与性质知，幂函数的图象不过第四象限，A正确；
对于B，奇函数的图象不一定过坐标原点，如
是奇函数，而它的图象不过原点，所以B错误；
， ”，C正确；
对于C，命题“ ， ”的否定是“

对于D，根据题意知，
由单调性的定义知，
故选：ACD．
时，
，
时，
，
在R上是增函数，D正确；
11. 某同学在研究函数
时，分别给出下面几个结论，则正确的结论有（
）
A. 等式
对
B. 若
，则一定有
C. 若
，方程
有
D. 函数
三个零点．
在R上有
恒成立；
；
两个不等实数根；
答案
解析
AB
【分析】
对于A，通过判断函数的奇偶性进行判断，对于B，通过判断函数的单调性分析判断，对于C，由
的奇偶性和单调性，结合函数的
值域分析判断，对于D，由
【详解】
的奇偶性和单调性分析判断.
对于A，因为
所以
，
是奇函数，故
，因为
上递增，
是奇函数，所以
对
恒成立，所以A正确；
上递减，
对于B，当
所以
时，
在
在
因为
在
上也是增函数，
而
，
的图象连续，所以
，则一定有
在 上为单调递增函数，
所以
成立，所以B正确；
，所以
对于C，因为
为偶函数，
当
时，
在
，因为
在
为单调递增函数，
所以
上单调递减，
当
时，
，
因为
，所以
，所以
，则
，
因为
，
为偶函数，所以
，
所以当
时有两个不相等的实数根，当
时不可能有两个不等的实数根，所以C错误；
，所以 为奇函数，
对于D，因为
当
时，
，
因为
因为
为奇函数，所以当
，所以函数
时，
，
在R上有一个零点，所以D错误；
故选：AB．
【点睛】
关键点点睛：此题考查函数奇偶性和单调性的综合问题，考查函数与方程，解题的关键是对函数奇偶性和单调性的正确判断，然后利
用奇偶性和单调性的性质求解，考查计算能力，属于较难题.
12. 已知函数
A.
，当
时，有
．给出以下命题，则正确命题的有（
C.
）
B.
D.
答案
解析
AD
【分析】
作出函数
【详解】
的图象，由数形结合判断四个选项的正误.
的图象如下图所示,由图可知
在
单调递减，在
上单调递增
因为
，
若
，因为
在
单调递减，此时不满足
所以
因为
所以
，同理可得
，所以
，
，即
，
对.

即
，
错.
若
，因为
所以
此时
若
，
错，
， 对.
,因为
所以
即
综上所述， 对.
故选：
13. 已知函数
，则
．
答案
解析
1
【分析】
根据函数解析式先求出
【详解】
，然后可求得结果.
∵
，
∴
．
故答案为：1．
14. 已知实数
，且
，则
的最小值是
．
答案
解析
【分析】
利用“1”的代换及基本不等式求目标式的最小值即可.
【详解】
因为
所以
，所以
，
，
，
当且仅当
，即
，
，
时等号成立，
所以
所以
，即
，
的最小值是
故答案为：
15. 已知函数
满足：对任意非零实数x，均有
，则
在
上的最小值为
．
答案
解析
【分析】
求出
【详解】
令
，再由
可求出
，从而可求出函数解析式，然后利用基本不等式可求出
在
上的最小值.

解：因为对任意非零实数x，均有
，
所以
所以
所以
，解得
，解得
，
，
，
所以，当
当且仅当
时，
时，即
，
时，等号成立，
．
即
在
上的最小值为
．
故答案为：
16. 函数
的定义域为R（常数
，
），则实数k的取值范围是
．
答案
解析
【分析】
由题意可得
在R上恒成立，且
，即
在R上成立，且
，然后结合基本不等
式可求得结果.
【详解】
解：根据题意，不等式
在R上恒成立，且
．
，
即
在R上成立，且
因为
，当且仅当
时，即
时等号成立，
所以
，解得
，
所以k的取值范围是
故答案为：
．
．
17. （1）计算：
（2）已知
；
，求
的值．
答案
解析
（1）9；（2）1
【分析】
（1）根据对数的运算性质和分数指数幂的运算性质求解；
（2）由
求出
，然后代入
中化简计算即可.
【详解】
（1）
；
（2）∵
∴
，
，
，
∴
．
18. （1）设a，b，c，d为实数，求证：
（2）已知 ，求证：
；
．

答案
解析
（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】
（1）利用作差法化简证明即可；
（2）利用基本不等式结合配方法证明即可.
【详解】
（1）因为
，
当且仅当
所以
时，等号成立，
，
所以
；
（2）因为
所以
，当且仅当
，当且仅当
，即
时取等号，
时取等号，
，即
因为
综上
，
．
19. 已知奇函数
(1)证明：
(2)求
满足
，且当
时，
．
；
的值．
答案
解析
(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）根据
结合奇函数的性质证明即可；
（2）由（1）可知函数的周期为4，利用周期将函数的自变量化简到
【详解】
内求解即可.
（1）证明：因为奇函数
满足
，
所以
所以
所以
即
，
，
，
；
（2）由（1）可知4为
的周期，
因为
得
，所以
，所以
，
，
所以
.
20. 已知正数a，b满足
．
(1)求
(2)求
的最小值；
的最小值．
答案
(1)
(2)18
解析
【分析】
（1）利用常值代换法和基本不等式即可求出最小值；

（2）将已知式分解因式为
【详解】
，利用常数分离法将所求式化成
，再运用基本不等式即可求得最小值.
（1）因为
所以
，
，且
，则
，
，
当且仅当
，即
，即
，
时等号成立，
故
的最小值为
．
（2）因为
所以
，
，且
，所以
，
，
当且仅当
故
，即
时等号成立，
的最小值为18．
21. 定义在R上的函数
是偶函数，
的解析式；
在区间
是奇函数，且
．
(1)求函数
(2)求函数
与
上的最小值．
答案
解析
(1)
，
(2)答案见解析
【分析】
（1）由已知得
，再结合
，然后分
，①
是偶函数，
是奇函数，可得
，再与原等式联立可
求出
与
的解析式；
（2）由（1）得
【详解】
和
两种情况讨论求解即可.
（1）根据题意，由
得
，
是奇函数，
，②
又由
则有
是偶函数，
联立①②可得：
（2）根据题意，
，
．
，
当
时，
则其最小值为
时，
在区间
上递减，
，
当
在区间
上递减，
上递增，
则其最小值为
综上，当
．
时，
在区间
上的最小值为
，
当
时，
在区间
上的最小值为
．
22. 已知函数
(1)求
的定义域为
，且
．当
时，
．
；
(2)证明：函数
(3)如果
在
为增函数；
，解不等式
．
答案
解析
(1)0
(2)证明见解析
(3)
【分析】
（1）对抽象等式进行字母赋值计算即得；
（2）将抽象函数等式变形为
，利用函数单调性定义，结合条件即可证明；
，最后利用抽象函数的单调性即得.
（3）先推理得到
，再利用结论化简
【详解】
（1）∵
，

令
，则
，
∴
；
（2）由
，可得
，
，
则得，
设
，由
，
因
时，有
在
，依题意，
为增函数；
，即
，
，
所以函数
（3）因
，∴
又由
由
，则
，
可得
，即
，
即
，因函数
在
为增函数
故可得，
，
解得
，即不等式
的解集为
.
【点睛】
方法点睛：本题主要考查利用抽象函数等式探究函数性质以及解不等式上的应用，属于难题.
解题方法主要有：
（1）赋值代入法；（将字母取值，计算函数值）
（2）构造函数法：(如（2）题中，对于
，构造
，从而得
用来证明函数单调性)
（3）函数单调性应用：利用函数单调性，去掉函数符号，化抽象函数不等式为具体不等式求解.