2021-2022学年北京市西城区铁路二中高二（下）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年北京市西城区铁路二中高二（下）期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）数列{an}是递增数列，则{an}的通项公式可以是下面的（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）随机变量X的分布列如表：若Y＝3X+1，则E（Y）的值是（ ）
A．B．1C．2D．3
3．（4分）等差数列{an}中，a1＝1，a3+a5＝14，其前n项和Sn＝100，则n＝（ ）
A．9B．10C．11D．12
4．（4分）两点分布也叫0﹣1分布，已知随机变量X服从参数为0.5的两点分布，则下列选项中不正确的是（ ）
A．P（X＝0）＝0.5B．P（X＝1）＝0.5C．E（X）＝0.5D．D（X）＝0.5
5．（4分）等比数列{an}各项均为正数，且a1，a3，a2成等差数列，则＝（ ）
A．﹣B．
C．D．﹣或
6．（4分）已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2•a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝（ ）
A．35B．33C．31D．29
7．（4分）若函数f（x）＝lnx+ax2﹣2在区间（，2）内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣，+∞）C．（﹣2，﹣）D．（﹣2，+∞）
8．（4分）长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约有40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为（ ）
A．0.125B．0.25C．0.375D．0.4
9．（4分）在数列{an}中，a1＝3，且对任意大于1的正整数n，点（，）在直线x﹣y﹣＝0上，则（ ）
A．an＝3nB．an＝C．an＝n﹣D．an＝3n2
10．（4分）从装有3个白球m个红球n个黄球（这些小球除颜色外完全相同）的布袋中任取两个球，记取出的白球的个数为X，若，取出一白一红的概率为，则取出一红一黄的概率为（ ）
A．B．C．D．
11．（4分）设，，c＝e（e≈2.718⋯），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜b＜aB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b
12．（4分）下列说法不正确的是（ ）
A．若函数f（x）满足f'（1）＝1，则函数f（x）在x＝1处切线斜率为1
B．函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8在区间[5，20]上存在增区间，则k＜160
C．函数在区间上有极值点，则
D．若任意0＜a＜b＜t，都有blna＜alnb，则有实数t的最大值为e
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
13．（5分）函数的图象在x＝4处的切线的斜率为 ．
14．（5分）{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a7＝5，S7＝21，则S10＝ ．
15．（5分）等差数列{an}中，首项为33，公差为整数，若前7项均为正数，第7项以后各项都为负数，则数列的通项公式为 ．
16．（5分）若函数g（x）＝ax3+ax2+x在R上单调递增，则实数a的取值范围是 ．
17．（5分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲两轮活动中恰好猜对一个成语的概率为 ；“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为 ．
18．（5分）已知函数（a为常数），
①当a＝0时，f（x）有最小值；
②当a≠0时，f（x）有两个极值点；
③曲线y＝f（x）在点..处的切线方程为（a﹣1）x+y﹣a＝0；
④当时，f（x）在（0，+∞）有最大值1．
上述判断正确的结论的标号是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（13分）已知数列{an}是等差数列，Sn为其前n项和，a1＝﹣6，S3＝S4．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn＝，求数列{bn}的前n项和．
20．（14分）某书店打算对A，B，C，D四类图书进行促销，为了解销售情况，在一天中随机调查了15位顾客（记为ai，i＝1，2，3，…，15）购买这四类图书的情况，记录如下（单位：本）：
（I）若该书店每天的人流量约为100人次，一个月按30天计算，试估计A类图书的月销量（单位：本）；
（Ⅱ）书店进行促销活动，对购买过两类以上（含两类）图书的顾客赠送5元电子红包．现有甲、乙、丙三人，记他们获得的电子红包的总金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）若某顾客已选中B类图书，为提高书店销售业绩，应继续向其推荐哪类图书？（结果不需要证明）
21．（15分）已知函数f（x）＝+ax．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a∈（1，3]时，若f（x）在区间[0，a+1]上的最大值为M，最小值为m，求证：M﹣m＞．
22．（15分）某市某路口用停车信号管理，在某日9：00后的一分钟内有15辆车到达路口，到达的时间如下（以秒作单位）：1，4，7，10，14，17，20，22，25，28，30，33，36，38，41．记k＝1，2，3，…，15，A（k）表示第k辆车到达路口的时间，W（k）表示第k辆车在路口的等待时间，且W（1）＝0，W（i+1）＝max{0，W（i）+A（i）﹣A（i+1）+3}，（i＝1，2，…，14），记M＝max{a，b}，M表示a，b中的较大者．
（Ⅰ）从这15辆车中任取2辆，求这两辆车到达路口的时间均在15秒以内的概率；
（Ⅱ）求W（2），W（3），W（4）的值；
（Ⅲ）记这15辆车在路口等待时间的平均值为..，现从这15辆车中随机抽取1辆，记，求ξ的分布列和数学期望；
23．（15分）已知函数f（x）＝lnx+x﹣mx2．
（Ⅰ）当m＝2时，求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值．
2021-2022学年北京市西城区铁路二中高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（4分）数列{an}是递增数列，则{an}的通项公式可以是下面的（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，由数列单调性的定义分析选项，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，an＝﹣，有an﹣an﹣1＝﹣＝，又由n≥2，则an﹣an﹣1＞0，数列{an}是递增数列，符合题意；
对于B，an＝n2﹣3n，则a1＝1﹣3＝﹣2，a2＝4﹣6＝﹣2，数列{an}不是递增数列，不符合题意；
对于C，an＝2﹣n，有a1＝2﹣1＝，a2＝2﹣2＝，数列{an}不是递增数列，不符合题意；
对于D，an＝（﹣n）n，有a2＝（﹣2）2＝4，a3＝（﹣3）3＝﹣27，数列{an}不是递增数列，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查数列的函数特性，涉及数列的单调性，属于基础题．
2．（4分）随机变量X的分布列如表：若Y＝3X+1，则E（Y）的值是（ ）
A．B．1C．2D．3
【分析】根据已知条件，结合分布列的性质，以及期望公式，即可求解．
【解答】解：由分布列的性质可得，，解得a＝，
故E（X）＝，
故E（Y）＝E（3X+1）＝3E（X）+1＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查分布列的性质，以及期望公式，属于基础题．
3．（4分）等差数列{an}中，a1＝1，a3+a5＝14，其前n项和Sn＝100，则n＝（ ）
A．9B．10C．11D．12
【分析】先由等差数列的通项公式和已知条件解出d，进而写出sn的表达式，然后令sn＝100，解方程即可．
【解答】解：∵a1＝1，a3+a5＝14，
∴1+2d+1+4d＝14，
解得d＝2，
∴Sn＝n+×2＝100，
整理得n2＝100，解得n＝10．
故选：B．
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式与前n项和公式相联系的五个基本量a1，d，n，an，sn的相互转化．
4．（4分）两点分布也叫0﹣1分布，已知随机变量X服从参数为0.5的两点分布，则下列选项中不正确的是（ ）
A．P（X＝0）＝0.5B．P（X＝1）＝0.5C．E（X）＝0.5D．D（X）＝0.5
【分析】根据已知条件，结合两点分布的性质，以及期望与方差的公式，即可求解．
【解答】解：∵随机变量X服从参数为0.5的两点分布，
∴P（X＝0）＝P（X＝1）＝0.5，故AB正确，
E（X）＝1×0.5＝0.5，
D（X）＝0.5×（1﹣0.5）＝0.25，故D错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查两点分布的性质，以及期望与方差的公式，属于基础题．
5．（4分）等比数列{an}各项均为正数，且a1，a3，a2成等差数列，则＝（ ）
A．﹣B．
C．D．﹣或
【分析】设等比数列{an}的公比为q（q＞0），由a1，a3，a2成等差数列得到关于q的方程，解之即可．
【解答】解：由题意设等比数列{an}的公比为q（q＞0），
∵a1，a3，a2成等差数列，
∴2×a3＝a1+a2，
∵a1≠0，
∴q2﹣q﹣1＝0，
解得q＝或q＝（舍去）．
∴＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了等差与等比数列的通项公式的应用问题，是基础题．
6．（4分）已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2•a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝（ ）
A．35B．33C．31D．29
【分析】用a1和q表示出a2和a3代入a2•a3＝2a1求得a4，再根据a4+2a7＝a4+2a4q3，求得q，进而求得a1，代入S5即可．
【解答】解：a2•a3＝a1q•a1q2＝2a1
∴a4＝2
a4+2a7＝a4+2a4q3＝2×
∴q＝，a1＝＝16
故S5＝＝31
故选：C．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．
7．（4分）若函数f（x）＝lnx+ax2﹣2在区间（，2）内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣，+∞）C．（﹣2，﹣）D．（﹣2，+∞）
【分析】求出函数的导数，问题转化为a＞，而g（x）＝﹣在（，2）递增，求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可．
【解答】解：f′（x）＝+2ax，
若f（x）在区间（，2）内存在单调递增区间，
则f′（x）＞0在x∈（，2）有解，
故a＞，
而g（x）＝﹣在（，2）递增，
g（x）＞g（）＝﹣2，
故a＞﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道基础题．
8．（4分）长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约有40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为（ ）
A．0.125B．0.25C．0.375D．0.4
【分析】利用条件求出每天玩手机不超过1小时的学生的人数及其中近视的人数，再进行概率估计．
【解答】解：设该校共有a名同学，则约有0.4a的学生近视，0.2a的学生每天玩手机超过1小时且玩手机超过1小时的学生中有0.1a的学生近视．
所以有0.8a的学生每天玩手机不超过1小时且其中有0.3a的学生近视．
所以从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为．
故选：C．
【点评】本题考查概率的含义，属于基础题．
9．（4分）在数列{an}中，a1＝3，且对任意大于1的正整数n，点（，）在直线x﹣y﹣＝0上，则（ ）
A．an＝3nB．an＝C．an＝n﹣D．an＝3n2
【分析】把点（，）代入直线x﹣y﹣＝0，利用等差数列的通项公式即可得出．
【解答】解：点（，）在直线x﹣y﹣＝0上，
则﹣﹣＝0，即﹣＝，
∴数列{}是等差数列，公差为，＝，
∴＝+（n﹣1）•＝n，
∴an＝3n2，
故选：D．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10．（4分）从装有3个白球m个红球n个黄球（这些小球除颜色外完全相同）的布袋中任取两个球，记取出的白球的个数为X，若，取出一白一红的概率为，则取出一红一黄的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由题意可得，X所有可能取值为0，1，2，分别求出对应的概率，再结合期望公式，以及古典概型的概率公式，即可求解．
【解答】解：由题意可得，X所有可能取值为0，1，2，
P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，
故E（X）＝+＝＝，解得m+n＝7，
袋中共有10个球，
则取出一白一红的概率为＝，解得m＝5，则n＝2，
故取出一红一黄的概率为．
故选：A．
【点评】本题主要考查离散型随机变量期望的应用，考查转化能力，属于中档题．
11．（4分）设，，c＝e（e≈2.718⋯），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜b＜aB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b
【分析】直接利用函数的导数和函数的单调性的关系求出结果．
【解答】解：设，（x＞0），
所以，当x＝e时，f′（e）＝0，
故函数f（x）在（0，e）上单调递减，函数在（e，+∞）上单调递增；
故f（2）＞f（e），f（e）＜f（3），
且，
故a＞b，
所以a＞b＞c
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：构造函数的应用，函数的导数和函数的单调性的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
12．（4分）下列说法不正确的是（ ）
A．若函数f（x）满足f'（1）＝1，则函数f（x）在x＝1处切线斜率为1
B．函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8在区间[5，20]上存在增区间，则k＜160
C．函数在区间上有极值点，则
D．若任意0＜a＜b＜t，都有blna＜alnb，则有实数t的最大值为e
【分析】根据切线斜率与导数的关系、二次函数的性质、极值点、构造函数法对选项进行分析，从而确定正确答案．
【解答】解：A．由导数的几何意义可知正确
B．由函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8在区间[5，20]上存在增区间，
可知，
所以k＜160，故B正确；
对于C，由，可得f′（x）＝x2﹣ax+1，
则f′（x）＝x2﹣ax+1＝0在区间上有变号零点，即在区间上有解，
又，当a＝2时，f′（x）＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0，函数没有极值，故，故C错误；
对于D，令，则，
所以x∈（0，e），g′（x）＞0，函数单调递增，x∈（e，+∞），g′（x）＜0，函数单调递减，
又任意0＜a＜b＜t，都有blna＜alnb，即，
故t∈（0，e]，即实数t的最大值为e，故D正确．
故选：C．
【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的运算能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
13．（5分）函数的图象在x＝4处的切线的斜率为 ．
【分析】求得f（x）的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率．
【解答】解：函数的导数为f′（x）＝，
可得图象在x＝4处的切线的斜率为k＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，正确求导是关键，属于基础题．
14．（5分）{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a7＝5，S7＝21，则S10＝ 40 ．
【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
∵a7＝5，S7＝21，
∴，
解得a1＝1，d＝．
则S10＝10×1+＝40．
故答案为：40．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．（5分）等差数列{an}中，首项为33，公差为整数，若前7项均为正数，第7项以后各项都为负数，则数列的通项公式为 an＝38﹣5n ．
【分析】先设等差数列{an}的公差为d，由题意可知a7＞0，a8＜0，根据通项公式用d表示出来，求出d的范围，取其中的整数即可．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，且d为整数，
由题意得，a7＝a1+6d＞0，a8＝a1+7d＜0，
所以33+6d＞0，且33+7d＜0，
解得＜d＜，
又d为整数，则公差d＝﹣5，
∴an＝33﹣5（n﹣1）＝38﹣5n．
故答案为：an＝38﹣5n．
【点评】本题考查等差数列的通项公式，根据通项公式用d表示a7＞0，a8＜0是解决问题的关键，属基础题．
16．（5分）若函数g（x）＝ax3+ax2+x在R上单调递增，则实数a的取值范围是 [0，3] ．
【分析】求函数的导数，利用g′（x）≥0即可求出a的取值范围．
【解答】解：函数的导数为g′（x）＝3ax2+2ax+1，
若函数数g（x）＝ax3+ax2+1在R上单调递增，
则等价为g′（x）≥0恒成立，
若a＝0，则g′（x）＝1≥0，满足条件，
若a≠0，要使g′（x）≥0恒成立，
则，
即，
解得0＜a≤3，
综上0≤a≤3，
故答案为：[0，3]．
【点评】本题主要考查函数单调区间的求解，求函数的导数，利用导数是解决本题的关键．
17．（5分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲两轮活动中恰好猜对一个成语的概率为 ；“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为 ．
【分析】利用相互独立事件求甲两轮活动中恰好猜对一个成语的概率即可；两轮活动猜对3个成语相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”、事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率求法，即可得解．
【解答】解：甲两轮活动中恰好猜对一个成语的概率为C××＝，
设A1，A2分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，B1，B2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件．根据独立事件的性质，
可得，
，
设A＝两轮活动“星队”猜对3个成语，则A＝A1B2∪A2B1，且A1B2与A2B1互斥，A1与B2，A2与B1分别相互独立，
所以，
因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是．
故答案为：，．
【点评】本题考查相互独立事件，考查学生的运算能力，属于中档题．
18．（5分）已知函数（a为常数），
①当a＝0时，f（x）有最小值；
②当a≠0时，f（x）有两个极值点；
③曲线y＝f（x）在点..处的切线方程为（a﹣1）x+y﹣a＝0；
④当时，f（x）在（0，+∞）有最大值1．
上述判断正确的结论的标号是 ②③④ ．
【分析】利用导数分别结合每个选项的条件计算可判断每个选项的正确性．
【解答】解：对于①选项，当a＝0时，f（x）＝，求导得f′（x）＝，令f′（x）＝0，解得x＝1．当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，1）上单调递增；
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上单调递减，所以当x＝1时，f（x）有最大值，故选项①错误；
对于②选项，当a≠0时，对f（x）求导得，f′（x）＝＝﹣，
当a＞0时，令f′（x）＝0，解得x1＝1﹣，x2＝1且x1＜x2，
当x∈（﹣∞，1﹣）时，f′（x）＜0，当x∈（1﹣，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，+∞时，f′（x）＜0，
所以f（x）在x＝1﹣时取极小值，在x＝1时取极大值．
当a＜0时，令f′（x）＝0，解得x1＝1，x2＝1﹣，且x1＜x2，
当x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，1﹣）时，f′（x）＜0，当x∈（1﹣，+∞）时，f′（x）＞0，
所以f（x）在x＝1时取极大值，在x＝1﹣时取极小值，
所以当a≠0时，有两个极值点，故选项②正确；
对于③选项，因为f′（x）＝，所以f′（0）＝1﹣a，
又f（0）＝a，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣a＝（1﹣a）（x﹣a），即（a﹣1）x+y﹣a＝0，故选项③正确；
对于④选项，当时，＝，
则f′（x）＝﹣＝﹣，x∈（0，+∞），
显然当x＞0时，（e﹣1）x﹣（e﹣3）＞0，
所以当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1）上单调递增；
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上单调递减，所以[f（x）]max＝f（1）＝1，故选项④正确，
故答案为：②③④．
【点评】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求切线方程，最大值，最小值，极值点的个数问题，属中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（13分）已知数列{an}是等差数列，Sn为其前n项和，a1＝﹣6，S3＝S4．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn＝，求数列{bn}的前n项和．
【分析】（Ⅰ）运用a4＝S4﹣S3，结合等差数列的通项公式，可得公差，进而得到通项公式；
（Ⅱ）求得bn，再由等比数列的求和公式，化简计算即可得到所求．
【解答】解：（Ⅰ）因为S3＝S4，所以a4＝0．
因为数列{an}是等差数列，a1＝﹣6，
所以﹣6+3d＝0，即有d＝2．
所以an＝﹣6+2（n﹣1）＝2n﹣8．
（Ⅱ）由an＝2n﹣8可得an+4＝2（n+4）﹣8＝2n，
所以．
从而可知{bn}是首项b1＝4，公比为4的等比数列，
所以其前n项和为．
【点评】本题考查等差数列的通项和等比数列的通项及求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题．
20．（14分）某书店打算对A，B，C，D四类图书进行促销，为了解销售情况，在一天中随机调查了15位顾客（记为ai，i＝1，2，3，…，15）购买这四类图书的情况，记录如下（单位：本）：
（I）若该书店每天的人流量约为100人次，一个月按30天计算，试估计A类图书的月销量（单位：本）；
（Ⅱ）书店进行促销活动，对购买过两类以上（含两类）图书的顾客赠送5元电子红包．现有甲、乙、丙三人，记他们获得的电子红包的总金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）若某顾客已选中B类图书，为提高书店销售业绩，应继续向其推荐哪类图书？（结果不需要证明）
【分析】（I）根据记录一月能求出A类图书的月销量．
（II）顾客购买两类（含两类）以上图书的概率为，X可取0，5，10，15，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
（III）顾客已选中B类图书，为提高书店销售业绩，应继续向其推荐图书D．
【解答】解：（I）（本）
答：A类图书的月销量约为1000本（2分）
（II）顾客购买两类（含两类）以上图书的概率为
X可取0，5，10，15（4分）
，
，
，
，（8分）
所以X的分布列为
所以．（10分）
（III）图书D．（12分）
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查考查排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
21．（15分）已知函数f（x）＝+ax．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a∈（1，3]时，若f（x）在区间[0，a+1]上的最大值为M，最小值为m，求证：M﹣m＞．
【分析】（I）求得f′（x），讨论a与1的大小关系，得到不同情况下导函数的正负，即可求得对应单调性；
（II）根据（1）中所求函数单调性，求得关M﹣m与a的函数关系，再构造函数求其单调性和最值，即可证明．
【解答】解：（I）因为，则f′（x）＝x2﹣（a+1）x+a＝（x﹣a）（x﹣1），
当a＞1时，令f′（x）＞0，解得x＜1或x＞a，此时f（x）单调递增；
令f′（x）＜0，解得1＜x＜a，此时f（x）单调递减；
当a＝1时，f′（x）＝（x﹣1）2≥0，故此时f（x）在R上单调递增；
当a＜1时，令f′（x）＞0，解得x＜a或x＞1，此时f（x）单调递增；
令f′（x）＜0，解得a＜x＜1，此时f（x）单调递减；
综上所述：当a＞1时，f（x）在（﹣∞，1）单调递增，在（1，a）单调递减，在（a，+∞）单调递增；
当a＝1时，f（x）在R上单调递增；当a＜1时，f（x）在（﹣∞，a）单调递增，在（a，1）单调递减，
在（1，+∞）单调递增．
（II）证明：由（1）可知，当a∈（1，3]时，f（x）在（0，1）单调递增，
在（1，a）单调递减，在（a，a+1）单调递增，
又，
故m＝f（0）＝0，又，
则，即f（a+1）≥f（1），故M＝f（a+1）；
则．
令，
则，
令h′（x）＞0，可得，此时h（x）单调递增；
令h'（x）＜0，可得，此时h（x）单调递减，
又，故当x∈（1，3]时，，
即当a∈（1，3]时，，即证．
【点评】本题考查了含参函数单调性的讨论，以及利用导数求函数的最值，考查了分类讨论思想，属中档题．
22．（15分）某市某路口用停车信号管理，在某日9：00后的一分钟内有15辆车到达路口，到达的时间如下（以秒作单位）：1，4，7，10，14，17，20，22，25，28，30，33，36，38，41．记k＝1，2，3，…，15，A（k）表示第k辆车到达路口的时间，W（k）表示第k辆车在路口的等待时间，且W（1）＝0，W（i+1）＝max{0，W（i）+A（i）﹣A（i+1）+3}，（i＝1，2，…，14），记M＝max{a，b}，M表示a，b中的较大者．
（Ⅰ）从这15辆车中任取2辆，求这两辆车到达路口的时间均在15秒以内的概率；
（Ⅱ）求W（2），W（3），W（4）的值；
（Ⅲ）记这15辆车在路口等待时间的平均值为..，现从这15辆车中随机抽取1辆，记，求ξ的分布列和数学期望；
【分析】（Ⅰ）用组合知识求解古典概型；
（Ⅱ）根据题意计算较大值即可；
（Ⅲ）求的可能取值及相应的概率，求出分布列及期望．
【解答】解：（I）这15辆车到达路口的时间在15秒以内的有5辆，
记“两辆车到达路口的时间均在15秒以内”为事件A，则，
所以从这15辆车中任取2辆，到达路口的时间在15秒以内的概率为；
（II）W（2）＝max{0，W（1）+A（1）﹣A（2）+3}＝max{0，0}＝0，W（3）＝0，W（4）＝0，
（Ⅲ）一分钟内的这15辆车在路口等待的时间分别为：0，0，0，0，0，0，0，1，1，1，2，2，2，3，3，
则记这15辆车在路口等待时间的平均值为，
则，
∵，
所以ξ的可能值为﹣1，0，1，2，
，
所以ξ的分布列为：
所以．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
23．（15分）已知函数f（x）＝lnx+x﹣mx2．
（Ⅰ）当m＝2时，求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值．
【分析】（Ⅰ）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间，进而求出函数的极值点；
（Ⅱ）构造函数G（x）＝f（x）﹣mx+1，求出G（x）的导数，通过讨论m的范围，判断函数的单调性，进而求出m的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）当m＝2时，f（x）＝lnx+x﹣x2（x＞0），
，
在区间（0，1）上，f′（x）＞0；在区间（1，+∞）上，f′（x）＜0，
所以，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
所以f（x）的极大值点为1，没有极小值点．
（Ⅱ）令，
则不等式f（x）≤mx﹣1恒成立，即G（x）≤0恒成立，
，
①当m≤0时，因为x＞0，所以G′（x）＞0，
所以G（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，
又因为，
所以关于x的不等式G（x）≤0不能恒成立；
②当m＞0时，，
令G′（x）＝0，因为x＞0，得，
所以当时，G′（x）＞0；当时，G′（x）＜0，
因此函数G（x）在是增函数，在是减函数，
故函数G（x）的最大值为；
令，因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，
又因为，所以当m≥2时，h（m）＜0，
所以整数m的最小值为2．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，第二问难度较大，属于中档题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/4/16 13:39:45；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111X
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