2021-2022学年北京市清华附中朝阳学校高二（下）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年北京市清华附中朝阳学校高二（下）期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）下列函数中求导错误的是（ ）
A．（ex）'＝exB．（lnx）′＝﹣
C．（）′＝D．（sinx）'＝csx
2．（5分）设函数f（x）＝x2﹣1，当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率是（ ）
A．2.1B．0.21C．1.21D．12.1
3．（5分）从4位男生，2位女生中选3人组队参加学习强国答题比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法种数共有（ ）
A．8B．12C．16D．20
4．（5分）已知f（x）＝esinxcsx，则f'（0）＝（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
5．（5分）在（x﹣）6的展开式中，常数项为（ ）
A．﹣15B．﹣30C．15D．30
6．（5分）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，记X为“正面朝上”出现的次数，则随机变量X的方差D（X）＝（ ）
A．2B．1C．D．
7．（5分）某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ2），下列结论中不正确的是（ ）
A．σ越小，该物理量在一次测量中在（9.9，10.1）的概率越大
B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．σ越小，该物理量在一次测量中落在（9.9，10.2）与落在（10，10.3）的概率相等
8．（5分）有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取得次品的个数，则P（X＜2）＝（ ）
A．B．C．D．1
9．（5分）2020年5月1日，北京市开始全面实施垃圾分类，家庭厨余垃圾的分出量不断增加．已知甲、乙两个小区在[0，t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示．给出下列四个结论：
①在[t1，t2]这段时间内，甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大；
②在[t2，t3]这段时间内，乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大；
③在t2时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长的慢；
④甲小区在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t2，t3]的平均分出量最大．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①④D．③④
10．（5分）函数在R上有三个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）函数f（x）＝sinx﹣x，x∈（0，π）的单调递减区间为 ．
12．（5分）甲经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口都遇到红灯的概率为0.3，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为 ．
13．（5分）已知x轴为函数f（x）＝x3+ax+的图象的一条切线，则实数a的值为 ．
14．（5分）已知（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，那么a0＝ ，a1+a2+…+a7＝ ．（用数字作答）
15．（5分）杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律．现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…．记作数列{an}，若数列{an}的前n项和为Sn，则S68＝ ．
16．（5分）记f'（x），g'（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）＝g（x0）且f'（x0）＝g'（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．已知n∈R，函数f（x）＝mx2+nx与g（x）＝lnx，给出下列四个结论：
①存在正数m，使得f（x）与g（x）恰有1个“S点”；
②存在正数m，使得f（x）与g（x）恰有2个“S点”；
③存在负数m，使得f（x）与g（x）恰有1个“S点”；
④存在负数m，使得f（x）与g（x）恰有2个“S点”．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（共5个小题，共70分）
17．（13分）已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣1．
（1）当a＝1时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）≥x2在[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．
18．（13分）为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下：
假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立．
（Ⅰ）若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数；
（Ⅱ）从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量X为这3人中选择“继续学习深造”的人数．以样本的频率估计概率，求X的分布列和数学期望E（X）；
（Ⅲ）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的a（0＜a＜98）人选择了如表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为s2.当a为何值时，s2最小．（结论不要求证明）
19．（15分）已知函数f（x）＝﹣1，a≠0．
（Ⅰ）当a＝1时，
①求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；
②求证：f（x）在（0，+∞）上有唯一极大值点；
（Ⅱ）若f（x）没有零点，求a的取值范围．
20．（15分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线y＝kx+m（km≠0）与椭圆C交于A，B两点，与y轴交于点P，线段AB的垂直平分线与AB交于点M，与y轴交于点N，O为坐标原点．如果∠MOP＝2∠MNP成立，求k的值．
21．（14分）已知集合M⊆N*，且M中的元素个数n大于等于5．若集合M中存在四个不同的元素a，b，c，d，使得a+b＝c+d，则称集合M是“关联的”，并称集合{a，b，c，d}是集合M的“关联子集”；若集合M不存在“关联子集”，则称集合M是“独立的”．
（Ⅰ）分别判断集合{2，4，6，8，10}和集合{1，2，3，5，8}是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；
（Ⅱ）已知集合{a1，a2，a3，a4，a5}是“关联的”，且任取集合{ai，aj}⊆M，总存在M的关联子集A，使得{ai，aj}⊆A．若a1＜a2＜a3＜a4＜a5，求证：a1，a2，a3，a4，a5是等差数列；
（Ⅲ）集合M是“独立的”，求证：存在x∈M，使得．
2021-2022学年北京市清华附中朝阳学校高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每小题5分，共50分）
1．（5分）下列函数中求导错误的是（ ）
A．（ex）'＝exB．（lnx）′＝﹣
C．（）′＝D．（sinx）'＝csx
【分析】根据导数的运算法则分别求出各选项的导函数，然后即可得到正确选项．
【解答】解：∵（ex）'＝ex，故A对，
（lnx）′＝，B错，
（）′＝（x）′＝x＝，C对，
（sinx）'＝csx，D对，
故选：B．
【点评】本题主要考查了导函数的求解法则，同时考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
2．（5分）设函数f（x）＝x2﹣1，当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率是（ ）
A．2.1B．0.21C．1.21D．12.1
【分析】求出自变量x的改变量，求出函数值的改变量，由函数值的改变量除以自变量的改变量即可得到答案．
【解答】解：△x＝1.1﹣1＝0.1，
△y＝1.12﹣1﹣（12﹣1）＝0.21．
所以函数的平均变化率为．
故选：A．
【点评】本题考查了变化的快慢与变化率，是基础的概念题．
3．（5分）从4位男生，2位女生中选3人组队参加学习强国答题比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法种数共有（ ）
A．8B．12C．16D．20
【分析】先根据女生入选的人数分类求出不同的选法，再根据加法原理求得结果．
【解答】解：由题设知不同的选法可分两种情况：
第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有＝12种；
第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有种，
根据分类加法计数原理知，至少有1位女生人选的不同的选法有16种，
故选：C．
【点评】本题主要考查两大原理在处理排列、组合中的应用，属于基础题．
4．（5分）已知f（x）＝esinxcsx，则f'（0）＝（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【分析】根据复合函数、积的导数和基本初等函数的求导公式求导即可．
【解答】解：∵f′（x）＝csxesinxcsx﹣esinxsinx，
∴f′（0）＝1．
故选：C．
【点评】本题考查了基本初等函数、复合函数和积的导数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．
5．（5分）在（x﹣）6的展开式中，常数项为（ ）
A．﹣15B．﹣30C．15D．30
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．
【解答】解：在（x﹣）6的展开式中，它的通项公式为 Tr+1＝•（﹣1）r•x6﹣3r，
令6﹣3r＝0，求得r＝2，可得常数项为＝15，
故选：C．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于基础题．
6．（5分）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，记X为“正面朝上”出现的次数，则随机变量X的方差D（X）＝（ ）
A．2B．1C．D．
【分析】先判断出X～B（4，），然后利用方差的计算公式求解即可．
【解答】解：由题意可知，X～B（4，），
所以D（X）＝4×＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了二项分布的理解和应用，解题的关键是掌握二项分布的方差计算公式，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．
7．（5分）某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ2），下列结论中不正确的是（ ）
A．σ越小，该物理量在一次测量中在（9.9，10.1）的概率越大
B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．σ越小，该物理量在一次测量中落在（9.9，10.2）与落在（10，10.3）的概率相等
【分析】由正态分布的特征，对四个选项一一判断，即可得到正确答案．
【解答】解：σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在（9.9，10.1）内的概率越大，故A正确；
由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量一次测量大10的概率为0.5，故B正确；
由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确，
因为该物理量一次测量结果落在（9.9，10.0）的概率与落在（10.2，10.3）的概率不同，所以一次测量结果落在（9.9，10.2）的概率与落在（10，10.3）的概率不同，故D错误．
故选：D．
【点评】本题考查正态曲线的性质，属于基础题．
8．（5分）有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取得次品的个数，则P（X＜2）＝（ ）
A．B．C．D．1
【分析】利用互斥事件概率计算公式、古典概型概率计算公式直接求解．
【解答】解：有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取得次品的个数，
则P（X＜2）＝P（X＝0）+P（X＝1）
＝+＝+＝．
故选：C．
【点评】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率计算公式、古典概型概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9．（5分）2020年5月1日，北京市开始全面实施垃圾分类，家庭厨余垃圾的分出量不断增加．已知甲、乙两个小区在[0，t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示．给出下列四个结论：
①在[t1，t2]这段时间内，甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大；
②在[t2，t3]这段时间内，乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大；
③在t2时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长的慢；
④甲小区在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t2，t3]的平均分出量最大．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①④D．③④
【分析】利用平均变化率、瞬时变换率的含义理解统计表，并进行选项判断．
【解答】解：①在[t1，t2]这段时间内，甲的增长量小于乙的增长量，所以甲的平均分出量小于乙，说法错误．
②在[t2，t3]这段时间内，甲的增长量小于乙的增长量，所以乙的平均分出量大于甲，说法正确．
③在t2时刻，乙的图象比甲的图象陡，瞬时增长率大，说法正确．
④甲的图象大致为一条直线，所以三个时间段的平均分出量相等，说法错误．
故选：B．
【点评】本题考查在图象中理解瞬时变化率及平均变化率，属于基础题．
10．（5分）函数在R上有三个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由＝0，化为：a＝（x≠0）．令g（x）＝（x≠0），y＝a．g′（x）＝．利用导数研究其单调性，画出图象．函数在R上有三个零点，⇔函数g（x）＝（x≠0）与y＝a有三个交点．即可得出a的取值范围．
【解答】解：由＝0，化为：a＝（x≠0）．
令g（x）＝（x≠0），y＝a．
g′（x）＝．
可得：函数g（x）在（﹣∞，0），[2，+∞）上单调递增；
在（0，2）内单调递减．
g（2）＝．
画出图象，
∵函数在R上有三个零点，
⇔函数g（x）＝（x≠0）与y＝a有三个交点．
则a的取值范围是a＞．
故选：D．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数图象、函数零点转化为图象交点、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）函数f（x）＝sinx﹣x，x∈（0，π）的单调递减区间为 （0，π） ．
【分析】求出函数的导数，通过导函数小于0，求解函数的单调减区间即可．
【解答】解：函数f（x）＝sinx﹣x，
可得f′（x）＝csx﹣1，
由csx﹣1＜0，x∈（0，π）
可得：x∈（0，π）．
故答案为：（0，π）．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性的求法，考查计算能力．
12．（5分）甲经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口都遇到红灯的概率为0.3，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为 0.6 ．
【分析】利用条件概率的概率公式求解即可．
【解答】解：设第一个路口遇到红灯为事件A，第二个路口遇到红灯为事件B，
则P（A）＝0.5，P（AB）＝0.3，
所以P（B|A）＝＝0.6，
则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为0.6．
故答案为：0.6．
【点评】本题考查了条件概率的求解，解题的关键是掌握条件概率的概率公式，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
13．（5分）已知x轴为函数f（x）＝x3+ax+的图象的一条切线，则实数a的值为 ．
【分析】求出原函数的导函数，设切点为（x0，0），由题意列关于x0与a的方程组，求解得答案．
【解答】解：由f（x）＝x3+ax+，得f′（x）＝3x2+a，
设切点为（x0，0），
则，消去a并整理，得，则．
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是基础题．
14．（5分）已知（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，那么a0＝ 1 ，a1+a2+…+a7＝ ﹣2 ．（用数字作答）
【分析】先求得 a0＝＝1，把x＝1代入已知的等式求得a1+a2+…+a7的值．
【解答】解：a0＝＝1，把x＝1代入已知的等式可得﹣1＝a0+a1+a2+…+a7，
∴a1+a2+…+a7＝﹣2，
故答案为 1；﹣2．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．
15．（5分）杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律．现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…．记作数列{an}，若数列{an}的前n项和为Sn，则S68＝ 2059 ．
【分析】由归纳推理及等比数列前n项和可得：即a68在第12组中且为第12组中的第2个数，即为，则S68＝20+21+…+210+（）＝2059，得解．
【解答】解：将1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…．分组为（1），（1，1），（1，2，1），（1，3，3，1），（1，4，6，4，1）…
则第n组n个数且第n组n个数之和为2n，
设a68在第n组中，
则，
解得：n＝12，
即a68在第12组中且为第12组中的第2个数，即为，
则S68＝20+21+…+210+（）＝2059，
故答案为：2059．
【点评】本题考查了归纳推理及等比数列前n项和，属中档题．
16．（5分）记f'（x），g'（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）＝g（x0）且f'（x0）＝g'（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．已知n∈R，函数f（x）＝mx2+nx与g（x）＝lnx，给出下列四个结论：
①存在正数m，使得f（x）与g（x）恰有1个“S点”；
②存在正数m，使得f（x）与g（x）恰有2个“S点”；
③存在负数m，使得f（x）与g（x）恰有1个“S点”；
④存在负数m，使得f（x）与g（x）恰有2个“S点”．
其中所有正确结论的序号是 ①③④ ．
【分析】根据题意得到方程组，消去n后得到m＝，通过研究h（x）＝（x＞0）的单调性得到国像，进而通过h（x）与y＝m的交点情况得到答案．
【解答】解：函数f（x）＝mx2+nx与g（x）＝lnx，
假设x0是函数f（x）与g（x）的一个“S点”，
则有：，②×x0﹣①得：
m＝，令h（x）＝（x＞0），h′（x）＝，当x＞时，h′（x）＞0，
当0＜x＜时，h′（x）＜0，
当x＝时，h′（x）＝0，
故h（x）在x＝时取得极小值，h（）＝﹣，当x→0时，h（x）→+∞，
当x→+∞时，h（x）→0，画出图象如下：
当m≥0时，h（x）与y＝m有且只有一个交点，所以存在正数m，使得f（x）与g（x）恰有1个“S点”，①正确，②错误；
当m＝﹣，时，h（x）与y＝m有一个交点，故存在负数n，使得f（x）与g（x）恰有1个“S点”，③正确；
当﹣＜m＜0（时，h（x）与y＝m有两个交点，存在负数m，使得f（x）与g（x）恰有2个“S点”，④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了函数与方程的综合应用，用到了数形结合的思想，属于难题．
三、解答题（共5个小题，共70分）
17．（13分）已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣1．
（1）当a＝1时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）≥x2在[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）求出f（x）的表达式，求出f'（x）＝0的根，利用导数研究函数的单调性，结合极值的定义即可得到答案；
（2）将不等式变形为ex﹣x2﹣ax﹣1≥0在[0，+∞）上恒成立，然后分x＝0和x＞0两种情况研究，当x＝0时不等式恒成立，当x＞0时，利用参变量分离法将不等式变形为在（0，+∞）上恒成立，构造函数，然后利用导数研究函数g（x）的最值即可．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝ex﹣x﹣1，
所以f'（x）＝ex﹣1，当x＜0时，f'（x）＜0，当x＞0时，f'（x）＞0，
所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
所以当x＝0时函数f（x）有极小值f（0）＝0，无极大值；
（2）因为f（x）≥x2在[0，+∞）上恒成立，
所以ex﹣x2﹣ax﹣1≥0在[0，+∞）上恒成立，
当x＝0时，0≥0恒成立，此时a∈R，
当x＞0时，在（0，+∞）上恒成立，
令，
则，
由（1）知，当x＞0时，f（x）＞0，即ex﹣（x+1）＞0，
当0＜x＜1时，g'（x）＜0，当x＞1时，g'（x）＞0，
所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以当x＝1时，g（x）min＝e﹣2，所以a≤e﹣2，
综上，实数a的取值范围是（﹣∞，e﹣2]．
【点评】本题考查了导数的综合应用，主要考查了求的函数极值以及不等式恒成立问题，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值得到参数的取值范围，属于难题．
18．（13分）为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下：
假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立．
（Ⅰ）若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数；
（Ⅱ）从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量X为这3人中选择“继续学习深造”的人数．以样本的频率估计概率，求X的分布列和数学期望E（X）；
（Ⅲ）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的a（0＜a＜98）人选择了如表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为s2.当a为何值时，s2最小．（结论不要求证明）
【分析】（I）用样本中“单位就业”的频率乘以毕业生人数可得；
（II）先由样本数据得选择“继续学习深造”的频率，然后由二项分布可得；
（III）由方差的意义可得．
【解答】解：（I）由题意得，该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数为．
（II）由题意得，样本中1000名毕业生选择“继续学习深造”的频率为．
用频率估计概率，从该地区2021届大学毕业生中随机选取1名学生，估计该生选择“继续学习深造”的概率为．
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．
所以，
，
，
，
所以X的分布列为：
．
（III）易知五种毕业去向的人数的平均数为 200，要使方差最小，则数据波动性越小，故当自主创业和慢就业人数相等时方差最小，所以 a＝42．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的运算能力，属于中档题．
19．（15分）已知函数f（x）＝﹣1，a≠0．
（Ⅰ）当a＝1时，
①求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；
②求证：f（x）在（0，+∞）上有唯一极大值点；
（Ⅱ）若f（x）没有零点，求a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）①利用导数求出切线的斜率，直接求出切线方程；
②令g（x）＝ex+1﹣xex，利用导数判断出g（x）在（0，+∞）上有唯一零点x0，利用列表法证明出f（x）在（0，+∞）上有唯一极大值点；
（Ⅱ）令h（x）＝ex+a﹣ax．对a分类讨论：（1）a＜0，得到当a＝﹣1时，f（x）无零点；（2）a＞0，f（x）无零点，符合题意．
【解答】解：（Ⅰ）若a＝1，则，
①在x＝0处，，
所以曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程为；
证明：②令g（x）＝ex+1﹣xex，g′（x）＝﹣xex，
在区间（0，+∞）上，g′（x）＜0，则g（x）在区间（0，+∞）上是减函数，
又g（1）＝1＞0，g（2）＝﹣e2+1＜0，
所以g（x）在（0，+∞）上有唯一零点x0，
列表得：
所以f（x）在（0，+∞）上有唯一极大值点x0；
解：（Ⅱ），
令h（x）＝ex+a﹣ax，则h′（x）＝ex﹣a，
①若a＜0，则h′（x）＞0，h（x）在R上是增函数，
因为，
所以h（x）恰有一个零点x0，
令，得x0＝ln（﹣a），
代入h（x0）＝0，得﹣a+a﹣aln（﹣a）＝0，
解得a＝﹣1，
所以当a＝﹣1时，h（x）的唯一零点为0，此时f（x）无零点，符合题意；
②若a＞0，此时f（x）的定义域为R，
当x＜lna时，h′（x）＜0，h（x）在区间（﹣∞，lna）上是减函数，
当x＞lna时，h′（x）＞0，h（x）在区间（lna，+∞）上是增函数，
所以h（x）min＝h（lna）＝2a﹣alna，
又h（0）＝1+a＞0，
由题意，当2a﹣alna＞0，即0＜a＜e2时，f（x）无零点，符合题意．
综上，a的取值范围是{﹣1}∪（0，e2）．
【点评】导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围．
20．（15分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线y＝kx+m（km≠0）与椭圆C交于A，B两点，与y轴交于点P，线段AB的垂直平分线与AB交于点M，与y轴交于点N，O为坐标原点．如果∠MOP＝2∠MNP成立，求k的值．
【分析】（Ⅰ）由椭圆的对称性可判断以椭圆的四个顶点为顶点的四边形为菱形，结合题意可得a2+b2＝5，再由离心率可得a，b的值，进而得出所求椭圆的方程；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，由韦达定理可得x1+x2＝﹣，，y1+y2＝，
进而得出M（﹣，），从而求出MN的方程，即可得出N（0，﹣），再结合图形及已知条件∠MOP＝2∠MNP可得|OM|＝|ON|，进而得出k的值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形为菱形，边长为，
所以4＝4，即a2+b2＝5，
又因为a2﹣b2＝c2，且，所以a＝2，b＝1，
所以椭圆C的方程为．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则
联立方程组得：
（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，
所以Δ＝64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）＝16（4k2﹣m2+1）＞0，
x1+x2＝﹣，，
所以y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝k（﹣）+2m＝，
因为M是AB的中点，所以M（﹣，），
所以MN的方程为y＝﹣（x+）+，
令x＝0，则y＝﹣，所以N（0，﹣），
因为∠MOP＝2∠MNP，且∠MOP＝∠MNP+∠OMN，
所以∠MNP＝∠OMN，所以|OM|＝|ON|，如图所示，
因为|OM|＝|，|ON|＝|﹣|，
所以+（）2＝|﹣|2，
解得，解得k＝±．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
21．（14分）已知集合M⊆N*，且M中的元素个数n大于等于5．若集合M中存在四个不同的元素a，b，c，d，使得a+b＝c+d，则称集合M是“关联的”，并称集合{a，b，c，d}是集合M的“关联子集”；若集合M不存在“关联子集”，则称集合M是“独立的”．
（Ⅰ）分别判断集合{2，4，6，8，10}和集合{1，2，3，5，8}是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；
（Ⅱ）已知集合{a1，a2，a3，a4，a5}是“关联的”，且任取集合{ai，aj}⊆M，总存在M的关联子集A，使得{ai，aj}⊆A．若a1＜a2＜a3＜a4＜a5，求证：a1，a2，a3，a4，a5是等差数列；
（Ⅲ）集合M是“独立的”，求证：存在x∈M，使得．
【分析】（Ⅰ）根据题意即可求解；
（Ⅱ）根据题意，A1＝{a2，a3，a4，a5}，A2＝{a1，a3，a4，a5}，A3＝{a1，a2，a4，a5}，A4＝{a1，a2，a3，a5}，A5＝{a1，a2，a3，a4}，进而利用反证法求解；
（Ⅲ）不妨设集合M＝{a1，a2，…，an}（n≥5），ai∈N*，i＝1，2，…，n，且a1＜a2＜…＜an，记T＝{t|t＝ai+aj，1≤t＜j≤n，i，j∈N*}，进而利用反证法求解；
【解答】解：（I）{2，4，6，8，10}是“关联的”，关联子集有{2，4，6，8}，{4，6，8，10}，{2，4，8，10}，{1，2，3，5，8}是“独立的”．
（Ⅱ）记集合M的含有四个元素的集合分别为：A1＝{a2，a3，a4，a5}，A2＝{a1，a3，a4，a5}，A3＝{a1，a2，a4，a5}，A4＝{a1，a2，a3，a5}，A5＝{a1，a2，a3，a4}，
所以，M至多有5个“关联子集”，
若A2＝{a1，a3，a4，a5}为“关联子集”，则A1＝{a2，a3，a4，a5}，不是“关联子集”，否则a1＝a2，
同理可得若A2＝{a1，a3，a4，a5}为“关联子集”，则A3，A4不是“关联子集”，
所以集合M没有同事含有元素a2，a5的“关联子集”，与已知矛盾．
所以A2＝{a1，a3，a4，a5}一定不是“关联子集”，
同理A4＝{a1，a2，a3，a5}一定不是“关联子集”，
所以集合M的“关联子集”至多为A1，A3，A5，
若A1不是“关联子集”，则此时集合M一定不含有元素a3，a5的“关联子集”，与已知矛盾；
若A3不是“关联子集”，则此时集合M一定不含有元素a1，a5的“关联子集”，与已知矛盾；
若A5不是“关联子集”，则此时集合M一定不含有元素a1，a3的“关联子集”，与已知矛盾；
所以A1，A3，A5都是“关联子集”，
所以有a2+a5＝a3+a4，即a5﹣a4＝a3﹣a2；
a1+a5＝a2+a4，即a5﹣a4＝a2﹣a1；
a1+a4＝a2+a3，即a4﹣a3＝a2﹣a1；
所以a5﹣a4＝a4﹣a3＝a2﹣a1，所以a1，a2，a3，a4，a5是等差数列．
（Ⅲ）不妨设集合M＝{a1，a2，…，an}（n≥5），ai∈N*，i＝1，2，…，n，且a1＜a2＜…＜an，
记T＝{t|t＝ai+aj，1≤t＜j≤n，i，j∈N*}，
因为集合M是“独立的”的，所以容易知道T中恰好由C＝个元素，
假设结论错误，即不存在x∈M，使得x＞，
所以任取x∈M，x≤，因为x∈N*，所以x≤，
所以ai+aj≤+﹣1＝﹣1＝+3，
所以任取t∈T，t≤+3，任取t∈T，t≥1+2＝3，
所以T⊆{3，4…，+3}，且T中含有C＝个元素，
（i）若3∈T，则必有a1＝1，a2＝2成立，
因为n≥5，所以一定有an﹣an﹣1＞a2﹣a1成立，所以an﹣an﹣1≥2，
所以an+an﹣1≤+﹣2＝+2，
所以T＝{t|3≤t≤+2，t∈N*}，所以an＝+，an﹣1＝+﹣﹣2，
因为4∈T，所以a3＝3，所以有an+a1＝an﹣1+a3，矛盾；
（ii）若3∉T，则T⊆{4，5，…，+3}，而T中含有C＝个元素，所以T＝{t|4≤t≤+3，t∈N*}
所以an＝，an﹣1＝，
因为4∈T，所以a1＝1，a2＝3，
因为+2∈T，所以+2＝an﹣2+an，
所以an﹣2＝﹣2，所以an+a1＝an﹣2+a3，矛盾，
所以命题成立．
【点评】属于信息题，考查接受新知识，理解新知识，运用新知识的能力，反证法，等差数列，不等式缩放法，排列组合，属于高档难题；
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继续学习深造
单位就业
自主创业
自由职业
慢就业
人数
200
560
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毕业去向
继续学习深造
单位就业
自主创业
自由职业
慢就业
人数
200
560
14
128
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X
0
1
2
3
P




x
（0，x0）
x0
（x0，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
f（x）
↑
极大值
↓