2021-2022学年北京市八一学校高二（下）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年北京市八一学校高二（下）期中数学试卷，共14页。

A．1B．﹣1C．2D．﹣2
2．（3分）等差数列{an}满足a1＝4，a4＝1，则{an}的公差为（ ）
A．﹣4B．﹣1C．1D．4
3．（3分）函数f（x）＝ln2+csx的导数为（ ）
A．B．﹣sinxC．sinxD．
4．（3分）在的展开式中，下列说法正确的有（ ）
A．所有项的系数和为0
B．所有项的二项式系数和为64
C．存在常数项
D．第4项和第5项的系数相等
5．（3分）如图所示，是函数f（x）的图像与其在点P处的切线，则f（1）+f′（1）等于（ ）
A．﹣2B．0C．2D．4
6．（3分）已知等比数列{an}满足a1＝1，q＝，则（ ）
A．数列是等差数列B．数列{lg2an}是等差数列
C．数列是递减数列D．数列{lg2an}是递增数列
7．（3分）已知函数f（x）是定义域为R上的可导函数，则“f（x）在x＝1处取得极值”是“f'（1）＝0”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．（3分）已知数列{an}的通项公式为．若数列{an}的前n项和为Sn，则Sn取得最大值时n的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
9．（3分）函数f（x）的定义域为R，其导数y＝f′（x）的部分图像如图所示，则下面结论不正确的是（ ）
A．在（4，5）上函数f（x）为增函数
B．在（2，4）上函数f（x）为减函数
C．在（3，5）上函数f（x）有极小值
D．在（1，5）上函数f（x）必有最大值
10．（3分）若数列{an}满足为其前n项和，则下列命题正确的是（ ）
A．Sn＜1B．Sn＞1C．Sn有最小值D．Sn无最大值
二、填空题共5小题，每小题3分，共25分.
11．（3分）已知函数，则f′（1）＝ ．
12．（3分）等比数列{an}中，a1＝1，a5＝2a4，其前n项和为Sn，若Sm＝63，则m＝ ．
13．（3分）已知函数f（x）＝lnx，若过点P（t，0）存在2条直线与曲线y＝f（x）相切，请写出满足条件的一个t值： ．
14．（3分）2022年4月16日，搭载着翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员的神舟十三号载人飞船返回舱，结束了长达半年的“太空出差”，在东风着陆场预定区域成功着陆．为了宣传航天员的精神品质，某班班会安排4名同学讲述这三位航天员的事迹，要求每位学生只讲述一位航天员，每位航天员至少有1名学生讲述，且同学甲讲述王亚平事迹，则共有 种不同的安排方案．
15．（3分）已知函数f（x）＝ax3﹣3x2+1．若a＜0时，函数f（x）在（0，+∞）上有 个零点；若f（x）有且只有一个零点x0，且x0＜0，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题共4小题，共45分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．（12分）已知函数f（x）＝3x﹣x3．
（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在上的最值．
17．（12分）已知等差数列{an}满足a2＝1，a5+a7＝10，数列{bn}满足．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证数列{t•bn}（t≠0）为等比数列；
（3）记Sn为数列{bn}的前n项和，求数列{Sn}的前n项和．（用n表示）
18．（13分）已知函数f（x）＝ex﹣ax，a∈R．
（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求函数f（x）的极值点；
（3）当a＞0时，判断函数f（x）的零点个数，并说明理由．
19．（18分）对于数列{an}，若存在正整数M，同时满足如下两个条件：
（1）对任意n∈N*，都有|an|≤M成立；
（2）存在，使得．
则称数列{an}为BM数列．
（1）若，判断数列{an}和{bn}是否为BM数列，并说明理由；
（2）若BM数列{an}满足a1＝p，an＝sinan﹣1（n≥2），求实数p的取值集合．
2021-2022学年北京市八一学校高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．（3分）复数z＝﹣1+2i，则复数的虚部是（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【分析】根据所给的复数写出复数的共轭复数，得到的是共轭复数的标准形式，写出虚部即可．
【解答】解：∵复数z＝﹣1+2i，
∴复数＝﹣1﹣2i，
∴复数的虚部是﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查复数的基本概念，本题解题的关键是不管给出什么样的复数，这种问题若出现，都是要先写出复数的标准形式，再进行其他的运算．
2．（3分）等差数列{an}满足a1＝4，a4＝1，则{an}的公差为（ ）
A．﹣4B．﹣1C．1D．4
【分析】利用等差数列的通项公式求解．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
则a4＝a1+3d，
∴1＝4+3d，解得d＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题．
3．（3分）函数f（x）＝ln2+csx的导数为（ ）
A．B．﹣sinxC．sinxD．
【分析】进行基本初等函数的求导即可．
【解答】解：f′（x）＝0﹣sinx＝﹣sinx．
故选：B．
【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．
4．（3分）在的展开式中，下列说法正确的有（ ）
A．所有项的系数和为0
B．所有项的二项式系数和为64
C．存在常数项
D．第4项和第5项的系数相等
【分析】利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：在的展开式中，二项式系数之和为25＝32，故B错误；
令x＝1，可得各项系数之和为05＝0，故A正确；
根据通项公式为 Tr+1＝•x5﹣r•（﹣）r＝（﹣1）r••x5﹣2r，令5﹣2r＝0，求得r＝（舍去），故C错误；
根据二项式系数的性质，第4项和第5项的系数一正一负，故D错误，
故选：A．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．
5．（3分）如图所示，是函数f（x）的图像与其在点P处的切线，则f（1）+f′（1）等于（ ）
A．﹣2B．0C．2D．4
【分析】写出直线方程的截距式，化为斜截式，可得f′（1），再求出f（1），则答案可求．
【解答】解：由题意，切线方程为，即y＝﹣2x+4，
∴f′（1）＝﹣2，f（1）＝﹣2×1+4＝2，
可得f（1）+f′（1）＝2﹣2＝0．
故选：B．
【点评】本题考查导数的几何意义及应用，考查直线方程的求法，是基础题．
6．（3分）已知等比数列{an}满足a1＝1，q＝，则（ ）
A．数列是等差数列B．数列{lg2an}是等差数列
C．数列是递减数列D．数列{lg2an}是递增数列
【分析】由已知结合等比数列的通项公式及单调性定义分别检验各选项即可判断．
【解答】解：由题意得an＝（）n﹣1，
故＝2n﹣1，A，C错误；
lg2an＝1﹣n为等差数列且单调递减，B正确，D错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列的判断及单调性的判断，属于基础题．
7．（3分）已知函数f（x）是定义域为R上的可导函数，则“f（x）在x＝1处取得极值”是“f'（1）＝0”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】由f（x）在x＝1处取得极值⇒f′（1）＝0，f′（1）＝0推不出f（x）在x＝1处取得极值，得结论．
【解答】解：∵f（x）在x＝1处取得极值⇒f′（1）＝0，
f′（1）＝0推不出f（x）在x＝1处取得极值，
∴“f（x）在x＝1处取得极值”是f′（1）＝0
的充分而不必要条件．
故选：A．
【点评】本题以简易逻辑为载体考查了极值取得的条件，属基础题．
8．（3分）已知数列{an}的通项公式为．若数列{an}的前n项和为Sn，则Sn取得最大值时n的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】将数列的通项公式看成二次函数，结合二次函数的单调性，找出所有an＞0的项，即可得解．
【解答】解：因为，
所以a1＝7＞0，且数列{an}是一个首项为正，先增后减的数列，
令an＝﹣2n2+9n＜0，则n＞或n＜0，
因为n∈N*，所以从n＝5开始，an＜0，
所以前4项的和最大．
故选：C．
【点评】本题考查数列的求和，数列的单调性，将数列的通项公式与二次函数建立联系是解题的关键，考查逻辑推理能力，属于基础题．
9．（3分）函数f（x）的定义域为R，其导数y＝f′（x）的部分图像如图所示，则下面结论不正确的是（ ）
A．在（4，5）上函数f（x）为增函数
B．在（2，4）上函数f（x）为减函数
C．在（3，5）上函数f（x）有极小值
D．在（1，5）上函数f（x）必有最大值
【分析】根据导函数的图象，可判断出导函数的正负，从而可求得函数的单调区间和极值、最值．
【解答】解：由y＝f'（x）的部分图象可知，
当1＜x＜2或4＜x＜5时，f'（x）＞0；当2＜x＜4时，f'（x）＜0，
所以f（x）在（1，2）和（4，5）上为增函数，在（2，4）上为减函数，
所以x＝2为极大值点，x＝4为极小值点，所以ABC正确，
若x＝5是（1，5）图象的最高点，则f（x）在（1，5）上无最大值，所以D错误，
故选：D．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数形结合思想，属中档题．
10．（3分）若数列{an}满足为其前n项和，则下列命题正确的是（ ）
A．Sn＜1B．Sn＞1C．Sn有最小值D．Sn无最大值
【分析】直接利用数列的递推关系式和裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．
【解答】解：数列{an}满足，
当n＝1时，，当n＝2时，，当n＝3时，，
当n为偶数时，＜1，且{Sn}递增，
可得S2＝为最小值；
当n为奇数时，＞1，且{Sn}递递减，
可得S1＝为最大值．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的求和公式，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
二、填空题共5小题，每小题3分，共25分.
11．（3分）已知函数，则f′（1）＝ ．
【分析】先对函数求导，然后把x＝1代入可求．
【解答】解：因为，
所以，
则f′（1）＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了导数的求解，属于基础题．
12．（3分）等比数列{an}中，a1＝1，a5＝2a4，其前n项和为Sn，若Sm＝63，则m＝ 6 ．
【分析】由已知先求出公比，然后结合等比数列的求和公式可求．
【解答】解：因为等比数列{an}中，a1＝1，a5＝2a4，
所以q＝2，
则Sm＝＝63，
解得m＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式，属于基础题．
13．（3分）已知函数f（x）＝lnx，若过点P（t，0）存在2条直线与曲线y＝f（x）相切，请写出满足条件的一个t值： （答案不唯一） ．
【分析】求出原函数的导函数，设切点坐标，得到函数在切点处的切线方程，把P（t，0）代入，可得t＝x0﹣x0lnx0，令g（x）＝x﹣xlnx，利用导数求其值域，即可得到一个满足条件的t值．
【解答】解：由f（x）＝lnx，得f′（x）＝，设切点为（x0，lnx0），
则过切点的切线方程为，
把（t，0）代入，可得，即t＝x0﹣x0lnx0，
令g（x）＝x﹣xlnx，则g′（x）＝1﹣lnx﹣1＝﹣lnx，
当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．
∴g（x）max＝g（1）＝1，又当x→0时，g（x）→0，当x→+∞时，g（x）→﹣∞，
∴使t＝x0﹣x0lnx0有两根的t的范围为（0，1），
∴可取t＝．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求最值，考查运算求解能力，是中档题．
14．（3分）2022年4月16日，搭载着翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员的神舟十三号载人飞船返回舱，结束了长达半年的“太空出差”，在东风着陆场预定区域成功着陆．为了宣传航天员的精神品质，某班班会安排4名同学讲述这三位航天员的事迹，要求每位学生只讲述一位航天员，每位航天员至少有1名学生讲述，且同学甲讲述王亚平事迹，则共有 12 种不同的安排方案．
【分析】根据题意，分2步进行分析：①将4名学生分为3组，②同学甲所在的组讲述王亚平事迹，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①将4名学生分为3组，有C42＝6种分组方法，
②同学甲所在的组讲述王亚平事迹，有A22＝2种情况，
则有6×2＝12种不同的安排方案；
故答案为：12．
【点评】本题考查排列组合的实际应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
15．（3分）已知函数f（x）＝ax3﹣3x2+1．若a＜0时，函数f（x）在（0，+∞）上有 1 个零点；若f（x）有且只有一个零点x0，且x0＜0，则实数a的取值范围是 （2，+∞） ．
【分析】求导可得f'（x）＝3x（ax﹣2），若a＜0，可知f（x）在（0，+∞）上单调递减，再结合零点存在性定理，得解；分a＝0，a＜0和a＞0三种情况，结合函数的单调性，分类讨论，即可．
【解答】解：∵f（x）＝ax3﹣3x2+1，∴f'（x）＝3ax2﹣6x＝3x（ax﹣2），
（1）若a＜0，令f'（x）＝0，则x＝0或＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，
又f（0）＝1＞0，当x→+∞时，f（x）→﹣∞，∴f（x）在（0，+∞）上有1个零点．
（2）当a＝0时，f（x）＝﹣3x2+1，有两个零点，不符合题意；
当a＜0时，由（1）知，f（x）在（0，+∞）上存在一个零点，与x0＜0不符，舍去；
当a＞0时，f（x）在（﹣∞，0）和（，+∞）上单调递增，在（0，）上单调递减，
要使f（x）有且只有一个零点x0，且x0＜0，则极小值f（）＝1﹣＞0，解得a＞2或a＜﹣2，
∵a＞0，∴a＞2，
综上，实数a的取值范围是（2，+∞）．
故答案为：1；（2，+∞）．
【点评】本题考查利用导数研究函数的零点问题，熟练掌握函数的单调性与导数之间的联系，零点存在性定理是解题的关键，考查分类讨论思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
三、解答题共4小题，共45分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．（12分）已知函数f（x）＝3x﹣x3．
（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在上的最值．
【分析】（1）求出函数的导数，计算f（0），f′（0），求出切线方程即可；
（2）解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可．
【解答】解：（1）∵f（x）＝3x﹣x3，
∴f′（x）＝3﹣3x2＝3（1﹣x）（1+x），
∴f（0）＝0，f′（0）＝3，
故切线方程是y﹣0＝3（x﹣0），即y＝3x；
（2）令f′（x）＞0，解得﹣1＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得x＞1或x＜﹣1，
故f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，1）递增，在（1，+∞）递减，
故f（x）在[﹣，﹣1）递减，在（﹣1，1）递增，在（1，3]递减，
而f（﹣）＝0，f（﹣1）＝﹣2，f（1）＝2，f（3）＝﹣18，
故f（x）max＝2，f（x）min＝﹣18．
【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是中档题．
17．（12分）已知等差数列{an}满足a2＝1，a5+a7＝10，数列{bn}满足．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证数列{t•bn}（t≠0）为等比数列；
（3）记Sn为数列{bn}的前n项和，求数列{Sn}的前n项和．（用n表示）
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，根据a2＝1，a5+a7＝10可得答案；
（2）求出bn，再根据等比数列的定义可得答案；
（3）利用等比数列的定义证得bn为等比数列，再利用前n项和公式可得答案．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
由a2＝1，a5+a7＝10得，
解得a1＝0，d＝1，
所以数列{an}的通项公式为an＝n﹣1；
证明：（2）由（1）得，
所以，且t⋅b1＝t（t≠0），
所以数列{t⋅bn}（t≠0）为公比为2，首项为t（t≠0）的等比数列；
解：（3）由（2），
所以，
所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，
所以{Sn}的前n项和为：﹣n＝2n+1﹣n﹣2．
【点评】本题考查了数列的递推式和等比数列的求和，属于中档题．
18．（13分）已知函数f（x）＝ex﹣ax，a∈R．
（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求函数f（x）的极值点；
（3）当a＞0时，判断函数f（x）的零点个数，并说明理由．
【分析】（1）当a＝1时，求得f'（x）＝ex﹣1，进而可求得函数f（x）的单调递增区间；
（2）求得f'（x）＝ex﹣a，分a≤0与a＞0讨论，可求得函数f（x）的极值点；
（3）当a＞0时，由f（x）＝ex﹣ax＝0得：ax＝ex，分离参数a，问题转化为直线y＝a（a＞0）与函数g（x）＝（x≠0）交点的个数，对g（x）求导分析，可求得函数f（x）的零点个数．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝ex﹣x，
∴f'（x）＝ex﹣1，
令f′（x）＞0，得x＞0，
∴f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
（2）∵f'（x）＝ex﹣a，
当a≤0时，f'（x）＞0，f（x）在R上单调递增，无极值点；
当a＞0时，由f'（x）＝0，得x＝lna，
当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，
∴x＝lna为极小值点，无极大值点；
（3）当a＞0时，由f（x）＝ex﹣ax＝0得：ax＝ex，
∵x＝0时，上式不成立，
∴x≠0，
∴a＝（x≠0），
令g（x）＝（x≠0），则当a＞0时，函数f（x）的零点个数，转化为直线y＝a（a＞0）与函数g（x）＝（x≠0）交点的个数．
∵g′（x）＝，
∴当x＜0或0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（﹣∞，0），（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
当x→﹣∞时，g（x）→0﹣，当x→0﹣时，g（x）→﹣∞；
当x→0+时，g（x）→+∞，当x→+∞时，g（x）→+∞；
又a＞0，
∴当x＝1时，g（x）取得极小值g（1）＝e；
∴当0＜a＜e时，函数f（x）无零点；
当a＝e时，函数f（x）有1个零点；
当a＞e时，函数f（x）有2个零点．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，极值问题，考查转化与化归思想及分类讨论思想，考查运算能力，属于中档题．
19．（18分）对于数列{an}，若存在正整数M，同时满足如下两个条件：
（1）对任意n∈N*，都有|an|≤M成立；
（2）存在，使得．
则称数列{an}为BM数列．
（1）若，判断数列{an}和{bn}是否为BM数列，并说明理由；
（2）若BM数列{an}满足a1＝p，an＝sinan﹣1（n≥2），求实数p的取值集合．
【分析】（1）根据BM数列的定义依次判定数列{an}和{bn}即可；
（2）根据BM数列的定义，结合正弦函数的性质和数列的增减性依次讨论当p≥1，0≤p＜1，﹣1＜p＜0，p≤﹣1时的情况．
【解答】解：（1）{an}不是BM数列，{bn}是BM数列，
∵an＝1﹣n（n∈N*），∴|an|＝|1﹣n|＝n﹣1≥0，故{an}不是BM数列，
∵bn＝（n∈N*），∴|bn|＝||＝≤1，又b1＝＝1，故{bn}是BM数列，
（2）若数列{an}为BM数列．则对任意n∈N*，都有|an|≤M成立；
且存在，使得．有﹣M≤an≤M，
当p≥1时，an＝sinan﹣1∈[﹣1，1]，即an≤a1，
此时a1最大，M＝p，n＝1，又M∈N*，则p≥1且p∈N*，
当0≤p＜1时，设f（x）＝sinx﹣x（0≤x＜1），则f′（x）＝csx﹣1≤0，所以函数f（x）在[0，1）上单调递减，且f（0）＝0，
所以sinx﹣x≤0即sinx≤x在[0，1）上恒成立，
所以sinan﹣1≤an﹣1，有an≤an﹣1≤⋯a2≤a1，
此时a1最大，M＝p∈[0，1），n＝1，又M∈N*，故不存在满足题意的M，舍去，
当﹣1＜p＜0时，﹣sin1＜a2＝sina1＝sinp＜0，
由上述分析知，M＝|p|＜1，结合M∈N*，故不存在满足题意的M，舍去，
当p≤﹣1时，﹣1≤a2＝sina1＝sinp≤1，则a1≤a2≤⋯an﹣1≤an，
∴|an|≤|an﹣1|≤⋯|a2|≤|a1|，此时|a1|最大，M＝|a1|＝|p|，n＝1，
又M∈N*，故p≤﹣1，且p∈Z，
综上所述，实数p的取值集合为{p|p≥1或p≤﹣1，p∈Z}．
【点评】本题考查数列的应用，考查学生的运算能力，属中档题．
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