2024年甘肃省天水市第一中学初中学业水平考试标准测评九年级数学模拟试题（原卷版+解析版）

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本试卷满分150分，考试时间为120分钟．本试卷有专用答题卡，请将答案按要求工整地书写在答题卡上．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项）
1. 在，，0，1这四个数中，最小的数是（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】运用有理数比较大小的方法即可得出答案．
【详解】根据有理数比较大小的方法：负有理数＜0＜正有理数，
可得，
故最小的数是，
故选A．
【点睛】本题考查了有理数比较大小的方法，解答此题的关键是要明确：负有理数＜0＜正有理数．
2. 在函数中，自变量的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据分式有意义分母不等于，可以求出的范围，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：根据题意得，，
解得，
故选：．
3. 如图所示几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图．掌握以上知识是解题的关键．根据从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图判断即可．
【详解】解：几何体的左视图是
故选：A．
4. 关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是（ ）
A. 没有实数根B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根
【答案】D
【解析】
【详解】∵△=＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选D．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂的运算即可依次判断求解.
【详解】A.不能计算，故错误；
B. 不能计算，故错误；
C. 不能计算，故错误；
D. ，正确.
故选D.
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算法则.
6. 若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质分类讨论是解答本题的关键．根据等腰三角形的性质，分已知角是顶角和底角两种情况分别即可．
【详解】解：∵已知三角形是等腰三角形，
∴当是底角时，顶角；
当是顶角时，符合题意；
综上所述，等腰三角形的顶角度数为或．
故选D．
7. 如图，已知的两条弦相交于点，那么的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题重点考查学生对圆内角的大小的理解，对顶角相等是解本题的关键根据已知角和对顶角相等，可以求出的大小，进而得出的值
【详解】已知的两条弦，相交于点，,
,
∵
故选：
8. 对于数据：80，88，85，85，83，83，84． 下列说法中正确的有（ ）
①这组数据的平均数是84 ；②这组数据的众数是85；③这组数据的中位数是84 ；④这组数据的方差是36
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出这组数据的平均数、众数、中位数与方差，然后判断即可.
【详解】解：这组数据的平均数为；
在这组数据中83出现了2次，85出现了2次，其他数据均出现了1次，
所以众数是83和85；
将这组数据从小到大排列为：80、83、83、84、85、85、88，
∴中位数是84；
其方差；
∴①③正确，②④错误．
故选B．
【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数与方差的定义和求法，将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
9. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A 3：4B. 9：16C. 9：1D. 3：1
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴DE：DC=3：4，
∴DE：AB=3：4，
∴S△DFE：S△BFA=9：16．
故选：B．
10. 如图，在中，，，于点．点从点出发，沿路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分两段来分析：①点P从点A出发运动到点D时，写出此段的函数解析式，则可排除C和D；②P点过了D点向C点运动，作出图形，写出此阶段的函数解析式，根据图象的开口方向可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
又∵，
∴，，
∵，，
∴四边形是矩形，
I．当P在线段AD上时，即时，如解图1
∴，
∴，
∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向下，故选项CD错误；
II．当P在线段CD上时，即时，如解图2：
依题意得：，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向上，故选项B错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，分段写出函数的解析式并数形结合进行分析是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．将答案填在题中的横线上）
11. 因式分解：=______．
【答案】x（x﹣y）（x+y）．
【解析】
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式.
【详解】x3﹣xy2=x（x2﹣y2）=x（x﹣y）（x+y），
故答案为x（x﹣y）（x+y）.
12. 若a、b、c为三角形三边，且a、b满足，则第三边c的取值范围是_____________．
【答案】1＜c＜5．
【解析】
【详解】解：由题意得，，，
解得a=3，b=2，
∵3﹣2=1，3+2=5，
∴1＜c＜5．
故答案为1＜c＜5．
【点睛】考点：1．三角形三边关系；2．非负数的性质：偶次方；3．非负数的性质：算术平方根．
13. 如图为护城河改造前后河床的横断面示意图，将河床原竖直迎水面改建为坡度为的迎水坡，已知米，则河床面的宽减少了_________米．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是坡度问题，坡比是指垂直高度与水平宽度的比；熟练掌握坡比的定义是解题关键根据坡度为，可知道，设的长为，那么的长就为，根据勾股定理可列出方程求解．
【详解】设的长为米，那么的长就为米．
∵，
∴
∴，
．
∴河床面的宽减少了米,
故答案为：．
14. 一次函数与的图象如图，则下列结论①；②；③当时，；④方程的解是．其中正确的是_____________（把序号填写在横线上）
【答案】①④##④①
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，比较简单，熟悉交点横坐标就是方程的解是解题的关键．本题的难点在于根据函数图象的走势和与轴的交点来判断各个函数，的值．根据与的图象可知：，，所以当时，相应的的值，图象均高于的图象．根据交点横坐标的值也就是满足函数解析式组成方程的解，所以方程的解也就是交点的横坐标．
【详解】∵的函数值随的增大而减小，
∴，故①正确；
∵的图象与轴交于负半轴，
∴，故②错误；
当时，相应的的值，图象均高于的图象，
∴，故③错误；
∵一次函数与的图象交点横坐标为，
∴方程的解是．故④正确．
故答案为①④．
15. 端午节当天，“味美早餐店”的粽子打九折出售，小红的妈妈去该店买粽子花了54元，比平时多买了3个.求平时每个粽子卖多少元？设平时每个粽子卖x元，列方程为____.
【答案】
【解析】
【详解】平时每个粽子卖x元，那么平时卖的粽子个数为个，打九折售出的粽子单价为0.9x元/个，所以端午节当天的买的粽子个数为个，又题意可列方程：.
故答案为.
16. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙O的半径为3cm，∠A=110°，则劣弧的长为________cm．
【答案】．
【解析】
【分析】连接OB、OD，首先根据圆周角定理求出∠BOD的度数，然后根据弧长公式求解．
【详解】解：如图，连接OB、OD，
∵∠A=110°，
∴∠C=70°，
∴∠BOD=140°，
则劣弧=．
【点睛】本题考查弧长的计算、圆周角定理、圆内接四边形的性质，根据圆周角定理求出∠BOD的度数是解题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共96分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】6
【解析】
【分析】根据算术平方根、乘方的定义、零指数幂法则计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键．
18. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集．
【详解】解：
由得：，
由得：，
∴不等式组的解集为．
19. 已知∶，求分式的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的值，能求出是关键．先求出，再把代入即可求出．
【详解】∵，
∴，
∴ ，
故答案为：．
20. 如图，请你以y轴为对称轴画出所给图的另一半，若点A坐标为（﹣3，3），写出点A的对应点的坐标，并说明完成后的图形可能代表的含义．
​
【答案】解：图形见解析,点A的对应点A′的坐标为（3，3）；所得图形为圣诞树．
【解析】
【分析】根据关于y轴的对称点的横坐标互为相反数、纵坐标相等写出其坐标即可．然后直接根据轴对称的性质画出图形的另一半即可；
【详解】解：如图所示：
点A的对应点A′的坐标为（3，3）；
所得图形为圣诞树．
​
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
21. 一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
（1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是 （精确到0.01），由此估出红球有 个.
（2）现从该袋中按上述方式摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率.
【答案】（1）0.33；2
（2）见解析，
【解析】
【分析】对于（1），根据多次试验的结果可得常数，再根据多次试验的频率估计概率，求出红球的个数；
对于（2），先画出树状图，再根据概率公式计算即可．
【小问1详解】
随着摸球次数的越来越多，频率越来越靠近0.33，因此接近的常数就是0.33；
设红球由x个，由题意得：
，
解得：，
经检验：是分式方程的解.
故答案为：，2；
【小问2详解】
画树状图得：

共有9种等可能得结果，摸到一个白球，一个红球有4种情况，
摸到一个白球一个红球的概率为：.
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，画树状图计算概率等，掌握概率公式是解题的关键．
22. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，海轮沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，求海轮所在的处与灯塔的距离．（结果精确到海里）【参考数据：，，】
【答案】海里
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形；过点作于点．，解，求得，解，即可求解．
【详解】解：过点作于点．
由题意可知，，
，．
在中，，，．
．
在中，，．
（海里）．
答：海轮所在的处与灯塔的距离约为海里．
23. 某集团为了提高职工身体素质，积极开展健身运动，号召职工参加乒乓球、健美操、羽毛球、篮球四项运动，要求职工根据自己的爱好只选报其中一项工会主席随机抽取了部分职工的报名表，并对抽取的职工的报名情况进行统计，绘制了两幅统计图的一部分：
请你结合图中的信息，解答下列问题：
（1）工会主席抽取的职工的报名表的总数是多少？
（2）被抽取的职工报名表中，选乒乓球和篮球的人数分别占被抽取总人数的百分之几？
（3）将两个统计图补充完整．
【答案】（1）
（2），；
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了数据调查与统计的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．
（1）根据条形统计图可以看出健美操人数有人，而其又占总人数的，据此进一步求解即可；
（）用乒乓球和篮球的人数分别除以总人数即可得解；
（3）根据羽毛球占总人数即可求出相应的人数补全条形统计图，然后根据（）计算出乒乓球人数与篮球人数的百分比进而补全扇形统计图即可．
【小问1详解】
解：÷，
∴工会主席抽取的职工的报名表的总数是为，
【小问2详解】
解：乒乓球人数所占百分比为：，
篮球人数所占的百分比为：；
【小问3详解】
解：羽毛球人数为：人，
补全图形如下：
24. 在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．

已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍，图书馆离宿舍．周末，小亮从宿舍出发，匀速走了到食堂；在食堂停留吃早餐后，匀速走了到图书馆；在图书馆停留借书后，匀速走了返回宿舍，给出的图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离与离开宿舍的时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
（Ⅱ）填空：
①食堂到图书馆的距离为_______．
②小亮从食堂到图书馆的速度为_______．
③小亮从图书馆返回宿舍的速度为_______．
④当小亮离宿舍的距离为时，他离开宿舍的时间为_______．
（Ⅲ）当时，请直接写出y关于x的函数解析式．
【答案】（Ⅰ）0.5，0.7，1；（Ⅱ）①0.3；②0.06；③0.1；④6或62；（Ⅲ）当时，；当时，；当时，．
【解析】
【分析】（Ⅰ）根据函数图象分析计算即可；
（Ⅱ）①结合题意，从宿舍出发，根据图象分析即可；
②结合图像确定路程与时间，然后根据速度等于路程除以时间进行计算即可；
③据速度等于路程除以时间进行计算即可；
④需要分两种情况进行分析，可能是从学校去食堂的过程，也有可能是从学校回宿舍；
（Ⅲ）分段根据函数图象，结合“路程=速度时间”写出函数解析式.
【详解】解：（Ⅰ）从宿舍到食堂的速度为0.22=0.1，
0.15=0.5；
离开宿舍的时间为23min时，小亮在食堂，故离宿舍的距离为0.7km；
离开宿舍的时间为30min时，小亮在图书馆，故离宿舍的距离为1km
故答案依次为：0.5，0.7，1，
（Ⅱ）①1-0.7=0.3，
∴食堂到图书馆的距离为0.3；
故答案为：0.3；
②（1-0.7）（28-23）=0.06km/min,
∴小亮从食堂到图书馆的速度为0.06
故答案为：0.06；
③1（68-58）=0.1km/min,
∴小亮从图书馆返回宿舍的速度为0.1；
故答案为：0.1；
④当是小亮从宿舍去食堂的过程中离宿舍的距离为，
则此时的时间为
当是小亮从图书馆回宿舍，离宿舍的距离为0.6km,
则从学校出发回宿舍已经走了1-0.6=0.4(km)，
0.4 0.1=4(min)
58+4=62(min)
故答案为：6或62．
（Ⅲ）当时，；
当时，
当时，设，将（23，0.7）（28，1）代入解析式
，解得
∴．
【点睛】本题考查的是函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合题意正确计算是解题的关键．
25. 如图，在中，，，．以为直径的交于，是的中点，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接，，由BC是直径得出，根据是的中点得到，由此证得，即得到是的切线；
（2）利用面积法即可求得.
【详解】（1）证明：如图，连接，，
是的直径，，
又为的中点，，．
，．
，．
即．是的切线；
（2）解：在中，，，，
，．
【点睛】此题考查圆的切线的判定，根据判定定理证得是解题的关键，注意已知条件中有直角时，可以根据边的关系推出所求的角与构成直角的两个角的数量关系，由此得到结果.
26. 如图，在四边形中，，E是的中点，平分，且，连接，交于F．

（1）求证：；
（2）若，试确定四边形是什么特殊四边形？请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）菱形，证明见解析
【解析】
【分析】此题主要考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定等知识，掌握平行四边形的性质和判定是解的关键．
（1）首先连接，根据平分，可得出，又根据中中点，得出，得出，，进而得出，即可判定四边形为平行四边形，即可得证；
（2）首先由（1）中得知，又由，可判定四边形为平行四边形，然后根据，，可判定为等边三角形，再根据，即可判定四边形为菱形．
【小问1详解】
解：（1）证明：如图，连接．

∵平分，
∴．
∵为中中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴．
【小问2详解】
四边形为菱形，理由如下：
∵，，
∴四边形为平行四边形．
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴四边形为菱形
27. 如图，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线与轴交于两点，是抛物线的顶点．为坐标原点．两点的横坐标分别是方程的两根，且．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）作交抛物线于点，求点的坐标及直线的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，在轴上方的抛物线上是否存在一点，使的面积最大？如果存在，请求出点的坐标和的最大面积；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2），直线的解析式为．
（3）存在，，的面积最大面积为
【解析】
【分析】（1）解出方程的两根即可求出、两点的坐标，再利用求出点坐标，进而利用顶点式、两根式或一般式求出二次函数的解析式．
（2）由（1）推得是等腰直角三角形，据此设出点坐标，将其代入抛物线即可求出的值，进而求出、的坐标，从而求出直线解析式；
（3）过点作轴交于点，设，则，，利用面积公式构造二次函数即可得解．
【小问1详解】
解：解方程得，．
，．过作轴于，

是顶点，
点是的中点，
．
在中，
，
，
，
设抛物线的函数解析式为，
把，，分别代入，得
解得：
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：，由（）得：
，作轴于，

∴是等腰直角三角形．
设（显然，，
则，即，
点在抛物线上，
，
，
解之得：，（舍去），
，
设直线的方程为，代入、的坐标，得
，
解之得：，
直线的解析式为．
【小问3详解】
如下图，过点作轴交于点，设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴存在点，使得的面积最大，当时，的面积最大，最大面积为，此时．
【点睛】本题考查求抛物线的解析式，求直线的解析式，抛物线图象上点的坐标特征，解直角三角形，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键．摸球的次数
200
300
400
1000
1600
2000
摸到白球的频数
72
93
130
334
532
667
摸到白球的频率
0.3600
0.3100
0.3250
0.3340
03325
0.3335
离开宿舍的时间/
2
5
20
23
30
离宿舍的距离/
0.2
0.7