初中北师大版第三章 整式及其加减3.3 整式随堂练习题

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3 探索整式运算的规律
一、选择题
1．计算：21−1=1，22−1=3，23−1=7，24−1=15，…归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测22014−1的个位数字是（ ）
A．1B．3C．7D．5
2．观察下列各式及其展开式
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
……
请你猜想（2x﹣1）8的展开式中含x2项的系数是（ ）
A．224B．180C．112D．48
3．观察：(x−1)(x+1)=x2−1，
(x−1)(x2+x+1)=x3−1，
(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1，
(x−1)(x4+x3+x2+x+1)=x5−1，⋯
据此规律，求22023+22022+22021+⋯22+2+1的个位数字是（ ）
A．1B．3C．5D．7
4．计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)⋯(264+1)，结果的个位数字是（ ）
A．6B．5C．8D．7
5．下列按一定规律排列的单项式：x，−2x2，3x3，−4x4，5x5，−6x6，．．，第n个单项式是（ ）
A．1n+1⋅n⋅xnB．(−1)n+1⋅nxn+1
C．(−1)n+1⋅nxnD．(−1)n⋅n⋅xn
6．代数式2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)的末尾数字是（ ）
A．0B．1C．6D．8
7．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为24，我们发现第1次输出的结果为12，第2次输出的结果为6，……，则第2023次输出的结果为（ ）
A．6B．3C．24D．12
8．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：a1＝1，a2＝2．a3＝3，a4＝3，a5＝6，a6＝4，a7＝10，a8＝5…，则a99+a100的值为（ ）
A．1326B．1327C．1328D．1329
9．观察：（x-1）（x+1）＝x2-1，（x-1）（x2+x+1）＝x3-1，（x-1）（x3+x2+x+1）＝x4-1，据此规律，当（x-1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，代数式x2022-1的值为（ ）
A．1B．0C．1或-1D．0或-2
10．观察下列等式：
①32﹣12＝2×4
②52﹣32＝2×8
③72﹣52＝2×12……
那么第n（n为正整数）个等式为（ ）
A．n2﹣（n﹣2）2＝2×（2n﹣2）
B．（n＋1）2﹣（n﹣1）2＝2×2n
C．（2n）2﹣（2n﹣2）2＝2×（4n﹣2）
D．（2n＋1）2﹣（2n﹣1）2＝2×4n
二、填空题
11．观察下列各式：
1×5+4=32…………①，
3×7+4=52…………②，
5×9+4=72…………③，
……
探索以上式子的规律，试写出第n个等式： ．
12．请先观察下列等式，再填空：32−12=4×2，42−22=4×3，52−32=4×4，62−42=4×5，…，通过观察归纳，写出第n个等式是： （n为正整数）
13．作一个正方形，设每边长为4a，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为a的小正方形，得到图形如图（2）所示，再对图（2）的每个边做相同的变化，得到图形如图（3），如此连续作几次，便可得到一个绚丽多彩的雪花图案．如不断发展下去到第n个图形时，图形的面积 （填写“会”或者“不会”）变化，图形的周长为 ．
14．观察：
1×3+1=4=222×4+1=9=323×5+1=16=424×6+1=25=52⋯
你发现了什么规律？根据你发现的规律，请你用含一个字母的等式将上面各式呈现的规律表示出来． ．
15．为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S=1+2+22+23+…+2100，则2S=2+22+23+24+…+2101，因此2S−S=2101−1，所以S=2101−1，即1+2+22+23+…+2100=2101−1，仿照以上方法计算1+3+32+33+…+3n的值是 .
三、综合题
16．
（1）计算并观察下列各式填空：
(x−1)(x+1)=x2−1；
(x−1)(x2+x+1)=x3−1；
(x−1)(x3+x2+x+1)= ；
（2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接填写下面的空格：
(x−1)（ ）=x6−1；
（3）利用你发现的规律计算：(x−1)(x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1)= ；
（4）利用该规律计算：1+2+22+23+…+22021的值．
17．杨辉三角是一个由数字排列成等腰三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示 (a+b)n （此处 n=0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ）的展开式中的系数，杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字 1 组成的，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和． 1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
(a+b)0=1
(a+b)1=a+b
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a2b3+15a2b4+6ab5+b6
上图的构成规律你看懂了吗？
（1）请你直接写出 (a+b)7= ．
（2）杨辉三角还有另一个特征
从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第三行为 121 ）都是上一行的数与 积．
（3）由此你可写出 115 = ．
18．阅读下面的材料并填空：
①（1﹣12）（1+12）＝1﹣122，反过来，得1﹣122＝（1﹣12）（1+12）＝12×32；
②（1﹣13）（1+13）＝1﹣132，反过来，得1﹣132＝（1﹣13）（1+13）＝ ▲ × ▲ ；
③（1﹣14）（1+14）＝1﹣142，反过来，得1﹣142＝ ▲ ＝34×54 ；
利用上面的材料中的方法和结论计算下题：
（1﹣122）（1﹣132）（1﹣142）……（1﹣120162）（1﹣120172）（1﹣120182）.
19．阅读下列材料，完成相应的任务：
发现：每相邻两个“三角形数”的和有一定的规律．如：1+3=4；3+6=9；6+10=16；…
（1）第5个“三角形数”与第6个“三角形数”的和为 ；
（2）第n个“三角形数”与第(n+1)个“三角形数”的和的规律可用下面等式表示： + = ，请补全等式并说明它的正确性 ．
20．若am=an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m=n．利用上面结论解决下面的问题：
（1）若3x×9x×27x=312，求x的值．
（2）若x=5m-3，y=4-25m，用含x的代数式表示y．
21．用“◇”和“☆”分别代表甲种植物和乙种植物，为了美化环境，采用如图所示的方案种植．
（1）观察图形，寻找规律，并填写下表：
（2）求出第n个图形中甲种植物和乙种植物的株数；
（3）是否存在一种种植方案，使得乙种植物的株数是甲种植物的株数的2倍？若存在，请你写出是第几个方案，若不存在，请说明理由．
22．观察下列各式：
(x−1)(x+1)=x2−1；(x−1)(x2+x+1)=x3−1；(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1；
……
根据这一规律计算：
（1）(x−1)(x4+x3+x2+x+1)= ，(x−1)(xn+xn−1+x2+⋯x+1)= ；
（2）22022+22021+22020+…+22+2+1；
（3）32022−32021+32020−32019+…+32−3+1.
23．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a＋b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：（a＋b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a＋b）1＝a＋b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…
根据以上规律，解答下列问题：
（1）（a＋b）4展开式共有 项，系数分别为 ；
（2）（a＋b）n展开式共有 项，系数和为 ；
（3）计算：25+5×24+10×23+10×22+5×2+1.
24．认真阅读材料，然后回答问题：
我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，…
下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：
（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；
（2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和．
（3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）．
25．对于一些较为复杂的问题，可以先从简单的情形入手，然后归纳出一些方法，再解决复杂问题．
（1）【简单问题】化简
(x−1)(x+1)= ；
（2）(x−1)(x2+x+1)= ；
（3）(x−1)(x3+x2+x+1)= ；
（4）【复杂问题】化简
(x−1)(x2023+x2022+x2021+⋯+x+1)= ；
（5）【方法应用】计算
22023+22022+22021+⋯+2+1．
26．如图所示，图甲由长方形①，长方形②组成，图甲通过移动长方形②得到图乙．
（1）S甲= ，S乙= （用含a、b的代数式分别表示）；
（2）利用（1）的结果，说明a2、b2、(a+b)(a−b)的等量关系：
（3）应用所得的公式计算：(1−122)(1−132)(1−142)…(1−1992)(1−11002)
（4）如图丙，现有一块如图丙尺寸的长方形纸片，请通过对它分割，再对分割的各部分移动，组成新的图形，画出图形，利用图形说明(a+b)2、(a−b)2、ab三者的等量关系．
三角形数
古希腊著名数学家的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，．．．，这样的数称为“三角形数”，第n个“三角形数”可表示为：1+2+3+⋅⋅⋅+n=n(n+1)2．
图序
①
②
③
④
⑤
⑥
◇
1
4
9

25

☆
4
9
16
25