2024年江苏盐城中考数学第一次模拟考试查漏补缺卷（2024.4）

这是一份2024年江苏盐城中考数学第一次模拟考试查漏补缺卷（2024.4），共17页。试卷主要包含了﹣|﹣2024|的相反数是，下列运算中，正确的是，先化简等内容，欢迎下载使用。
一．选择题(24分)
1．﹣|﹣2024|的相反数是（ ）
A．﹣2024 B．2024 C．﹣ D．
2．下列运算中，正确的是（ ）
A．A2024÷a2=a1012 B． C．（ab）3=a3b3 D．（a2）4=a6
3. 油价多次上涨，新能源车企迎来了更多的关注，如图是理想、蔚来、小鹏、哪吒四款新能源汽车的标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4．已知有理数x，y满足方程组，则2x+y的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
5．为了发扬“中国航天精神”，每年的4月24日设立为“中国航天日”．正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．航B．天C．精D．神

第5题图 第6题图 第7题图
6．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为（ ）
A．130°B．140°C．150°D．160°
7．已知Rt△ACB≌Rt△DEF，其中∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，M、N分别为DF、AB的中点，将两个三角形按图①方式摆放，点F从点A开始沿AC方向平移至点E与点C重合结束（如图②），在整个平移过程中，MN的取值范围是（ ）
A．0＜MN＜5B．0≤MN≤5C．D．
8．如图四边形是边长为的正方形，点E，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，连接，点P从点E出发沿运动，同时点Q从点B出发沿运动，两点运动速度均为，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接，的面积为，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
二．填空题(24分)
9. 分解因式：2x3﹣6x2+4x＝ ．
10. 一组由7个整数组成数据：9，4，，7，，5，10，它们的中位数与众数相同，则满足条件的值共有_____个．
11．盐城，一座让人打开心扉的城市．这里生态环境优美，文化底蕴丰厚，交通便捷，以“东方湿地之都，仙鹤神鹿世界”而闻名．盐城湿地面积约769700公顷，将数字769700用科学记数法表示为 ．

第11题图 第12题图 第13题图
12．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则的值是 ．
13．如图，C、D是线段AB上两点，且AC=BD=AB=1，点P是线段CD上一个动点，在AB同侧分别作等边△PAE和等边△PBF，M为线段EF的中点．在点P从点C移动到点D时，点M运动的路径长度为 ．
14．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为_______.

第14题图 第15题图 第16题图
15．如图坐标系中，O（0，0），A（6，6），B（12，0），将△OAB沿直线线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，若OE=，则CE：DE的值是 ．
16．如图，平面直角坐标系xOy中，点A（，），点B（，）在双曲线上，且，分别过点A，点B作x轴的平行线，与双曲线分别交于点C，点D． 若△AOB的面积为，则的值为 。
三．解答题（102分）
17．（6分）计算：．
18.（6分）解不等式组，并写出它的正整数解．
19．（8分）先化简：，再从，，中选取一个合适的数作为的值代入求值．
20．（本题满分8分）
2024年盐城市初中毕业升学体育考试有必考项目立定跳远和一项选考项目，男生选考项目为掷实心球或引体向上，女生选考项目为掷实心球或仰卧起坐．
（1）小明（男）从选考项目中任选一个，选中引体向上的概率为 ；
（2）小明（男）和小红（女）分别从选考项目中任选一个，求两人都选择掷实心球的概率．
（用树状图或列表法写出分析过程）
21．（10分）双语学校在“世界读书日”知识竞赛活动，名七年级学生全部参赛，从中随机抽取名学生的竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）：
：；：；：；：；：．
并绘制了七年级竞赛成绩频数分布直方图，部分信息如下：
已知组的全部数据如下：．
请根据以上信息，完成下列问题．
(1)______，抽取的名学生竞赛成绩的中位数是______；
(2)若将抽取的名学生成绩绘制成扇形统计图，则组所在扇形的圆心角为______；
(3)学校将对分以上（含分）的学生授予“小书虫”称号，请根据以上统计信息估计该校七年级被授予“小书虫”称号的学生数．
22．（8分）如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝18cm，BC＝40cm，CD＝44cm，固定∠ABC＝148°，可通过调试悬臂CD与连杆BC的夹角提高拍摄效果．
（1）问悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？
（2）已知摄像头点D到桌面l的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂CD与连杆BC的夹角∠BCD的度数约为多少？（参考数据：sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60 ）
23.（10分）某商店销售5台A型和10台B型电脑的利润为3500元，销售10台A型和10台B型电脑的利润为4500元，
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共80台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这80台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调元，且限定商店销售B型电脑的利润不低于10000元，若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这80台电脑销售总利润最大的进货方案．
24.（12分）【发现问题】 小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？
【解决问题】 小明尝试从函数图像的角度进行探究：
（1）建立函数模型 设一矩形的面积为4，周长为m，相邻的两边长为 x、y，则 ，，即，，那么满足要求的(x，y)应该是函数 与 的图像在第_______象限内的公共点坐标．
（2）画出函数图像
①画函数(x＞0)的图像；
②在同一直角坐标系中直接画出的图象，则的图像可以看成是的图像向上平移_____个单位长度到．
（3）研究函数图像
平移直线，观察两函数的图像；
①当直线平移到与函数 (x＞0)的图像有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为_____，周长 m的值为______；
②在直线平移的过程中，两函数图像公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长 m的取值范围．
【结论运用】
（4）面积为 10 的矩形的周长 m 的取值范围为__________．
25．（本题满分10分） 如图在网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，A、B、C、D、M、N、K均为格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并回答问题．
【操作】在图1中，①过点D画AC的平行线DE（E为格点）；
②过点B画AC的垂线BF，交AC于点F，交DE于点G，连接AG．
【发现】在图1中，BF与FG的数量关系是 ；AG的长度是 ．
【应用】在图2中，点P是边MK上一点，在MN上找出点H，使．


26．（12分）定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．
（1）如图，在△ABC中，AC=8，BC=5，，试判断△ABC是否是“准黄金”三角形，请说明理由．
（2）如图，△ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”，把△ABC沿BC翻折得到△DBC，AD交BC的延长线于点E，若点C恰好是△ABD的重心，求的值．
（3）如图，，且直线与之间的距离为4，“准黄金”△ABC的“金底”BC在直线上，点A在直线上，=，若∠ABC是钝角，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△，线段交于点D．当点落在直线上时，则的值为____．

27．（12分）【定义】：在平面内，将点A关于过点B的任意一条直线对称后得到点C，称点C为点A关于点B的线对称点．
【理解】：在直角坐标系中，已知点A（2，0）．
（1）点A关于直线y＝x对称的点的坐标为 ；
（2）若点A、B关于直线y＝2x对称，则OA与OB的数量关系为 ；
（3）下列为点A关于原点的线对称点是 ．
①（﹣2，0）②（，）③（1，﹣）④（1，2）
【运用】：（1）已知直线y＝mx+b经过点（2，4），当m满足什么条件时，该直线上始终存在点（2，0）关于原点的线对称点；
（2）已知抛物线，问：该抛物线上是否存在点（0，0）关于（0，3）的线对称点，若存在请求出点坐标，若不存在请说明理由．
教师样卷
一．选择题(24分)
1．﹣|﹣2024|的相反数是（ B ）
A．﹣2024 B．2024 C．﹣ D．
2．下列运算中，正确的是（ C ）
A．A2024÷a2=a1012 B． C．（ab）3=a3b3 D．（a2）4=a6
3. 油价多次上涨，新能源车企迎来了更多的关注，如图是理想、蔚来、小鹏、哪吒四款新能源汽车的标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ C ）
A. B. C. D.
4．已知有理数x，y满足方程组，则2x+y的值为（ A ）
A．﹣1B．0C．1D．2
5．为了发扬“中国航天精神”，每年的4月24日设立为“中国航天日”．正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（ B ）
A．航B．天C．精D．神

第5题图 第6题图 第7题图
6．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为（ D ）
A．130°B．140°C．150°D．160°
7．已知Rt△ACB≌Rt△DEF，其中∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，M、N分别为DF、AB的中点，将两个三角形按图①方式摆放，点F从点A开始沿AC方向平移至点E与点C重合结束（如图②），在整个平移过程中，MN的取值范围是（ D ）
A．0＜MN＜5B．0≤MN≤5C．D．
解：如图①，连接BD，此时MN最大，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10∵Rt△ACB≌Rt△DEF，∴DA＝AB＝10，∠D＝∠BAC，∠E＝∠C＝90°，∵∠D+∠DAE＝90°，∴∠DAE+∠BAC＝90°，∴∠DAB＝90°，∴BD＝AB＝10，∵M、N分别为DF、AB的中点，∴MN＝；如图②，当MN∥BC时，MN最小，
延长MN交AC于点H，根据中位线的性质可得NH＝BC＝4，MH＝ED＝3，
∴MN＝4﹣3＝1，综上所述，MN的取值范围是1≤MN≤5．故选：D．
8．如图四边形是边长为的正方形，点E，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，连接，点P从点E出发沿运动，同时点Q从点B出发沿运动，两点运动速度均为，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接，的面积为，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（ D ）
A．B．C．D．
解:当0≤t≤1时，∵正方形ABCD 的边长为2，点O为正方形的中心，∴直线EO垂直BC，
∴点P到直线BC的距离为2-t，BQ=t，∴S=；当1＜t≤2时，∵正方形ABCD 的边长为2，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，∴直线OF∥BC，
∴点P到直线BC的距离为1，BQ=t，∴S=；故选D．
二．填空题(24分)
9. 分解因式：2x3﹣6x2+4x＝ ．
【答案】2x（x﹣1）（x﹣2）
10. 一组由7个整数组成数据：9，4，，7，，5，10，它们的中位数与众数相同，则满足条件的值共有______个．
【答案】5
解：当a=5时，这7个数按从小到大排列为4，5，5，5，7，9，10，
所以中位数为5，众数为5，此时中位数与众数相同；
当a=6时，这7个数按从小到大排列为4，5，6，6，7，9，10，
所以中位数为6，众数为，6，此时中位数与众数相同；
当a=7时，这7个数按从小到大排列为4，5，7，7，7，9，10，
所以中位数为7，众数为7，此时中位数与众数相同；
当a=8时，这7个数按从小到大排列为4，5，7，8，8，9，10，
所以中位数为8，众数为8，此时中位数与众数相同；
当a=9时，这7个数按从小到大排列为4，5，7，9，9，9，10，
所以中位数为9，众数为9，此时中位数与众数相同；
∴满足条件的a的值为5，6，7，8，9，共5个．
故答案为：5
11．盐城，一座让人打开心扉的城市．这里生态环境优美，文化底蕴丰厚，交通便捷，以“东方湿地之都，仙鹤神鹿世界”而闻名．盐城湿地面积约769700公顷，将数字769700用科学记数法表示为 ．
【答案】7.697×105

第11题图 第12题图 第13题图
12．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则的值是 ．
【答案】
13．如图，C、D是线段AB上两点，且AC=BD=AB=1，点P是线段CD上一个动点，在AB同侧分别作等边△PAE和等边△PBF，M为线段EF的中点．在点P从点C移动到点D时，点M运动的路径长度为 ．
【答案】2
解：如图，分别延长AE、BF交于点H，∵∠A=∠FPB=60°，∴AH∥PF，∵∠B=∠EPA=60°，
∴BH∥PE，∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分．∵M为EF的中点，
∴M正好为PH中点，即在P的运动过程中，M始终为PH的中点，所以M的运行轨迹为三角形HCD的中位线GN．∵CD=6﹣1﹣1=4，∴GN=CD=2，即M的移动路径长为2．故答案为：2．
14．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为_______.
【答案】
解：连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，∴AF=BF=AE=BG=2，∴DE=3，∵DM是⊙O的切线，
∴DN=DE=3，MN=MG，∴CM=5﹣2﹣MN=3﹣MN，在Rt△DMC中，DM2=CD2+CM2，
∴（3+NM）2=（3﹣NM）2+42，∴NM=，∴DM=3=，

第14题图 第15题图 第16题图
15．如图坐标系中，O（0，0），A（6，6），B（12，0），将△OAB沿直线线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，若OE=，则CE：DE的值是 ．
【答案】
解：过A作AF⊥OB于F，∵A（6，6），B（12，0），∴AF=6，OF=6，OB=12，∴BF=6，
∴OF=BF，∴AO=AB，∵tan∠AOB=，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=∠ABO=60°，∵将△OAB沿直线线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，∴∠CED=∠OAB=60°，∴∠OCE=∠DEB，∴△CEO∽△DBE，∴，
设CE=a，则CA=a，CO=12﹣a，ED=b，则AD=b，OB=12﹣b，，∴24b=60a﹣5ab ①，，∴36a=60b﹣5ab ②，②﹣①得：36a﹣24b=60b﹣60a，∴=，
即CE：DE=．故答案为：．
16．如图，平面直角坐标系xOy中，点A（，），点B（，）在双曲线上，且，分别过点A，点B作x轴的平行线，与双曲线分别交于点C，点D． 若△AOB的面积为，则的值为 。
【答案】
解：过点A作轴，交y轴于点E，过点B作轴，交x轴于点F，延长BF，交AC于点G，∴四边形为矩形，∵点A（，），点B（，）在双曲线上，
∴，，，矩形面积
，
∵，∴，∴，设，则，
∴，∴，∴，或，∵，
∴不符合题意，经检验，是原方程的解，∴，根据题意，得，，∴，，∴，
三．解答题（102分）
17．（6分）计算：．
解：（；
18.（6分）解不等式组，并写出它的正整数解．
解：，解不等式①，得，解不等式②，得，不等式组的解集是，该不等式组的正整数解是1，2．
19．（8分）先化简：，再从，，中选取一个合适的数作为的值代入求值．
解： ，
，， ，，
当时，原式．
20．（本题满分8分）
2024年盐城市初中毕业升学体育考试有必考项目立定跳远和一项选考项目，男生选考项目为掷实心球或引体向上，女生选考项目为掷实心球或仰卧起坐．
（1）小明（男）从选考项目中任选一个，选中引体向上的概率为 ▲ ；
（2）小明（男）和小红（女）分别从选考项目中任选一个，求两人都选择掷实心球的概率．
（用树状图或列表法写出分析过程）
解：（1）；
（2）把掷实心球、引体向上、仰卧起坐分别记为A、B、C，列表如下：
由表知，共有4种等可能结果，两人都选择掷实心球的有1种结果，∴两人都选择掷实心球的概率为．
21．（10分）双语学校在“世界读书日”知识竞赛活动，名七年级学生全部参赛，从中随机抽取名学生的竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）：
：；：；：；：；：．
并绘制了七年级竞赛成绩频数分布直方图，部分信息如下：
已知组的全部数据如下：．
请根据以上信息，完成下列问题．
(1)______，抽取的名学生竞赛成绩的中位数是______；
(2)若将抽取的名学生成绩绘制成扇形统计图，则组所在扇形的圆心角为______；
(3)学校将对分以上（含分）的学生授予“小书虫”称号，请根据以上统计信息估计该校七年级被授予“小书虫”称号的学生数．
解：（1）解：由题意得，，将这名学生的成绩从小到大排列，
处在第位的两个数的平均数为，∴中位数是，故答案为：，；
（2）解：，∴组所在扇形的圆心角为，故答案为：；
（3）解：，答：估计该校七年级被授予“小书虫”称号的学生数为名．
22．（8分）如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝18cm，BC＝40cm，CD＝44cm，固定∠ABC＝148°，可通过调试悬臂CD与连杆BC的夹角提高拍摄效果．
（1）问悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？
（2）已知摄像头点D到桌面l的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂CD与连杆BC的夹角∠BCD的度数约为多少？（参考数据：sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60 ）
解：（1）过点C作CF⊥l，垂足为F，过点B作BN⊥CF，垂足为N，过点D作DM⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G，
则FN＝AB＝18cm，BN＝AF，DM＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥l，∵∠ABC＝148°，∴∠CBN＝∠ABC﹣∠ABN＝148°﹣90°＝58°，在Rt△CBN中，BC＝40cm，∴CN＝30•sin58°≈40×0.85＝34（cm），∴CF＝CN+NF＝34+18＝52，∴悬臂端点C到桌面l的距离约为52cm．
（2）过点D作DM⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G，则FN＝AB＝18cm，BN＝AF，DM＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥l，∵摄像头点D到桌面l的距离为30cm，∴MF＝30cm，∴CM＝CF﹣MF＝52﹣30＝22cm，在Rt△CDM中，CD＝44cm，CM＝22cm，
∴sin∠CDM＝，∴∠CDM＝30°，∠DCM＝60°，在Rt△CBN中，∠CBN＝58°，
∴∠BCN＝32°，∴∠BCD＝∠DCM﹣∠BCN＝60°﹣32°＝28°．
23.（10分）某商店销售5台A型和10台B型电脑的利润为3500元，销售10台A型和10台B型电脑的利润为4500元，
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共80台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这80台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调元，且限定商店销售B型电脑的利润不低于10000元，若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这80台电脑销售总利润最大的进货方案．
解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意得
，解得，
答：每台A型电脑销售利润为200元，每台B型电脑的销售利润为250元；
（2）①据题意得，y＝200x＋250（80−x），即y＝−50x＋20000，
②据题意得，80−x≤2x，解得x≥26，
∵y＝−50x＋20000，−50＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x＝27时，y取最大值，则80−x＝53，
即商店购进27台A型电脑和53台B型电脑的销售利润最大；
（3）据题意得，y＝（200＋m）x＋250（80−x），即y＝（m−50）x＋20000，
∵250（80−x）≥10000，解得：x≤40，
26≤x≤40，且为正整数，
①0＜m＜50时，y随x的增大而减小，
∴当x＝27时，y取最大值，
即商店购进27台A型电脑和53台B型电脑的销售利润最大．
②m＝50时，m−50＝0，，
即商店购进A型电脑数量满足26≤x≤40的整数时，均获得最大利润；
③当50＜m＜100时，m−50＞0，y随x的增大而增大，
∴当x＝40时，y取得最大值．
即商店购进40台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．
24.（12分）【发现问题】 小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？
【解决问题】 小明尝试从函数图像的角度进行探究：
（1）建立函数模型 设一矩形的面积为4，周长为m，相邻的两边长为 x、y，则 ，，即，，那么满足要求的(x，y)应该是函数 与 的图像在第_______象限内的公共点坐标．
（2）画出函数图像
①画函数(x＞0)的图像；
②在同一直角坐标系中直接画出的图象，则的图像可以看成是的图像向上平移_____个单位长度到．
（3）研究函数图像
平移直线，观察两函数的图像；
①当直线平移到与函数 (x＞0)的图像有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为_____，周长 m的值为______；
②在直线平移的过程中，两函数图像公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长 m的取值范围．
【结论运用】
（4）面积为 10 的矩形的周长 m 的取值范围为__________．
解：（1）x，y都是边长，因此，都是正数，故点（x，y）在第一象限，故答案为：一；
（2）如图，的图像可以看成是由的图像向上平移个单位长度得到．故答案为：；
（3）①当直线平移到与函数（x＞0）的图像有唯一公共点的位置时，如图，从图象可以看出，公共点的坐标为（2，2）把点（2，2）代入y=-x+得：2=-2+，解得：m=8，故答案为：（2，2），8；②由①并结合图象知：0个交点时，0＜m＜8；2个交点时，m＞8；
（4）当矩形的面积为10，相邻的两边长为x、y，周长为m时，则有
，∴，即 两个函数有交点时， 解得，或（不符合题意，舍去）
∴，故答案为：．

25．（本题满分10分）
如图在网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，A、B、C、D、M、N、K均为格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并回答问题．
【操作】在图1中，
①过点D画AC的平行线DE（E为格点）；
②过点B画AC的垂线BF，交AC于点F，交DE于点G，连接AG．
【发现】在图1中，BF与FG的数量关系是 ；AG的长度是 ．
【应用】在图2中，点P是边MK上一点，在MN上找出点H，使．

第26题图1 第26题图2
解：（1）【操作】如图所示，DE、BF、AG即为所求．
（2）【发现】BF=GF，
（3）【应用】如图所示，点H即为所求．

26．（12分）定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．
（1）如图，在△ABC中，AC=8，BC=5，，试判断△ABC是否是“准黄金”三角形，请说明理由．
（2）如图，△ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”，把△ABC沿BC翻折得到△DBC，AD交BC的延长线于点E，若点C恰好是△ABD的重心，求的值．
（3）如图，，且直线与之间的距离为4，“准黄金”△ABC的“金底”BC在直线上，点A在直线上，=，若∠ABC是钝角，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△，线段交于点D．当点落在直线上时，则的值为____．

解：（1）结论：△ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”．理由：过点A作AD⊥CB交CB的延长线于D．∵AC＝8，∠C＝30°，∴AD＝4，∴＝∴△ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”；
（2）如图，∵A，D关于BC对称，∴BE⊥AD，AE＝ED，∵△ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底” ∴＝，不妨设AE＝4k，BC＝5k，∵C是△ABD的重心，∴BC：CE＝2：1，
∴CE＝ ，BE＝ ，∴AB＝，∴；
（3）如图4中，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥AC于F，过点B′作B′G⊥BC于G．
在Rt△CB′G中，∵∠CGB′=90°，GB′=4，=CB=5，∴ ，又∵=，
∴ ，∴ ，∴EC=7，∵∠GCB′=∠FCD=α，∠CGB′=∠CFD=90°，
∴△CGB′∽△CFD，∴DF：CF：CD=GB′：CG：CB′=4：3：5，设DF=4k，CF=3k，CD=5k，
∵△AEC∽△DFA， ，解得： ，∴AF=7k，∴ ．
27．（12分）【定义】：在平面内，将点A关于过点B的任意一条直线对称后得到点C，称点C为点A关于点B的线对称点．
【理解】：在直角坐标系中，已知点A（2，0）．
（1）点A关于直线y＝x对称的点的坐标为 （0，2） ；
（2）若点A、B关于直线y＝2x对称，则OA与OB的数量关系为 OA＝OB ；
（3）下列为点A关于原点的线对称点是 ①②③ ．
①（﹣2，0）②（，）③（1，﹣）④（1，2）
【运用】：
（1）已知直线y＝mx+b经过点（2，4），当m满足什么条件时，该直线上始终存在点（2，0）关于原点的线对称点；
（2）已知抛物线，问：该抛物线上是否存在点（0，0）关于（0，3）的线对称点，若存在请求出点坐标，若不存在请说明理由．
解：（1）如图，A，A′关于直线y＝x对称，∴∠AOT＝∠A′OT＝45°，∴A′在y轴上，OA＝OA＝2，∴A（0，2）；
（2）如图，∵点A、B关于直线y＝2x对称，∴直线y＝2x是线段AB的垂直平分线，∴OA＝OB；
（3）如图，描点，∵A（2，0），，取AH的中点J，连接OJ，∴，∴OH＝OA，∵OJ＝OJ，AJ＝HJ，∴△OJH≌△OJA（SSS），∴∠OJH＝∠OJA＝90°，∴直线OJ是线段AH的垂直平分线；故③符合题意；同理可得：② 符合题意，④（1，2）不符合题意；而①（﹣2，0）显然符合题意；故①②③符合题意；
运用：（1）如图，设T为点（2，0）关于原点的线对称点，则OT＝OA＝2，
∴T在以O为圆心，半径为2的圆上，当QT为⊙O的切线时，切点为T，与x轴的交点为D，则OT⊥DQ，∠AQO＝∠AQO，QA＝QT＝4，∴△DTO∽△DAQ，
∴，即 ，可得 ；，
∵直线QT为 y＝mx+b，
∴，解得：，∴，
（2）如图，记N（0，3），若该抛物线上存在点（0，0）关于（0，3）的线对称点M，
∴NM＝NO，设 ，∴，整理得：（x2﹣8）2＝0，
解得：，此时 ，∴线对称点M的坐标为： 或 ．
A
C
A
（A，A）
（A，C）
B
（B，A）
（B，C）