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2024年江苏盐城中考数学第一次模拟考试热身练习卷（2024.4）
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这是一份2024年江苏盐城中考数学第一次模拟考试热身练习卷（2024.4），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1. 2024的负倒数是（ ）
A. 2024 B. C.－ D. －
2.将一张正方形纸片，按如图①，②的步骤，沿虚线对折两次，然后沿图③中的虚线剪去一个角得到图④，将图④展开铺平后的图形（ ）
A.是轴对称图形，但不是中心对称图形B.是中心对称图形，但不是轴对称图形
C.不是轴对称图形，也不是中心对称图形D.是中心对称图形，也是轴对称图形
第2题图 第3题图
3.斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次在以1，1，2，3，5的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（ ）
A.B.2C.D.4
4．规定一种新的运算“JQx→+∞”，其中A和B是关于x的多项式．当A的次数小于B的次数时，JQx→+∞＝0；当A的次数等于B的次数时，JQx→+∞的值为A、B的最高次项的系数的商．当A的次数大于B的次数时，JQx→+∞不存在．例：JQx→+∞＝0，JQx→+∞．若，则JQx→+∞的值为（ ）
A．0B．C．D．不存在
5.如图在中，，，，垂足为点，动点从点出发沿方向以的速度匀速运动到点，同时动点从点出发沿射线方向以的速度匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
6.一个几何体是由一些大小相同的小正方块摆成的，其俯视图与主视图如图所示，则组成这个几何体的小正方块最多有（ ）
A.9个B.10个C.11个D.12个
第6题图 第7题图 第8题图
7. 如图，点 是 内一点，与 轴平行，与 轴平行，，，若反比例函数的图象经过，两点，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（ ）
A． B． C．2 D．1
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9. 的算术平方根是 ．
10. 分解因式：（x2+2x）2-2（x2+2x）+1=__．
11. 南宋数学家杨辉在他的著作《杨辉算法》中提出这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形地的面积为864平方步，已知长与宽的和为60步，问长比宽多几步? 设矩形的长为步，则可列出方程为________．
12.若非负数，，满足，，则数据，，的方差的最大值是______．
13.如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长=____．
第13题图 第14题图 第16题图
14．小明家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁 (小明家、学校到这条公路的距离忽略不计)．一天，小明从家出发去上学，沿这条公路步行到公交车站，恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小明下车时发现还有4分钟上课，于是他沿这条公路跑步赶到学校 (上、下车时间忽略不计)．小明与家的距离s (单位：米) 与他所用的时间t (单位：分钟) 之间的函数关系如图所示．已知小明从家出发7分钟时与家的距离为1200米，从上公交车到他到达学校共用10分钟．给出下列说法：①小明从家出发5分钟时乘上公交车；②公交车的速度为400米／分钟；③小明下公交车后跑向学校的速度为100米／分钟；④小明上课没有迟到．其中正确说法的是_____________.
15. 规定：若，，则．例如，，则．已知，，且，则的最小值是_______．
16. 如图在矩形ABCD中，AB＝13，BC＝17，点E是线段AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，AE的长为__．
三、解答题（本大题共有10小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17.（8分）计算与化简
（1）计算：； （2）化简：．
18. （8分）解方程与不等式组：
（1） （2）
19. （10分）劳动教育是新时代党对教育的新要求，某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个星期日做家务的时间 （单位 ）作为样本，将收集的数据整理后分为 五个组别，其中 组的数据分别为：，，绘制成如下不完整的统计图表．
各组劳动时间的扇形统计图 各组劳动时间的频数分布表
请根据以上信息解答下列问题
（1）本次调查的样本容量为 ，频数分布表中的 的值为 ；
（2）A组数据的众数为 ，B组所在扇形的圆心角的大小为 ；
（3）若该校有1200名学生，估计该校学生劳动时间超过 人数
20. （8分）甲、乙两人做游戏，他们在一只不透明的袋子中装了五个小球，分别标有数字：1，1，2，2，3，这些小球除编号外都相同．
（1）搅匀后，甲从中任意摸出一个小球，则这个小球的编号是偶数的概率为 ；
（2）搅匀后，甲从中任意摸出一个小球，记录小球的编号后放回、搅匀，乙再从中任意摸出一个小球，若摸出两个小球编号之和为偶数甲获胜；否则，乙获胜，请你用画树状图或列表的方法说明谁获胜的概率大．
21. （10分）如图，矩形中，为的中点．
（1）在边上求作一点，使得；
（2）在（1）中，若，，求的长．
22.（10分）如图 是的外接圆，，过点A作，交射线于点E，过点C作于点H，交直线于点D．
（1）求证：是的切线．
（2）已知，，求的长度．
23. （10分）图1是一种儿童可折叠滑板车，该滑板车完全展开后示意图如图2所示，由车架和两个大小相同的车轮组成车轮半径为8 cm，已知，，，，，当A，E，F在同一水平高度上时，．
（1）求AC的长；
（2）为方便存放，将车架前部分绕着点D旋转至，按如图3所示方式放入收纳箱，试问该滑板车折叠后能否放进长的收纳箱（收纳箱的宽度和高度足够大），请说明理由（参考数据： ）．
24.（12分）某商店销售5台A型和10台B型电脑的利润为3500元，销售10台A型和10台B型电脑的利润为4500元，
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共80台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这80台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调元，且限定商店销售B型电脑的利润不低于10000元，若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这80台电脑销售总利润最大的进货方案．
25．（12分）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函数，其上确界是2．
（1）函数①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤5）中是有上界函数的为 （只填序号即可），其上确界为 ；
（2）若反比例函数y＝（a≤x≤b，a＞0）的上确界是b+1，且该函数的最小值为2，求a、b的值；
（3）如果函数y＝﹣x2+2ax+2（﹣1≤x≤3）是以6为上确界的有上界函数，求实数a的值．
26.（14分）如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形．
【问题提出】
（1）如图①，点E是四边形内部一点，且满足，请说明四边形是美好四边形；
【问题探究】
（2）如图②，，请利用尺规作图，在平面内作出点D，使得四边形是美好四边形，且满足．保留作图痕迹，不写画法；
（3）在（2）的条件下，若图②中满足：，，，求四边形的面积；
【问题解决】
（4）如图③，某公园内需要将4个信号塔分别建在A、B、C、D四处，现要求信号塔C建在公园内一个湖泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为的圆，记为已知点A到该湖泊的最近距离为，是否存在这样的点D，满足．且使得四边形的面积最大？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．
教师样卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1. 2024的负倒数是（ D ）
A. 2024 B. C.－ D. －
2.将一张正方形纸片，按如图①，②的步骤，沿虚线对折两次，然后沿图③中的虚线剪去一个角得到图④，将图④展开铺平后的图形（ D ）
A.是轴对称图形，但不是中心对称图形B.是中心对称图形，但不是轴对称图形
C.不是轴对称图形，也不是中心对称图形D.是中心对称图形，也是轴对称图形
第2题图 第3题图
3.斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次在以1，1，2，3，5的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（ A ）
A.B.2C.D.4
4．规定一种新的运算“JQx→+∞”，其中A和B是关于x的多项式．当A的次数小于B的次数时，JQx→+∞＝0；当A的次数等于B的次数时，JQx→+∞的值为A、B的最高次项的系数的商．当A的次数大于B的次数时，JQx→+∞不存在．例：JQx→+∞＝0，JQx→+∞．若，则JQx→+∞的值为（C）
A．0B．C．D．不存在
解：＝÷＝•
＝，∴A的次数等于B的次数，∴JQx→+∞＝，故选：C．
5.如图在中，，，，垂足为点，动点从点出发沿方向以的速度匀速运动到点，同时动点从点出发沿射线方向以的速度匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是（B ）
A. B. C. D.
6.一个几何体是由一些大小相同的小正方块摆成的，其俯视图与主视图如图所示，则组成这个几何体的小正方块最多有（ C ）
A.9个B.10个C.11个D.12个
第6题图 第7题图 第8题图
7. 如图，点 是 内一点，与 轴平行，与 轴平行，，，若反比例函数的图象经过，两点，则 的值是（ A ）
A. B. C. D.
解：过点作轴，延长交于点，四边形为平行四边形，
，，， BD与轴平行，，，
，在和中，，，
，，，，
，，点的纵坐标为，设，则，，
反比例函数的图象经过，两点，，，
，故选：A
8.如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（ A ）
A． B． C．2 D．1
解：是以为腰的等腰直角三角形，，，，，，点四点共圆，在以为直径的圆上，如图，连接， 由圆周角定理得：，。，，在和中，，，，故选：A
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9. 的算术平方根是 3 ．
10. 分解因式：（x2+2x）2-2（x2+2x）+1=（x+1）4___．
11. 南宋数学家杨辉在他的著作《杨辉算法》中提出这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形地的面积为864平方步，已知长与宽的和为60步，问长比宽多几步? 设矩形的长为步，则可列出方程为__________．
12.若非负数，，满足，，则数据，，的方差的最大值是___8___．
解: 非负数，，满足
即
的方差
则的方差的最大值是8故答案为：8.
13.如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长=____．
解：连接EF交AC于O，∵四边形EGFH是菱形，∴EF⊥AC，OE=OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，∴∠ACD=∠CAB，在△CFO与△AOE中， ，∴△CFO≌△AOE（AAS），∴AO=CO，∵AC==，∴AO=AC=，∵∠CAB=∠CAB，∠AOE=∠B=90°，∴△AOE∽△ABC，∴，∴，∴AE=．故答案为：．
第13题图 第14题图 第16题图
14．小明家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁 (小明家、学校到这条公路的距离忽略不计)．一天，小明从家出发去上学，沿这条公路步行到公交车站，恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小明下车时发现还有4分钟上课，于是他沿这条公路跑步赶到学校 (上、下车时间忽略不计)．小明与家的距离s (单位：米) 与他所用的时间t (单位：分钟) 之间的函数关系如图所示．已知小明从家出发7分钟时与家的距离为1200米，从上公交车到他到达学校共用10分钟．给出下列说法：①小明从家出发5分钟时乘上公交车；②公交车的速度为400米／分钟；③小明下公交车后跑向学校的速度为100米／分钟；④小明上课没有迟到．其中正确说法的是_①②③ = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④_____________.
解：小明7分钟离家1200米，由图像知12分钟离家3200米，可求出公交车的速度为400米／分钟，进一步可以由图像求得小明上公交车的时间为离家5分钟时，又小明从上公交车到学校共用10分钟，可求得跑步时间为3分钟，跑步速度为100米／分钟，此时距离上课还有1分钟，所以小明没有迟到)
15. 规定：若，，则．例如，，则．已知，，且，则的最小值是___10____．
解：由新定义得：，
的图象开口向上，对称轴为，
当时，取最小值，最小值为：，故答案为：10．
16. 如图在矩形ABCD中，AB＝13，BC＝17，点E是线段AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，AE的长为__或．
解：由翻折的性质可得： 平分 ，
如图，过点 作 于点F，则 是等腰直角三角形 设 ，则 ， 在中，由勾股定理得： ，即 解得：或 当 时，延长 交AD于点G，如图：此时 设 ，则 ，即 ，即
当 时，延长 交AD于点G，如图：此时 设 ，则 ，即 ，即 故答案为： 或 ．
三、解答题（本大题共有10小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17.（8分）计算与化简
（1）计算：； （2）化简：．
解：（1）；
（2）．
18. （8分）解方程与不等式组：
（1） （2）
解：（1） 配方，得：， ∴， 解得：，；
（2）解不等式，得．解不等式，得
∴原不等式组的解集是．
19. （10分）劳动教育是新时代党对教育的新要求，某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个星期日做家务的时间 （单位 ）作为样本，将收集的数据整理后分为 五个组别，其中 组的数据分别为：，，绘制成如下不完整的统计图表．
各组劳动时间的扇形统计图 各组劳动时间的频数分布表
请根据以上信息解答下列问题
（1）本次调查的样本容量为 ，频数分布表中的 的值为 ；
（2）A组数据的众数为 ，B组所在扇形的圆心角的大小为 ；
（3）若该校有1200名学生，估计该校学生劳动时间超过 人数
解：（1）由题意可得，本次调查的样本容量是，由题意得，故答案为：60，12；
（2）∵A组的数据为：，共有5个数据，出现次数最多的是，共出现了3次，∴A组数据的众数是；B组所在扇形的圆心角的大小是，
故答案为：，；
（3）：（人）．
答：该校学生劳动时间超过的大约有860人．
20. （8分）甲、乙两人做游戏，他们在一只不透明的袋子中装了五个小球，分别标有数字：1，1，2，2，3，这些小球除编号外都相同．
（1）搅匀后，甲从中任意摸出一个小球，则这个小球的编号是偶数的概率为 ；
（2）搅匀后，甲从中任意摸出一个小球，记录小球的编号后放回、搅匀，乙再从中任意摸出一个小球，若摸出两个小球编号之和为偶数甲获胜；否则，乙获胜，请你用画树状图或列表的方法说明谁获胜的概率大．
解：（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为；故答案为：；
（2）列表如下：
所有可能的结果数为25个，两次摸到的小球编号和为偶数的结果数为13个，∴两次摸到的小球编号和为偶数的概率为：，∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，
∵，∴甲获胜的概率大．
21. （10分）如图，矩形中，为的中点．
（1）在边上求作一点，使得；
（2）在（1）中，若，，求的长．
解：（1）如图，过点作交于点，点即为所求；延长和交于点，∵四边形是矩形，，，，
为的中点．，在和中，，
，，，是线段的垂直平分线，
，，，，
；
（2）四边形是矩形，，，，，，解得，
，．
22.（10分）如图 是的外接圆，，过点A作，交射线于点E，过点C作于点H，交直线于点D．
（1）求证：是的切线．
（2）已知，，求的长度．
解：（1）证明：过点A作，垂足为F，如图，∵，，∴是的垂直平分线，∴过圆心O，∵，∴，
∵是圆O的半径，∴是的切线；
（2）连接，如图，∵，∴，∴，
∵，∴，在中，，∴设，则，∵，∴，∴或（舍去），∴，，设的半径为r，在中，，∴，∴，
∴，∴，∵，∴，，∴，∴，
在中，，∴，
∴，在中，，∴．
23. （10分）图1是一种儿童可折叠滑板车，该滑板车完全展开后示意图如图2所示，由车架和两个大小相同的车轮组成车轮半径为8 cm，已知，，，，，当A，E，F在同一水平高度上时，．
（1）求AC的长；
（2）为方便存放，将车架前部分绕着点D旋转至，按如图3所示方式放入收纳箱，试问该滑板车折叠后能否放进长的收纳箱（收纳箱的宽度和高度足够大），请说明理由（参考数据： ）．
解：（1）过点A作,，可设，
由勾股定理得，，，是等腰直角三角形，，，，，
,
解得，；
（2）过点A作交其延长线于点M，过点D作交其延长线于点N，并延长ND，交AB于点P，，四边形AMNP是矩形，，，，，，
，，，
，滑板车折叠后总长度为，
所以，该滑板车折叠后能放进长收纳箱．
24.（12分）某商店销售5台A型和10台B型电脑的利润为3500元，销售10台A型和10台B型电脑的利润为4500元，
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共80台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这80台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调元，且限定商店销售B型电脑的利润不低于10000元，若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这80台电脑销售总利润最大的进货方案．
解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意得
，解得，
答：每台A型电脑销售利润为200元，每台B型电脑的销售利润为250元；
（2）①据题意得，y＝200x＋250（80−x），即y＝−50x＋20000，
②据题意得，80−x≤2x，解得x≥26，∵y＝−50x＋20000，−50＜0，∴y随x的增大而减小，∵x为正整数，∴当x＝27时，y取最大值，则80−x＝53，即商店购进27台A型电脑和53台B型电脑的销售利润最大；
（3）据题意得，y＝（200＋m）x＋250（80−x），即y＝（m−50）x＋20000，
∵250（80−x）≥10000，解得：x≤40， 26≤x≤40，且为正整数，
①0＜m＜50时，y随x的增大而减小，∴当x＝27时，y取最大值，
即商店购进27台A型电脑和53台B型电脑的销售利润最大．
②m＝50时，m−50＝0，，即商店购进A型电脑数量满足26≤x≤40的整数时，均获得最大利润；
③当50＜m＜100时，m−50＞0，y随x的增大而增大，∴当x＝40时，y取得最大值．
即商店购进40台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．
25．（12分）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函数，其上确界是2．
（1）函数①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤5）中是有上界函数的为 （只填序号即可），其上确界为 ；
（2）若反比例函数y＝（a≤x≤b，a＞0）的上确界是b+1，且该函数的最小值为2，求a、b的值；
（3）如果函数y＝﹣x2+2ax+2（﹣1≤x≤3）是以6为上确界的有上界函数，求实数a的值．
解：（1）∵y＝x2+2x+1＝（x+1）2，∴y≥0，∴y＝x2+2x+1没有上界函数；∵y＝2x﹣3（x≤5），∴y≤7，∴y＝2x﹣3（x≤5）有上界函数，上确界为7，故答案为：②，7；
（2）∵y＝（a≤x≤b，a＞0），∴当x＝a时，y有最大值，当x＝b时，y有最小值，
∴≤y≤，∵函数上确界是b+1，∴＝b+1，∵函数的最小值为2，∴＝2，∴b＝3，
∴a＝；
（3）∵y＝﹣x2+2ax+2＝﹣（x﹣a）2+a2+2，∴当x＝a时，y有最大值a2+2，
①a≤﹣1时，x＝﹣1，y有最大值1﹣2a，∵6为上确界，∴1﹣2a＝6，∴a＝﹣；
②a≥3时，x＝3时，y有最大值6a﹣7，∵6为上确界，∴6a﹣7＝6，∴a＝（舍）；
③﹣1＜a＜3时，x＝a时，y有最大值a2+2，∵6为上确界，∴a2+2＝6，∴a＝2或a＝﹣2（舍）；综上所述：a的值为﹣或2．
26.（14分）如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形．
【问题提出】
（1）如图①，点E是四边形内部一点，且满足，请说明四边形是美好四边形；
【问题探究】
（2）如图②，，请利用尺规作图，在平面内作出点D，使得四边形是美好四边形，且满足．保留作图痕迹，不写画法；
（3）在（2）的条件下，若图②中满足：，，，求四边形的面积；
【问题解决】
（4）如图③，某公园内需要将4个信号塔分别建在A、B、C、D四处，现要求信号塔C建在公园内一个湖泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为的圆，记为已知点A到该湖泊的最近距离为，是否存在这样的点D，满足．且使得四边形的面积最大？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．
解：（1）连接，∵，∴，即，在和中，，∴，
∴，∴四边形是美好四边形；
（2）如图即为所作；
（3）过点作于点，∵，∴，∵，，∴，，∵四边形为美好四边形，∴，
∴，∴，，∴；
（4）存在，当美好四边形的对角线不垂直时，如图，过点作于点过点作于点，则，∵，
∴，当美好四边形对角线互相垂直时，，∵，
∴当美好四边形的对角线垂直时面积最大，如图，当过圆心，最长，四边形中，时，其面积最大，∵湖泊的半径是，点A到该湖泊的最近距离为，
∴，∴
组别
时间/
频数
A
5
B
a
C
20
D
15
E
8
组别
时间/
频数
A
5
B
a
C
20
D
15
E
8
1
1
2
2
3
1
2
2
3
3
4
1
2
2
3
3
4
2
3
3
4
4
5
2
3
3
4
4
5
3
4
4
5
5
6
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1. 2024的负倒数是（ ）
A. 2024 B. C.－ D. －
2.将一张正方形纸片，按如图①，②的步骤，沿虚线对折两次，然后沿图③中的虚线剪去一个角得到图④，将图④展开铺平后的图形（ ）
A.是轴对称图形，但不是中心对称图形B.是中心对称图形，但不是轴对称图形
C.不是轴对称图形，也不是中心对称图形D.是中心对称图形，也是轴对称图形
第2题图 第3题图
3.斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次在以1，1，2，3，5的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（ ）
A.B.2C.D.4
4．规定一种新的运算“JQx→+∞”，其中A和B是关于x的多项式．当A的次数小于B的次数时，JQx→+∞＝0；当A的次数等于B的次数时，JQx→+∞的值为A、B的最高次项的系数的商．当A的次数大于B的次数时，JQx→+∞不存在．例：JQx→+∞＝0，JQx→+∞．若，则JQx→+∞的值为（ ）
A．0B．C．D．不存在
5.如图在中，，，，垂足为点，动点从点出发沿方向以的速度匀速运动到点，同时动点从点出发沿射线方向以的速度匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
6.一个几何体是由一些大小相同的小正方块摆成的，其俯视图与主视图如图所示，则组成这个几何体的小正方块最多有（ ）
A.9个B.10个C.11个D.12个
第6题图 第7题图 第8题图
7. 如图，点 是 内一点，与 轴平行，与 轴平行，，，若反比例函数的图象经过，两点，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（ ）
A． B． C．2 D．1
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9. 的算术平方根是 ．
10. 分解因式：（x2+2x）2-2（x2+2x）+1=__．
11. 南宋数学家杨辉在他的著作《杨辉算法》中提出这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形地的面积为864平方步，已知长与宽的和为60步，问长比宽多几步? 设矩形的长为步，则可列出方程为________．
12.若非负数，，满足，，则数据，，的方差的最大值是______．
13.如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长=____．
第13题图 第14题图 第16题图
14．小明家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁 (小明家、学校到这条公路的距离忽略不计)．一天，小明从家出发去上学，沿这条公路步行到公交车站，恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小明下车时发现还有4分钟上课，于是他沿这条公路跑步赶到学校 (上、下车时间忽略不计)．小明与家的距离s (单位：米) 与他所用的时间t (单位：分钟) 之间的函数关系如图所示．已知小明从家出发7分钟时与家的距离为1200米，从上公交车到他到达学校共用10分钟．给出下列说法：①小明从家出发5分钟时乘上公交车；②公交车的速度为400米／分钟；③小明下公交车后跑向学校的速度为100米／分钟；④小明上课没有迟到．其中正确说法的是_____________.
15. 规定：若，，则．例如，，则．已知，，且，则的最小值是_______．
16. 如图在矩形ABCD中，AB＝13，BC＝17，点E是线段AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，AE的长为__．
三、解答题（本大题共有10小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17.（8分）计算与化简
（1）计算：； （2）化简：．
18. （8分）解方程与不等式组：
（1） （2）
19. （10分）劳动教育是新时代党对教育的新要求，某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个星期日做家务的时间 （单位 ）作为样本，将收集的数据整理后分为 五个组别，其中 组的数据分别为：，，绘制成如下不完整的统计图表．
各组劳动时间的扇形统计图 各组劳动时间的频数分布表
请根据以上信息解答下列问题
（1）本次调查的样本容量为 ，频数分布表中的 的值为 ；
（2）A组数据的众数为 ，B组所在扇形的圆心角的大小为 ；
（3）若该校有1200名学生，估计该校学生劳动时间超过 人数
20. （8分）甲、乙两人做游戏，他们在一只不透明的袋子中装了五个小球，分别标有数字：1，1，2，2，3，这些小球除编号外都相同．
（1）搅匀后，甲从中任意摸出一个小球，则这个小球的编号是偶数的概率为 ；
（2）搅匀后，甲从中任意摸出一个小球，记录小球的编号后放回、搅匀，乙再从中任意摸出一个小球，若摸出两个小球编号之和为偶数甲获胜；否则，乙获胜，请你用画树状图或列表的方法说明谁获胜的概率大．
21. （10分）如图，矩形中，为的中点．
（1）在边上求作一点，使得；
（2）在（1）中，若，，求的长．
22.（10分）如图 是的外接圆，，过点A作，交射线于点E，过点C作于点H，交直线于点D．
（1）求证：是的切线．
（2）已知，，求的长度．
23. （10分）图1是一种儿童可折叠滑板车，该滑板车完全展开后示意图如图2所示，由车架和两个大小相同的车轮组成车轮半径为8 cm，已知，，，，，当A，E，F在同一水平高度上时，．
（1）求AC的长；
（2）为方便存放，将车架前部分绕着点D旋转至，按如图3所示方式放入收纳箱，试问该滑板车折叠后能否放进长的收纳箱（收纳箱的宽度和高度足够大），请说明理由（参考数据： ）．
24.（12分）某商店销售5台A型和10台B型电脑的利润为3500元，销售10台A型和10台B型电脑的利润为4500元，
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共80台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这80台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调元，且限定商店销售B型电脑的利润不低于10000元，若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这80台电脑销售总利润最大的进货方案．
25．（12分）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函数，其上确界是2．
（1）函数①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤5）中是有上界函数的为 （只填序号即可），其上确界为 ；
（2）若反比例函数y＝（a≤x≤b，a＞0）的上确界是b+1，且该函数的最小值为2，求a、b的值；
（3）如果函数y＝﹣x2+2ax+2（﹣1≤x≤3）是以6为上确界的有上界函数，求实数a的值．
26.（14分）如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形．
【问题提出】
（1）如图①，点E是四边形内部一点，且满足，请说明四边形是美好四边形；
【问题探究】
（2）如图②，，请利用尺规作图，在平面内作出点D，使得四边形是美好四边形，且满足．保留作图痕迹，不写画法；
（3）在（2）的条件下，若图②中满足：，，，求四边形的面积；
【问题解决】
（4）如图③，某公园内需要将4个信号塔分别建在A、B、C、D四处，现要求信号塔C建在公园内一个湖泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为的圆，记为已知点A到该湖泊的最近距离为，是否存在这样的点D，满足．且使得四边形的面积最大？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．
教师样卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1. 2024的负倒数是（ D ）
A. 2024 B. C.－ D. －
2.将一张正方形纸片，按如图①，②的步骤，沿虚线对折两次，然后沿图③中的虚线剪去一个角得到图④，将图④展开铺平后的图形（ D ）
A.是轴对称图形，但不是中心对称图形B.是中心对称图形，但不是轴对称图形
C.不是轴对称图形，也不是中心对称图形D.是中心对称图形，也是轴对称图形
第2题图 第3题图
3.斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次在以1，1，2，3，5的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（ A ）
A.B.2C.D.4
4．规定一种新的运算“JQx→+∞”，其中A和B是关于x的多项式．当A的次数小于B的次数时，JQx→+∞＝0；当A的次数等于B的次数时，JQx→+∞的值为A、B的最高次项的系数的商．当A的次数大于B的次数时，JQx→+∞不存在．例：JQx→+∞＝0，JQx→+∞．若，则JQx→+∞的值为（C）
A．0B．C．D．不存在
解：＝÷＝•
＝，∴A的次数等于B的次数，∴JQx→+∞＝，故选：C．
5.如图在中，，，，垂足为点，动点从点出发沿方向以的速度匀速运动到点，同时动点从点出发沿射线方向以的速度匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是（B ）
A. B. C. D.
6.一个几何体是由一些大小相同的小正方块摆成的，其俯视图与主视图如图所示，则组成这个几何体的小正方块最多有（ C ）
A.9个B.10个C.11个D.12个
第6题图 第7题图 第8题图
7. 如图，点 是 内一点，与 轴平行，与 轴平行，，，若反比例函数的图象经过，两点，则 的值是（ A ）
A. B. C. D.
解：过点作轴，延长交于点，四边形为平行四边形，
，，， BD与轴平行，，，
，在和中，，，
，，，，
，，点的纵坐标为，设，则，，
反比例函数的图象经过，两点，，，
，故选：A
8.如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（ A ）
A． B． C．2 D．1
解：是以为腰的等腰直角三角形，，，，，，点四点共圆，在以为直径的圆上，如图，连接， 由圆周角定理得：，。，，在和中，，，，故选：A
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9. 的算术平方根是 3 ．
10. 分解因式：（x2+2x）2-2（x2+2x）+1=（x+1）4___．
11. 南宋数学家杨辉在他的著作《杨辉算法》中提出这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形地的面积为864平方步，已知长与宽的和为60步，问长比宽多几步? 设矩形的长为步，则可列出方程为__________．
12.若非负数，，满足，，则数据，，的方差的最大值是___8___．
解: 非负数，，满足
即
的方差
则的方差的最大值是8故答案为：8.
13.如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长=____．
解：连接EF交AC于O，∵四边形EGFH是菱形，∴EF⊥AC，OE=OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，∴∠ACD=∠CAB，在△CFO与△AOE中， ，∴△CFO≌△AOE（AAS），∴AO=CO，∵AC==，∴AO=AC=，∵∠CAB=∠CAB，∠AOE=∠B=90°，∴△AOE∽△ABC，∴，∴，∴AE=．故答案为：．
第13题图 第14题图 第16题图
14．小明家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁 (小明家、学校到这条公路的距离忽略不计)．一天，小明从家出发去上学，沿这条公路步行到公交车站，恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小明下车时发现还有4分钟上课，于是他沿这条公路跑步赶到学校 (上、下车时间忽略不计)．小明与家的距离s (单位：米) 与他所用的时间t (单位：分钟) 之间的函数关系如图所示．已知小明从家出发7分钟时与家的距离为1200米，从上公交车到他到达学校共用10分钟．给出下列说法：①小明从家出发5分钟时乘上公交车；②公交车的速度为400米／分钟；③小明下公交车后跑向学校的速度为100米／分钟；④小明上课没有迟到．其中正确说法的是_①②③ = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④_____________.
解：小明7分钟离家1200米，由图像知12分钟离家3200米，可求出公交车的速度为400米／分钟，进一步可以由图像求得小明上公交车的时间为离家5分钟时，又小明从上公交车到学校共用10分钟，可求得跑步时间为3分钟，跑步速度为100米／分钟，此时距离上课还有1分钟，所以小明没有迟到)
15. 规定：若，，则．例如，，则．已知，，且，则的最小值是___10____．
解：由新定义得：，
的图象开口向上，对称轴为，
当时，取最小值，最小值为：，故答案为：10．
16. 如图在矩形ABCD中，AB＝13，BC＝17，点E是线段AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，AE的长为__或．
解：由翻折的性质可得： 平分 ，
如图，过点 作 于点F，则 是等腰直角三角形 设 ，则 ， 在中，由勾股定理得： ，即 解得：或 当 时，延长 交AD于点G，如图：此时 设 ，则 ，即 ，即
当 时，延长 交AD于点G，如图：此时 设 ，则 ，即 ，即 故答案为： 或 ．
三、解答题（本大题共有10小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17.（8分）计算与化简
（1）计算：； （2）化简：．
解：（1）；
（2）．
18. （8分）解方程与不等式组：
（1） （2）
解：（1） 配方，得：， ∴， 解得：，；
（2）解不等式，得．解不等式，得
∴原不等式组的解集是．
19. （10分）劳动教育是新时代党对教育的新要求，某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个星期日做家务的时间 （单位 ）作为样本，将收集的数据整理后分为 五个组别，其中 组的数据分别为：，，绘制成如下不完整的统计图表．
各组劳动时间的扇形统计图 各组劳动时间的频数分布表
请根据以上信息解答下列问题
（1）本次调查的样本容量为 ，频数分布表中的 的值为 ；
（2）A组数据的众数为 ，B组所在扇形的圆心角的大小为 ；
（3）若该校有1200名学生，估计该校学生劳动时间超过 人数
解：（1）由题意可得，本次调查的样本容量是，由题意得，故答案为：60，12；
（2）∵A组的数据为：，共有5个数据，出现次数最多的是，共出现了3次，∴A组数据的众数是；B组所在扇形的圆心角的大小是，
故答案为：，；
（3）：（人）．
答：该校学生劳动时间超过的大约有860人．
20. （8分）甲、乙两人做游戏，他们在一只不透明的袋子中装了五个小球，分别标有数字：1，1，2，2，3，这些小球除编号外都相同．
（1）搅匀后，甲从中任意摸出一个小球，则这个小球的编号是偶数的概率为 ；
（2）搅匀后，甲从中任意摸出一个小球，记录小球的编号后放回、搅匀，乙再从中任意摸出一个小球，若摸出两个小球编号之和为偶数甲获胜；否则，乙获胜，请你用画树状图或列表的方法说明谁获胜的概率大．
解：（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为；故答案为：；
（2）列表如下：
所有可能的结果数为25个，两次摸到的小球编号和为偶数的结果数为13个，∴两次摸到的小球编号和为偶数的概率为：，∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，
∵，∴甲获胜的概率大．
21. （10分）如图，矩形中，为的中点．
（1）在边上求作一点，使得；
（2）在（1）中，若，，求的长．
解：（1）如图，过点作交于点，点即为所求；延长和交于点，∵四边形是矩形，，，，
为的中点．，在和中，，
，，，是线段的垂直平分线，
，，，，
；
（2）四边形是矩形，，，，，，解得，
，．
22.（10分）如图 是的外接圆，，过点A作，交射线于点E，过点C作于点H，交直线于点D．
（1）求证：是的切线．
（2）已知，，求的长度．
解：（1）证明：过点A作，垂足为F，如图，∵，，∴是的垂直平分线，∴过圆心O，∵，∴，
∵是圆O的半径，∴是的切线；
（2）连接，如图，∵，∴，∴，
∵，∴，在中，，∴设，则，∵，∴，∴或（舍去），∴，，设的半径为r，在中，，∴，∴，
∴，∴，∵，∴，，∴，∴，
在中，，∴，
∴，在中，，∴．
23. （10分）图1是一种儿童可折叠滑板车，该滑板车完全展开后示意图如图2所示，由车架和两个大小相同的车轮组成车轮半径为8 cm，已知，，，，，当A，E，F在同一水平高度上时，．
（1）求AC的长；
（2）为方便存放，将车架前部分绕着点D旋转至，按如图3所示方式放入收纳箱，试问该滑板车折叠后能否放进长的收纳箱（收纳箱的宽度和高度足够大），请说明理由（参考数据： ）．
解：（1）过点A作,，可设，
由勾股定理得，，，是等腰直角三角形，，，，，
,
解得，；
（2）过点A作交其延长线于点M，过点D作交其延长线于点N，并延长ND，交AB于点P，，四边形AMNP是矩形，，，，，，
，，，
，滑板车折叠后总长度为，
所以，该滑板车折叠后能放进长收纳箱．
24.（12分）某商店销售5台A型和10台B型电脑的利润为3500元，销售10台A型和10台B型电脑的利润为4500元，
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共80台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这80台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调元，且限定商店销售B型电脑的利润不低于10000元，若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这80台电脑销售总利润最大的进货方案．
解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意得
，解得，
答：每台A型电脑销售利润为200元，每台B型电脑的销售利润为250元；
（2）①据题意得，y＝200x＋250（80−x），即y＝−50x＋20000，
②据题意得，80−x≤2x，解得x≥26，∵y＝−50x＋20000，−50＜0，∴y随x的增大而减小，∵x为正整数，∴当x＝27时，y取最大值，则80−x＝53，即商店购进27台A型电脑和53台B型电脑的销售利润最大；
（3）据题意得，y＝（200＋m）x＋250（80−x），即y＝（m−50）x＋20000，
∵250（80−x）≥10000，解得：x≤40， 26≤x≤40，且为正整数，
①0＜m＜50时，y随x的增大而减小，∴当x＝27时，y取最大值，
即商店购进27台A型电脑和53台B型电脑的销售利润最大．
②m＝50时，m−50＝0，，即商店购进A型电脑数量满足26≤x≤40的整数时，均获得最大利润；
③当50＜m＜100时，m−50＞0，y随x的增大而增大，∴当x＝40时，y取得最大值．
即商店购进40台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．
25．（12分）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函数，其上确界是2．
（1）函数①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤5）中是有上界函数的为 （只填序号即可），其上确界为 ；
（2）若反比例函数y＝（a≤x≤b，a＞0）的上确界是b+1，且该函数的最小值为2，求a、b的值；
（3）如果函数y＝﹣x2+2ax+2（﹣1≤x≤3）是以6为上确界的有上界函数，求实数a的值．
解：（1）∵y＝x2+2x+1＝（x+1）2，∴y≥0，∴y＝x2+2x+1没有上界函数；∵y＝2x﹣3（x≤5），∴y≤7，∴y＝2x﹣3（x≤5）有上界函数，上确界为7，故答案为：②，7；
（2）∵y＝（a≤x≤b，a＞0），∴当x＝a时，y有最大值，当x＝b时，y有最小值，
∴≤y≤，∵函数上确界是b+1，∴＝b+1，∵函数的最小值为2，∴＝2，∴b＝3，
∴a＝；
（3）∵y＝﹣x2+2ax+2＝﹣（x﹣a）2+a2+2，∴当x＝a时，y有最大值a2+2，
①a≤﹣1时，x＝﹣1，y有最大值1﹣2a，∵6为上确界，∴1﹣2a＝6，∴a＝﹣；
②a≥3时，x＝3时，y有最大值6a﹣7，∵6为上确界，∴6a﹣7＝6，∴a＝（舍）；
③﹣1＜a＜3时，x＝a时，y有最大值a2+2，∵6为上确界，∴a2+2＝6，∴a＝2或a＝﹣2（舍）；综上所述：a的值为﹣或2．
26.（14分）如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形．
【问题提出】
（1）如图①，点E是四边形内部一点，且满足，请说明四边形是美好四边形；
【问题探究】
（2）如图②，，请利用尺规作图，在平面内作出点D，使得四边形是美好四边形，且满足．保留作图痕迹，不写画法；
（3）在（2）的条件下，若图②中满足：，，，求四边形的面积；
【问题解决】
（4）如图③，某公园内需要将4个信号塔分别建在A、B、C、D四处，现要求信号塔C建在公园内一个湖泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为的圆，记为已知点A到该湖泊的最近距离为，是否存在这样的点D，满足．且使得四边形的面积最大？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．
解：（1）连接，∵，∴，即，在和中，，∴，
∴，∴四边形是美好四边形；
（2）如图即为所作；
（3）过点作于点，∵，∴，∵，，∴，，∵四边形为美好四边形，∴，
∴，∴，，∴；
（4）存在，当美好四边形的对角线不垂直时，如图，过点作于点过点作于点，则，∵，
∴，当美好四边形对角线互相垂直时，，∵，
∴当美好四边形的对角线垂直时面积最大，如图，当过圆心，最长，四边形中，时，其面积最大，∵湖泊的半径是，点A到该湖泊的最近距离为，
∴，∴
组别
时间/
频数
A
5
B
a
C
20
D
15
E
8
组别
时间/
频数
A
5
B
a
C
20
D
15
E
8
1
1
2
2
3
1
2
2
3
3
4
1
2
2
3
3
4
2
3
3
4
4
5
2
3
3
4
4
5
3
4
4
5
5
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