浙教版八年级下册6.1 反比例函数课后测评

这是一份浙教版八年级下册6.1 反比例函数课后测评，共38页。

A．3B．﹣3C．6D．﹣6
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，根据已知条件得到三角形ABO的面积＝AB•OB，由于三角形ABC的面积＝AB•OB＝3，得到|k|＝6，即可得到结论．
【解答】解：∵三角形AOB的面积为3，
∴|k|＝3，
∴|k|＝6，
∵k＜0，
∴k＝﹣6，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
2．（鄞州区期末）已知反比例函数y＝﹣，利用图象可知当y≤4时自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣3B．x≥﹣3C．x≤﹣3或x＞0D．x≥3或x＜0
【分析】根据函数解析式中的系数推知函数图象经过第二、四象限，结合函数图象求得当y≤4时自变量x的取值范围．
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣的大致图象如图所示，
∴当y≤4时自变量x的取值范围是x≤﹣3或x＞0．
故选：C．
【点评】考查了反比例函数的性质，解题时，要注意自变量x的取值范围有两部分组成．
3．（玉田县二模）如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y．定义（x，y）为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线x＝1，y＝3将第一象限划分成4个区域．已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中．则下面叙述中正确的是（ ）
A．点A的横坐标有可能大于3
B．矩形1是正方形时，点A位于区域②
C．当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小
D．当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等
【分析】A、根据反比例函数k一定，并根据图形得：当x＝1时，y＜3，得k＝xy＜3，因为y是矩形周长的一半，即y＞x，可判断点A的横坐标不可能大于3；
B、根据正方形边长相等得：y＝2x，得点A是直线y＝2x与双曲线的交点，画图，如图2，交点A在区域③，可作判断；
C、先表示矩形面积S＝x（y﹣x）＝xy﹣x2＝k﹣x2，当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，矩形1的面积会越来越大，可作判断；
D、当点A位于区域①，得x＜1，另一边为：y﹣x＞2，矩形2的坐标的对应点落在区域④中得：x＞1，y＞3，即另一边y﹣x＞0，可作判断．
【解答】解：设点A（x，y），
A、设反比例函数解析式为：y＝（k≠0），
由图形可知：当x＝1时，y＜3，
∴k＝xy＜3，
∵y＞x，
∴x＜3，即点A的横坐标不可能大于3，
故选项A不正确；
B、当矩形1为正方形时，边长为x，y＝2x，
则点A是直线y＝2x与双曲线的交点，如图2，交点A在区域③，
故选项B不正确；
C、当一边为x，则另一边为y﹣x，S＝x（y﹣x）＝xy﹣x2＝k﹣x2，
∵当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，
∴矩形1的面积会越来越大，
故选项C不正确；
D、当点A位于区域①时，
∵点A（x，y），
∴x＜1，y＞3，即另一边为：y﹣x＞2，
矩形2落在区域④中，x＞1，y＞3，即另一边y﹣x＞0，
∴当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等；
故选项④正确；
故选：D．
【点评】本题考查了函数图象和新定义，有难度，理由x和y的意义是关键，并注意数形结合的思想解决问题．
4．（浙江自主招生）函数图象的大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由题意只需找到图象在x轴下方的不经过原点的函数图象即可．
【解答】解：由函数解析式可得x可取正数，也可取负数，但函数值只能是负数；
所以函数图象应在x轴下方，并且x，y均不为0．
故选：D．
【点评】解决本题的关键是根据在函数图象上的点得到函数图象的大致位置．
5．（上城区二模）在函数y＝（k≠0）的图象上有三点（﹣3，y1）（﹣1，y2）（2，y3），若y2＜y3，那么y1与y2的大小关系正确的是（ ）
A．y1＜y2＜0B．y2＜y1＜0C．0＜y2＜y1D．0＜y1＜y2
【分析】根据反比例函数的图象上点的特征和所给的条件，确定反比例函数的图象所在的象限，然后根据反比例函数的性质做出判断；因为（﹣3，y1）（﹣1，y2）位于同一象限，而（2，y3）与（﹣3，y1）（﹣1，y2）不在同一象限，且y2＜y3，可以确定反比例函数的图象位于一、三象限，然后根据在每个象限内y随x增大而减小和点所在的象限，确定y1与y2的大小关系；考查反比例函数的图象和性质以及反比例函数图象上点的特征等知识．
【解答】解：∵函数y＝（k≠0）的图象过（﹣3，y1）（﹣1，y2）（2，y3）三个点，且y2＜y3，
∴函数y＝的图象只能在一、三象限，即k＞0；
根据反比例函数的性质：当k＞0，在每个象限内y随x增大而减小；而（﹣3，y1）（﹣1，y2）均在第三象限，
∴y2＜y1＜0
故选：B．
【点评】此题考查反比例函数的图象和性质，可以依据反比例函数的图象和性质以及已知条件，确定图象所在的象限，再根据反比例函数的性质和点的位置做出比较．
6．（雨花区期末）如图所示，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D．若矩形OABC的面积为8，则k的值为（ ）
A．2B．2C．D．2
【分析】过D作DE⊥OA于E，设D（a，），于是得到OA＝2a，OC＝，根据矩形的面积列方程即可得到结论．
【解答】解：如图，过D作DE⊥OA于E，
设D（a，），
∴OE＝a．DE＝，
∵点D是矩形OABC的对角线AC的中点，
∴OA＝2a，OC＝，
∵矩形OABC的面积为8，
∴OA•OC＝2a•＝8，
∴k＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质，根据矩形的面积列出方程是解题的关键．
7．（乐山）如图，曲线C2是双曲线C1：y＝（x＞0）绕原点O逆时针旋转45°得到的图形，P是曲线C2上任意一点，点A在直线l：y＝x上，且PA＝PO，则△POA的面积等于（ ）
A．B．6C．3D．12
【分析】将双曲线逆时针旋转使得l与y轴重合，等腰三角形△PAO的底边在y轴上，应用反比例函数比例系数k的性质解答问题．
【解答】解：如图，将C2及直线y＝x绕点O逆时针旋转45°，则得到双曲线C3，直线l与y轴重合．
双曲线C3，的解析式为y＝﹣
过点P作PB⊥y轴于点B
∵PA＝PO
∴B为OA中点．
∴S△PAB＝S△POB
由反比例函数比例系数k的性质，S△POB＝3
∴△POA的面积是6
故选：B．
【点评】本题为反比例函数综合题，考查了反比例函数的轴对称性以及反比例函数比例系数k的几何意义．
8．（乐清市期末）在平面直角坐标系中，反比例函数y＝的图象上有三点P（2，2），Q（﹣4，m），M（a，b），若a＜0且PM＞PQ，则b的取值范围为（ ）
A．b＜4B．b＜﹣1或﹣4＜b＜0
C．﹣1＜b＜0D．b＜﹣4或﹣1＜b＜0
【分析】根据题意画出图象，可求出点Q的坐标，根据反比例函数的轴对称性，得出点M所在的位置，进而确定纵坐标b的取值范围．
【解答】解：如图：点P（2，2）在反比例函数y＝的图象上
∴k＝4，
点Q（﹣4，m），在反比例函数y＝的图象上
∴m＝﹣1，
∴Q（﹣4，﹣1）
由双曲线关于y＝x轴对称，因此与Q1（﹣4，﹣1）对称的Q2（﹣1，﹣4），
∵M（a，b）在反比例函数y＝的图象上，且a＜0，PM＞PQ，
∴点M在第三象限Q1左边的曲线上，或在Q2右侧的曲线上，
∴点M的纵坐标b的取值范围为：﹣1＜b＜0或b＜﹣4，
故选：D．
【点评】考查反比例函数的图象和性质，数形结合思想，画出相应的图形，结合图形进行解答是较好的方法．
9．（余杭区期末）已知点（x1，y1）和点（x2，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，若x1＜x2，则（ ）
A．（x1+x2）（y1+y2）＜0B．（x1+x2）（y1+y2）＞0
C．x1x2（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0D．x1x2（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0
【分析】点（x1，y1）和点（x2，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，且x1＜x2，但不知道这两个点所在的象限，因此分三种情况讨论得出答案，（1）两点同在第二象限，（2）两点同在第四象限，（3）点（x1，y1）在第二象限而点（x2，y2）在第四象限．
【解答】解：∵k＜0
∴双曲线位于二四象限，
∵点（x1，y1）和点（x2，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，且x1＜x2，
∴x1﹣x2＜0
（1）点（x1，y1）和点（x2，y2）都在第二象限，由反比例函数的性质可得：
x1+x2＜0，y1+y2＞0，y1﹣y2＜0；
（2）点（x1，y1）和点（x2，y2）都在第四象限，由反比例函数的性质可得：
x1+x2＞0，y1+y2＜0，y1﹣y2＜0；
（3）点（x1，y1）在第二象限而点（x2，y2）在第四象限，由反比例函数的性质可得：
x1•x2＜0，y1﹣y2＞0；
因此：x1x2（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0是正确的．
故选：D．
【点评】此题是反比例函数图象上点的坐标特征，分类讨论是数学常用思想方法，将所有可能的情况逐个进行解答从而确定最终的结果，注意分类不遗漏、不重复．
10．（丹东模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（0，4）、（4，0），点C在第一象限内，∠BAC＝90°，AB＝2AC，函数y＝（x＞0）的图象经过点C，将△ABC沿x轴的正方向向右平移m个单位长度，使点A恰好落在函数y＝（x＞0）的图象上，则m的值为（ ）
A．B．C．3D．
【分析】作CH⊥y轴于H．由相似三角形的性质求出点C坐标，进而求出k的值，依据反比例函数图象上点的坐标特征即可解决问题；
【解答】解：如图，作CH⊥y轴于H．
∵A（0，4）、B（4，0），
∴OA＝OB＝4，
∵∠BAC＝90°，
∴∠OAB+∠CAH＝90°，
∵∠ABO+∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝∠CAH，
又∵∠AOB＝∠AHC＝90°，
∴△ABO∽△CAH，
∴＝＝＝2，
∴CH＝AH＝2，
∴OH＝OA+AH＝6，
∴C（2，6），
∵点C在y＝的图象上，
∴k＝2×6＝12，
∴y＝，
∴当y＝4时，x＝3，
∵将△ABC沿x轴的正方向向右平移m个单位长度，使点A恰好落在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴m＝3，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数图象上的点的特征，相似三角形的判定和性质、平移变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
二．填空题（共13小题）
11．（罗湖区校级期末）如图，已知点A在反比例函数图象上，AC⊥y轴于点C，点B在x轴的负半轴上，且△ABC的面积为3，则该反比例函数的表达式为 y＝﹣ ．
【分析】由于同底等高的两个三角形面积相等，可得△AOC的面积＝△ABC的面积＝3，然后根据反比例函数中k的几何意义，即可确定k的值，进而得出反比例函数的解析式．
【解答】解：如图，连接AO，
设反比例函数的解析式为y＝．
∵AC⊥y轴于点C，
∴AC∥BO，
∴△AOC的面积＝△ABC的面积＝3，
又∵△AOC的面积＝|k|，
∴|k|＝3，
∴k＝±6；
又∵反比例函数的图象的一支位于第二象限，
∴k＜0．
∴k＝﹣6．
∴这个反比例函数的解析式为y＝﹣．
故答案为：y＝﹣．
【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
12．（永嘉县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A为（6，0），点C是第一象限上一点，以OA，OC为邻边作▱OABC，反比例函数y＝的图象经过点C和AB的中点D，反比例函数y＝图象经过点B，则的值为 ．
【分析】过C作CE⊥x轴于E，过D作DF⊥x轴于F，易得△COE∽△DAF，设C（a，b），则利用相似三角形的性质可得C（4，b），B（10，b），进而得到＝＝．
【解答】解：如图，过C作CE⊥x轴于E，过D作DF⊥x轴于F，则∠OEC＝∠AFD＝90°，
又∵CO∥AB，
∴∠COE＝∠DAF，
∴△COE∽△DAF，
又∵D是AB的中点，AB＝CO，
∴＝＝＝，
设C（a，b），则OE＝a，CE＝b，
∴AF＝a，DF＝b，
∴D（6+a，b），
∵反比例函数y＝的图象经过点C和AB的中点D，
∴ab＝（6+a）×b，
解得a＝4，
∴C（4，b），
又∵BC＝AO＝6，
∴B（10，b），
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是掌握：反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
13．（滨江区三模）当1≤x≤2时，反比例函数y＝（k＞﹣3且k≠0）的最大值与最小值之差是1，则k的值是 ±2 ．
【分析】分k＞0和k＜0进行讨论，再根据反比例函数的增减性，利用函数值的差列出方程解答．
【解答】解：当k＞0时，在其每一象限内，反比例函数y随x的增大而减小．
∴，解得k＝2，
当﹣3＜k＜0时，在其每一象限内，反比例函数y随x的增大而增大．
，解得k＝﹣2，
综上所述，k＝±2．
答案：±2．
【点评】本题考查了反比例函数的增减性，反比例函数的增减性要在其图象的每一象限内解答，解题关键要对于k的值要分情况讨论．
14．（永嘉县校级模拟）如图，点A在第一象限，作AB⊥x轴，垂足为点B，反比例函数y＝的图象经过AB的中点C，过点A作AD∥x轴，交该函数图象于点D．E是AC的中点，连接OE，将△OBE沿直线OE对折到△OB′E，使OB′恰好经过点D，若B′D＝AE＝1，则k的值是 12 ．
【分析】过D作DF⊥OB于F，判定△DB'G≌△EAG，即可得到AD＝B'G＝BE，依据E是AC的中点，C是AB的中点，即可得到BE＝3＝AD，AB＝4＝DF，设C（a，2），则D（a﹣3，4），根据反比例函数y＝的图象经过点C点D，可得2a＝4（a﹣3），求得a的值，进而得到k＝6×2＝12．
【解答】解：如图，过D作DF⊥OB于F，
∵AB⊥x轴，AD∥x轴，
∴四边形ABFD是矩形，
由折叠可得，∠B'＝90°＝∠A，
又∵B'D＝AE＝1，∠DGB'＝∠EGA，
∴△DB'G≌△EAG，
∴DG＝EG，B'G＝AG，
∴AD＝B'E＝BE，
又∵E是AC的中点，C是AB的中点，
∴AE＝CE＝1，AC＝BC＝2，
∴BE＝3＝AD，AB＝4＝DF，
设C（a，2），则D（a﹣3，4），
∵反比例函数y＝的图象经过点C点D，
∴2a＝4（a﹣3），
解得a＝6，
∴C（6，2），
∴k＝6×2＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判定与性质的运用，正确掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
15．（鹿城区模拟）如图，点A是反比例函数y＝图象上的任意一点，过点A作AB∥x轴，AC∥y轴，分别交反比例函数y＝的图象于点B，C，连接BC，E是BC上一点，连接并延长AE交y轴于点D，连接CD，则S△DEC﹣S△BEA＝ ．
【分析】设A（a，），可得B（，），C（a，），进而得到AB＝a，AC＝，依据S△DEC﹣S△BEA＝S△DAC﹣S△BCA进行计算即可．
【解答】解：点A是反比例函数y＝图象上的任意一点，可设A（a，），
∵AB∥x轴，AC∥y轴，点B，C在反比例函数y＝的图象上，
∴B（，），C（a，），
∴AB＝a，AC＝，
∴S△DEC﹣S△BEA＝S△DAC﹣S△BCA＝××（a﹣a）＝××a＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．解题时注意：反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
16．（金东区模拟）已知反比例函数图象过点A（1，3），过点A的直线交反比例函数另一点于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，作BF⊥y轴于点F，当BC＝AF时，点B的坐标为 （﹣3，﹣1），（3，1），（2，1.5） ．
【分析】根据题意求出反比例函数解析式，设出B点坐标（a，），用a表示BC2与AF2，列出方程可解a．
【解答】解：设反比例函数解析式y＝
∵反比例函数图象过点A（1，3）
∴k＝1×3＝3
∴解析式y＝
∵B点是反比例函数图象上一点
∴设B（a，）
∵过点A作AC⊥x轴于点C，作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，作BF⊥y轴于点F
∴C（1，0），D（0，3），E（a，0），F（0，）
∴BC2＝（1﹣a）2+（）2．
AF2＝12+（﹣3）2．
且BC＝AF
∴（1﹣a）2+（）2＝12+（﹣3）2．
∴（a﹣）（a﹣2）＝0
∴a1＝2，a2＝3，a3＝﹣3
∴点B的坐标为（2，1.5）或（3，1）或（﹣3，﹣1）
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是设设B（a，）根据题意列出方程组．
17．（鹿城区校级一模）如图，线段OA与函数y＝（x＞0）的图象交于点B，且AB＝2OB，点C也在函数y＝（x＞0）图象上，连结AC并延长AC交x轴正半轴于点D，且AC＝3CD，连结BC，若△BCD的面积为3，则k的值为 ．
【分析】分别过点A，B，C作x轴的垂线，垂足分别为M，E，F．设点B的坐标为（a，b），由平行线分线段成比例分别求出点C的坐标，OD的长；由△BCD的面积为3，根据等高三角形的面积比等于对应底的比可得出△BOD的面积，利用△BOD的面积得出等式求解即可．
【解答】解：如图，分别过点A，B，C作x轴的垂线，垂足分别为M，E，F．
∴BE∥CF∥AM，
∴OB：OA＝BE：AM＝OE：OM＝1：3，
CD：AD＝DF：DM＝CF：AM＝1：4，
设点B的坐标为（a，b），
∴OE＝a，BE＝b，
∴AM＝3BE＝3b，OM＝3OE＝3a，
∴CF＝AM＝b，
∴C（a，b），
∴OF＝a，
∴FM＝OM﹣OF＝a，
∴DF＝FM＝a，
∴OD＝OM﹣DF﹣FM＝a．
∵△BCD的面积为3，
∴△ABC的面积＝3×△BCD的面积＝9，
∴△ABD的面积＝12．
∴△BOD的面积＝×△ABD的面积＝6．
∴•OD•BE＝a×b＝6．
解得k＝ab＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行线分线段成比例等知识，由△BCD的面积推导出△BOD的面积，设出点B的坐标，表达出△BOD的面积是解题关键．
18．（宁波模拟）如图，函数y＝kx与y＝（k＞0，x＞0）的图象交于点A，以OA为斜边作等腰直角△OAC，若直角顶点C恰好在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，则k的值为 +2 ．
【分析】过点A作y轴的垂线AB，过点C作x轴的垂线BD于点D，交AB于点B．易证△ABC≌△CDO（AAS），设点C的坐标为（m，n），可表示点A的坐标为（m﹣n，m+n）．由点A，点C在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，建立等式mn＝（m﹣n）（m+n），求出m和n的关系，再根据点A在直线y＝kx上，代入点A坐标可求出k的值．
【解答】解：如图，过点A作y轴的垂线AB，过点C作x轴的垂线BD于点D，交AB于点B．
∴∠B＝∠ODC＝90°，
∵△OAC是等腰直角三角形，
∴AC＝OC，∠ACO＝90°，
∴∠ACB+∠OCD＝∠OCD+∠COD＝90°，
∴∠ACB＝∠COD，
∴△ABC≌△CDO（AAS），
∴AB＝CD，BC＝OD．
设点C的坐标为（m，n），
∴OD＝m，CD＝n，
∴AB＝CD＝n，BC＝OD＝m，
∴A（m﹣n，m+n）．
∵点A，点C在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，
∴mn＝（m﹣n）（m+n），解得m＝n（负值舍去），
∵点A在一次函数y＝kx上，
∴k＝＝＝+2．
故答案为：+2．
【点评】本题属于反比例函数与一次函数的交点问题，涉及等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，反比例函数上点的坐标特征等知识，设出点C的坐标，得出m和n之间的关系是解题关键．
19．（宁波模拟）如图，△OAB中，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限，OA＝OB，点M为AB的中点，若函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点B，M，则的值为 ．
【分析】先根据B，M在反比例函数y＝（x＞0）的图象，所以设B（m，），M（n，），A（x，0），根据中点坐标公式列等式可得x＝2n﹣m，n＝2m，表示A（3m，0），M（2m，），如图，过点B作BD⊥x轴于D，连接OM，证△AMO∽△ADB，列比例式可得答案．
【解答】解：设B（m，），M（n，），A（x，0），
∵M是AB的中点，
∴＝n，＝，
∴x＝2n﹣m，n＝2m，
∴x＝3m，
∴A（3m，0），M（2m，），
如图，过点B作BD⊥x轴于D，连接OM，
∵OB＝OA，M是AB的中点，
∴OM⊥AB，
Rt△OBD中，OB＝OA＝3m，OD＝m，BD＝，
由勾股定理得：OB2＝OD2+BD2，
即（3m）2＝m2+，
∴k2＝8m4，
∵k＞0，
∴k＝2m2，
∴OM＝＝m，
∵∠OAM＝∠BAD，∠AMO＝∠ADB＝90°，
∴△AMO∽△ADB，
∴，即＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，三角形相似的性质和判定，勾股定理，中点坐标公式等知识，正确作辅助线是解题的关键．
20．（江北区期末）如图，正比例函数y＝mx（m≠0）与反比例函数y＝（n≠0）的图象在第一象限内交于点A，过点A作AB⊥OA于点A，交反比例函数y＝（n≠0）图象于点B，若OA＝AB，则m的值为 ．
【分析】构造K形全等，将线段长度转化为坐标运算即可求m．
【解答】解：如图：
过A作AM⊥y轴于M，过点B作BN⊥MA于N．
则∠OMA＝∠ANB＝90°，
∴∠MOA+∠OAM＝90°．
∵OA⊥AB．
∴∠OAM+∠BAN＝90°．
∴∠MOA＝∠NAB．
∵OA＝OB．
∴△OMA≌△ANB（AAS）．
∴OM＝AN，AM＝BN．
设A（a，ma），则AM＝BN＝a，OM＝AN＝ma．
∴MN＝MA+AN＝a+ma．
∴B（a+ma，ma﹣a）．
∵点A，B在y＝的图象上．
∴a•ma＝（a+ma）（ma﹣a）．
∴ma²＝m²a²﹣a²．
∴m²﹣m﹣1＝0．
∴m1＝，m2＝（舍去）．
故答案为：．
【点评】本题考查反比例函数与正比例函数的交点，构造全等三角形，将线段长度转化为点坐标的运算是求解本题的关键．
21．（鹿城区校级一模）如图，已知一次函数y＝ax+（a＜0）与反比例函数y＝（k＞0）的图象相交于A，B（B在A的右侧），连接BO并延长交双曲线的另一分支于点C，连接AC，交y轴于点D．已知△COD与四边形ADOB的面积之比为3：5，OD＝k，则a的值是 ﹣ ．
【分析】连接BD，由反比例函数图象的对称性可知点A、B关于原点O对称，由已知可得到△BCD与△ABD的面积比为3：1，从而得到，A、B、C的横坐标、纵坐标的关系就可以确定了，根据题意建立方程就可求出a的值．
【解答】解：连接BD，过点A作AE⊥y轴，过点B作BF⊥y轴，过点C作CG⊥y轴，垂足分别为E、F、G；
∵反比例函数图象是中心对称的，
∴BF＝CG，OG＝OF，
∵S△COD：S△四边形ADOB＝3：5，S△BOD＝S△COD
∴S△BCD：S△ABD＝3：1，
∴，
∵△ADE∽△CDG，
∴，
设A（m，）、B（3m，）、C（﹣3m，﹣），
∴DG＝OG+OD＝+k，DE＝DG＝+k，
∴，
∴m＝1
∴A（1，k），B（3，）代入y＝ax+中，得；
解得：
故答案为
【点评】本题是一个关于一次函数和反比例函数的综合题，考查了待定系数法、一次函数解析式及反比例函数图象、相似三角形和三角形面积等；综合性很强，解决此题的关键把面积关系转化成点的坐标关系．
22．（宁波模拟）如图，点B在x轴正半轴上，点A在第一象限，AO＝AB，函数y＝（x＞0）的图象分别交AO，AB于点C，D，若OC＝3，BD＝1，则OA的长为 5 ；当OD⊥AB时，k的值为 ．
【分析】过点C作CE⊥OB于E，过点D作DF⊥OB于F，过点A作AG⊥OB于点G，设OB＝m，设C（a，b），则D（m﹣a，b），由反比例函数的性质可得ab＝（m﹣a）•b，解得a＝m，进而可表达OE，EG，OF的长度，由CE∥AG，结合平行线分线段成比例可得OA的长度；若OD⊥AB，则∠ODB＝90°．由射影定理可得DF2＝OF•BF，建立等式求出m2的值，进而可得k的值．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥OB于E，过点D作DF⊥OB于F，过点A作AG⊥OB于点G，设OB＝m，
∴CE∥DF∥AG，OG＝BG＝m．
∴∠OEC＝∠BFD＝90°，
∵AO＝AB，
∴∠AOB＝∠ABO，
∴△COE∽△DBF，
∴＝＝＝3．
设C（a，b），
∴OE＝a，CE＝b，
∴BF＝a，DF＝b，
∴D（m﹣a，b），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交边AO，AB于点C，D，
∴k＝ab＝（m﹣a）•b，解得a＝m，
∴EG＝m﹣m＝m，BF＝a＝m，
∴OF＝m﹣m＝m．
∵CE∥AG，
∴OC：OA＝CE：AG＝OE：OG，即3：OA＝m：m，
∴OA＝5．
若OD⊥AB，则∠ODB＝90°．
由射影定理可得DF2＝OF•BF．
∴b2＝m•m＝m2，即b＝m，
在Rt△OCE中，由勾股定理可得，OE2+CE2＝OC2，
∴（m）2+（m）2＝32，
整理得m2＝10．
∴k＝ab＝m2＝．
故答案为：5；．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，等边三角形的性质，设出点C的坐标，利用反比例函数的性质表达出a，b与m的关系解题的关键．
23．（浙江模拟）如图，在△AOB中，OC平分∠AOB，＝，反比例函数y＝（k＜0）图象经过点A、C两点，点B在x轴上，若△AOB的面积为7，则k的值为 ﹣ ．
【分析】过点C作CN⊥OB，CD⊥OA，过点A作AM⊥OB，根据已知条件得S△ACO＝4，S△BOC＝3，根据反比例函数性质可知
S△AOC＝S梯形AMNC＝4，再根据图形的面积公式求k．
【解答】解：过点C作CN⊥OB，CD⊥OA，过点A作AM⊥OB，
∵OC平分∠AOB，
∴CN＝CD，
∵＝，
∴＝，
∵△AOB的面积为7，
∴S△ACO＝4，S△BOC＝3，
∴＝＝，
∵k＜0，
由反比例函数的性质可知：S△AOM＝S△CON＝＝﹣k，
∵S△AOM+S梯形AMNC＝S△AOC+S△CON，
∴S△AOC＝S梯形AMNC＝4，
∵CN∥AM，
∴△BCN∽△BAM，
∴＝＝，
∴＝，
∴S△BCN＝×4，
∴S△BCN＝，
∴7＝﹣k+4+，
解得k＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、角平分线的性质，掌握这几个知识点的熟练综合应用，辅助线的作法是解题关键．
三．解答题（共7小题）
24．（台州模拟）如图，正比例函数y1＝mx（m为常数，且m≠0）的图象与反比例函数y2＝（n为常数，且n≠0）的图象交于A，B两点，且点A的坐标为（1，2）．
（1）分别求出正比例函数及反比例函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围．
【分析】（1）将点A的坐标分别代入y1＝mx和y2＝，即可求解；
（2）由y1＞y2可得，正比例函数的图象在反比例函数的图象上，由此可得出x的取值范围．
【解答】解：（1）将点A的坐标分别代入y1＝mx和y2＝，
∴m＝2，2＝，
得m＝2，n＝2，
∴正比例函数与反比例函数的表达式分别为：y1＝2x，y2＝；
（2）令2x＝，解得x＝1或x＝﹣1，
∴B（﹣1，﹣2），
由y1＞y2可得，正比例函数的图象在反比例函数的图象上，
∴x的取值范围为：﹣1＜x＜0或x＞1．
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，数形结合思想等知识，熟知待定系数法求函数解析式是解题关键．
25．（金华模拟）如图，过反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的点P作两坐标轴的垂线，垂足分别为A，B，与反比例函数y＝相交于点E，F．
（1）若PE＝3AE，求k的值；
（2）当k＝6时，是否是定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
（3）试用k的代数式表示△PEF面积．
【分析】（1）设AE的长为m，则PE的长为3m，由点E在反比例函数y＝的图象上，可求出点E的坐标，进而可求出点P的坐标，根据k的几何意义解求k的值；
（2）当k＝6时，同样设AE的长为m，可表达点E的坐标，进而可以表达点P的坐标，进而可求出PE的长，即可求出的值；
（3）设AE的长为m，则可表示点E，P，F的坐标，进而可求出PE和PF的长，进而可表达△PEF的面积．
【解答】解：（1）设AE＝m，则PE＝3AE＝3m，
∴PA＝AE+PE＝4m，
∵点E在反比例函数y＝的图象上，
∴E（m，），
∴OA＝PB＝，
∴P（4m，），
∴点P在比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上，
∴k＝4m•＝4．
（2）的值为定值5，理由如下：
设AE＝m，
∴E（m，），
∴OA＝PB＝，
∴点P在比例函数y＝（x＞0）图象上，
∴P（6m，），
∴PA＝6m，
∴PE＝PA﹣AE＝5m，
∴＝＝5．
（3）由（2）知，可设点E的坐标为（m，），
∴OA＝PB＝，
∴点P在比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上，
∴P（km，），
∴PA＝km，
∴PE＝（k﹣1）m，
∵PB⊥x轴与点B，
∴F（km，），
∴PF＝PB﹣FB＝﹣＝，
∴S△PEF＝•PE•PF＝（k﹣1）m•＝．
【点评】本题考查反比例函数综合题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常常考题．
26．（丽水期末）如图，已知直线OA与反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＞0）的图象分别交于点A，B，点A的坐标为（1，4），且点B是线段OA的中点．
（1）求k1，k2的值；
（2）已知反比例函数y＝的图象上C点的横坐标为2，连结OC并延长交反比例函数y＝的图象于点D，连结AD，BC，试判断AD与BC的数量关系和位置关系，请说明理由．
【分析】（1）先求B的坐标，再求k1，k2的值．
（2）求出C，D的坐标，再判断AD，BC的关系
【解答】解：（1）把A（1，4）代入y＝得：k1＝1×4＝4．
∵B是OA的中点．
∴B（，2）．
将B（，2）代入y＝得：k2＝1．
∴k1＝4，k2＝1．
（2）BC＝AD，BC∥AD，理由如下：
当x＝2时，y＝＝．
∴C（2，）．
∴直线OC：y＝x．
由x＝得x²＝16．
∴x＝±4．
∵x＞0．
∴x＝4，y＝1．
∴D（4，1）．
∵C（2，）．
∴C是线段OD的中点．
∵B是OA的中点．
∴BC是△OAD的中位线．
∴BC＝AD，BC∥AD．
【点评】本题考查反比例函数与直线的交点，中点坐标公式，中位线定理，通过坐标的关系去判断线段的关系是求解本题的关键．
27．（青田县开学）在平面直角坐标系中，横坐标为2的点A在反比例函数的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，．
（1）求k的值．
（2）在x轴的负半轴上找点P，将点A绕点P顺时针旋转90°，其对应点A′落在此反比例函数第三象限的图象上，求点P的坐标．
（3）直线与AB延长线交于点C，与反比例函数图象交于点E，若点E到直线AB的距离等于AC，求n的值．
【分析】（1）由，OB＝2可得AB＝4，由此得出点A的坐标，进而可求出k的值；
（2）证明△PAB≌△A′PG（AAS），确定点A′的坐标为（a+4，a﹣2），即可求解；
（3）分当直线与双曲线交点为E、直线与双曲线交点为E′两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）由，OB＝2可得AB＝4，
∴点A（2，4），
则k＝2×4＝8；
（2）点A绕点P顺时针旋转90°，点A对应点A′落在此反比例函数第三象限的图象上，
过点A′作AG⊥x轴交于点G，设点P（a，0），
∵∠PAB+∠BPA＝90°，∠BPA+∠A′PG＝90°，
∴∠A′PG＝∠PAB，
∠ABP＝∠A′GP＝90°，PA＝PA′，
∴△PAB≌△A′PG（AAS），
∴PG＝AB＝4，GA′＝PB＝2﹣a，
则点A′的坐标为（a+4，a﹣2），
则（a+4）（a﹣2）＝8，
解得：a＝﹣1﹣（正值已舍去）．
故点P坐标为（﹣1﹣，0）；
（3）设线y＝x+n（n＜0）与AB和双曲线分别交于点C、点E（E′）．
过点E（E′）作E（E′）F（F′）⊥AB交于点F（F′），
①当直线与双曲线交点为E时，
则点C（2，1+n），AC＝4﹣1﹣n＝3﹣n，
将直线表达式与反比例函数表达式联立并整理得：x2+2nx﹣16＝0，
解得：x＝﹣n±，则xE＝﹣n+，
则EF＝﹣n+﹣2，
E到直线AB的距离为FE等于AC，
则﹣n+﹣2＝3﹣n，
解得：n＝﹣3（正值已舍去）；
②当直线与双曲线交点为E′时，
同理可得：n＝﹣；
故：n的值为﹣3或﹣．
【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到三角形全等、一元二次方程运用等，其中（3），要分类求解，避免遗漏．
28．（萧山区模拟）如图，点A是直线y＝2x与反比例函数y＝（m为常数）的图象的交点．过点A作x轴的垂线，垂足为B，且OB＝2．
（1）求点A的坐标及m的值；
（2）已知点P（0，n）（0＜n≤8），过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝2x于点C（x1，y1），交反比例函数y＝（m为常数）的图象于点D（x2，y2），交垂线AB于点E（x3，y3），若x2＜x3＜x1，结合函数的图象，直接写出x1+x2+x3的取值范围．
【分析】（1）由点A在正比例函数y＝2x的图象上，可得点A的坐标为（2，4），再根据点A在反比例函数的图象上，即可得出m的值；
（2）依据x2＜x3＜x1，结合函数的图象，可知当n＞4时，x1+x2+x3的值随n的增大而增大，即可写出x1+x2+x3的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得，可知点A的横坐标是2，
由点A在正比例函数y＝2x的图象上，
∴点A的坐标为（2，4），
又∵点A在反比例函数的图象上，
∴，
即m＝9．
（2）∵过点P（0，n）作平行于x轴的直线，交直线y＝2x于点C（x1，y1），交反比例函数y＝（m为常数）的图象于点D（x2，y2），交垂线AB于点E（x3，y3），而x2＜x3＜x1，
∴4＜n≤8，
∵当n＝4时，x1+x2+x3＝2+2+2＝6；当n＝8时，x1+x2+x3＝4+1+2＝7，
∴6＜x1+x2+x3≤7．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解决问题的关键是运用反比例函数图象上点的坐标特征．
29．（丽水模拟）如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3，8，边BC落在x轴上，E是DC的中点，连接AE，反比例函数y＝的图象经过点E，与AB交于点F．
（1）求AE的长；
（2）若AF﹣AE＝2，求反比例函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，连接矩形ABCD两对边AD与BC的中点M，N，设线段MN与反比例函数图象交于点P，将线段MN沿x轴向右平移n个单位，若MP＜NP，直接写出n的取值范围．
【分析】（1）由DC的长结合反比例函数图象上点的坐标特征，可得出点E的坐标为（，4），在Rt△ADE中，利用勾股定理可求出AE的长；
（2）结合AF﹣AE＝2可得出AF的长，由BC＝3可得出点F的坐标为（﹣3，1），再利用反比例函数图象上点的坐标特征，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，进而可得出反比例函数的表达式；
（3）由（2）可得出点M，N的坐标，结合平移的性质可得出平移后点M，N的坐标，设设点P的坐标为（﹣+n，y），由点P在MN上且MP＜NP，可得出y的取值范围，利用反比例函数图象上点的坐标特征，可得出关于n的一元一次不等式组，解之即可得出n的取值范围．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点E，E是DC的中点，DC＝8，
∴点E的坐标为（，4）．
在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝4，∠ADE＝90°，
∴AE＝5．
（2）∵AF﹣AE＝2，
∴AF＝7，
∴BF＝AB﹣AF＝1，
∴点F的坐标为（﹣3，1）．
∵点F在反比例函数y＝的图象上，
∴﹣3＝m，
解得：m＝﹣4，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣．
（3）由（2）可知：点B的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（﹣1，0），
∴点M的坐标为（﹣，8），点N的坐标为（﹣，0），
∴平移后的点M的坐标为（﹣+n，8），平移后点N的坐标为（﹣+n，0）．
设点P的坐标为（﹣+n，y），
∵点P在MN上，且MP＜NP，
∴4＜y≤8．
∵点P在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴，
解得：＜n＜2．
【点评】本题考查了矩形的性质、待定系数法求一次函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及解一元一次不等式组，解题的关键是：（2）利用含m的代数式表示出点E，F的坐标；（3）利用平移的性质结合反比例函数图象上点的坐标特征，找出关于n的一元一次不等式组．
30．（饶平县校级模拟）如图1，平面直角坐标系xOy中，A（4，3），反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交矩形ABOC的两边AC，AB于E、F两点（E、F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A、D两点重合．
（1）AE＝ 4﹣ （用含有k的代数式表示）；
（2）如图2，当点D恰好落在矩形ABOC的对角线BC上时，求CE的长度；
（3）若折叠后，△ABD是等腰三角形，求此时点D的坐标．
【分析】（1）根据点A的坐标可得点E的纵坐标为3，所以得CE＝，从而得AE的长；
（2）如图2中，连接AD交EF于M，想办法证明△AEF∽△ACB，推出EF∥BC，再利用平行线的性质和等腰三角形的判定证明AE＝EC＝2即可；
（3）分三种情况讨论：①AD＝BD，②AD＝AB，③AB＝BD，分别计算DN和BN的长确定点D的坐标即可解答．
【解答】解：（1）∵四边形ABOC是矩形，且A（4，3），
∴AC＝4，OC＝3，
∵点E在反比例函数y＝上，
∴E（，3），
∴CE＝，
∴AE＝4﹣；
故答案为：4﹣；
（2）如图2，∵A（4，3），
∴AC＝4，AB＝3，
∴，
∴点F在y＝上，
∴F（4，），
∴＝，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△AEF∽△ACB，
∴∠AEF＝∠ACB，
∴EF∥BC，
∴∠FED＝∠CDE，
连接AD交EF于M点，
∴△AEF≌△DEF，
∴∠AEM＝∠DEM，AE＝DE，
∴∠FED＝∠CDE＝∠AEF＝∠ACB，
∴CE＝DE＝AE＝AC＝2；
（3）过D点作DN⊥AB，
①当BD＝AD时，如图3，有∠AND＝90°，AN＝BN＝AB＝，
∴∠DAN+∠ADN＝90°，
∵∠DAN+∠AFM＝90°，
∴∠ADN＝∠AFM，
∴tan∠ADN＝tan∠AFM＝，
∴，
∵AN＝，
∴DN＝，
∴D（4﹣，），即D（，）；
②当AB＝AD＝3时，如图4，
在Rt△ADN中，tan∠ADN＝tan∠AFM＝，
∴，
∴AN＝AD＝＝，
∴BN＝3﹣AN＝3﹣＝，
∵DN＝AN＝＝，
∴D（4﹣，），即D（，）；
③当AB＝BD时，△AEF≌△DEF，
∴DF＝AF，
∴DF+BF＝AF+BF，即DF+BF＝AB，
∴DF+BF＝BD，
此时D、F、B三点共线且F点与B点重合，不符合题意舍去，
∴AB≠BD，
综上所述，所求D点坐标为（，）或（，）．
【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，翻折的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．