2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题四概率与统计微中微概率与统计创新题型

这是一份2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题四概率与统计微中微概率与统计创新题型，共6页。
(1)求X1的分布列；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)求Xn的期望．
解：(1)由题可知，X1的可能取值为0，1，2，由相互独立事件概率乘法公式可知：P(X1＝0)＝eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(2,9)，
P(X1＝1)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(5,9)，
P(X1＝2)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,9)，
故X1的分布列如下表：
(2)由全概率公式可知：
P(Xn＋1＝1)＝P(Xn＝1)P(Xn＋1＝1|Xn＝1)＋P(Xn＝2)·P(Xn＋1＝1|Xn＝2)＋P(Xn＝0)P(Xn＋1＝1|Xn＝0)
＝(eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)×eq \f(2,3))P(Xn＝1)＋(eq \f(2,3)×1)P(Xn＝2)＋(1×eq \f(2,3))P(Xn＝0)
＝eq \f(5,9)P(Xn＝1)＋eq \f(2,3)P(Xn＝2)＋eq \f(2,3)P(Xn＝0)，
即an＋1＝eq \f(5,9)an＋eq \f(2,3)bn＋eq \f(2,3)(1－an－bn)，
所以an＋1＝－eq \f(1,9)an＋eq \f(2,3)，
所以an＋1－eq \f(3,5)＝－eq \f(1,9)(an－eq \f(3,5))，
又a1＝P(X1＝1)＝eq \f(5,9)，
所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an－\f(3,5)))是以a1－eq \f(3,5)为首项，以－eq \f(1,9)为公比的等比数列，
所以an－eq \f(3,5)＝－eq \f(2,45)×(－eq \f(1,9))n－1＝eq \f(2,5)×(－eq \f(1,9))n，
即an＝eq \f(3,5)＋eq \f(2,5)×(－eq \f(1,9))n.
(3)由全概率公式可得：
P(Xn＋1＝2)＝P(Xn＝1)P(Xn＋1＝2|Xn＝1)＋P(Xn＝2)·P(Xn＋1＝2|Xn＝2)＋P(Xn＝0)P(Xn＋1＝2|Xn＝0)＝(eq \f(2,3)×eq \f(1,3))P(Xn＝1)＋(eq \f(1,3)×1)P(Xn＝2)＋0×P(Xn＝0)，
即：bn＋1＝eq \f(2,9)an＋eq \f(1,3)bn，
又an＝eq \f(3,5)＋eq \f(2,5)×(－eq \f(1,9))n，
所以bn＋1＝eq \f(1,3)bn＋eq \f(2,9)×[eq \f(3,5)＋eq \f(2,5)×(－eq \f(1,9))n]，
所以bn＋1－eq \f(1,5)＋eq \f(1,5)×(－eq \f(1,9))n＋1＝eq \f(1,3)×[bn－eq \f(1,5)＋eq \f(1,5)×(－eq \f(1,9))n]，
又b1＝P(X1＝2)＝eq \f(2,9)，
所以b1－eq \f(1,5)＋eq \f(1,5)×(－eq \f(1,9))＝eq \f(2,9)－eq \f(1,5)－eq \f(1,45)＝0，
所以bn－eq \f(1,5)＋eq \f(1,5)×(－eq \f(1,9))n＝0，
所以bn＝eq \f(1,5)－eq \f(1,5)×(－eq \f(1,9))n，
所以E(Xn)＝an＋2bn＋0×(1－an－bn)＝an＋2bn＝1.
2．(2023·惠州一模)为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选一种，已知他第一天选择米饭套餐的概率为eq \f(2,3)，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为eq \f(1,4)，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为eq \f(1,2)，如此往复．
(1)求该同学第2天中午选择米饭套餐的概率；
(2)记该同学第n天选择米饭套餐的概率为Pn.
①证明：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(Pn－\f(2,5)))为等比数列；
②证明：当n≥2时，Pn≤eq \f(5,12).
(1)解：设A1＝“第1天选择米饭套餐”，A2＝“第2天选择米饭套餐”，
则eq \(A,\s\up6(－)) 1＝“第1天不选择米饭套餐”，
由题意可得，P(A1)＝eq \f(2,3)，P(eq \(A,\s\up6(－))1)＝eq \f(1,3)，P(A2|A1)＝eq \f(1,4)，P(A2|eq \(A,\s\up6(－))1)＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，
由全概率公式可得，P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(eq \(A,\s\up6(－))1)·P(A2|eq \(A,\s\up6(－))1)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,3).
(2)证明：①设An＝“第n天选择米饭套餐”，
则Pn＝P(An)，则P(eq \(A,\s\up6(－))n)＝1－Pn，
由题意，P(An＋1|An)＝eq \f(1,4)，P(An＋1|eq \(A,\s\up6(－))n)＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，
由全概率公式可得，
Pn＋1＝P(An＋1)＝P(An)P(An＋1|An)＋P(eq \(A,\s\up6(－))n)P(An＋1|eq \(A,\s\up6(－))n)＝eq \f(1,4)Pn＋eq \f(1,2)(1－Pn)＝－eq \f(1,4)Pn＋eq \f(1,2)，
因此Pn＋1－eq \f(2,5)＝－eq \f(1,4)(Pn－eq \f(2,5))，
因为P1－eq \f(2,5)＝eq \f(4,15)≠0，
所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(Pn－\f(2,5)))是以eq \f(4,15)为首项，－eq \f(1,4)为公比的等比数列．
②由①可得Pn＝eq \f(2,5)＋eq \f(4,15)(－eq \f(1,4))n－1，
当n为大于1的奇数时，Pn＝eq \f(2,5)＋eq \f(4,15)(eq \f(1,4))n－1≤eq \f(2,5)＋eq \f(4,15)(eq \f(1,4))2＝eq \f(5,12)；
当n为正偶数时，Pn＝eq \f(2,5)－eq \f(4,15)(eq \f(1,4))n－1