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高考数学专题五概率与统计 微专题32 随机变量及其分布课件PPT
展开这是一份高考数学专题五概率与统计 微专题32 随机变量及其分布课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了∴EX增大，所以X的分布列为，考点三正态分布，所以Y的分布列为等内容，欢迎下载使用。
离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，重点考查超几何分布、二项分布及正态分布，以解答题为主，中等难度.
典例1 (1)(多选)设0
A.P(ξ＝2)的值最大B.P(ξ＝0)>P(ξ＝1)C.E(ξ)随着p的增大而减小D.当p＝
∵0
则下列说法正确的是A.投资甲种股票收益的均值大B.投资乙种股票收益的均值大C.投资甲种股票的风险更高D.投资乙种股票的风险更高
投资甲种股票收益的均值E(X)＝－1×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1，方差D(X)＝(－1－1.1)2×0.1＋(0－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.6＝1.29，投资乙种股票收益的均值E(Y)＝0×0.2＋1×0.5＋2×0.3＝1.1，方差D(Y)＝(0－1.1)2×0.2＋(1－1.1)2×0.5＋(2－1.1)2×0.3＝0.49，所以E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，则投资甲乙两种股票收益的均值相等，投资甲种股票比投资乙种股票的风险高.
跟踪训练1 (2023·桂林模拟)设0＜a＜1.若随机变量X的分布列是
则当a在(0,1)内增大时，A.E(X)不变B.E(X)减小C.D(X)先增大后减小D.D(X)先减小后增大
∵0＜a＜1，∴D(X)先减小后增大.
典例2 (2023·泰安模拟)某公司为活跃气氛提升士气，年终以通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励.规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额.(1)若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元，求①员工所获得的奖励额为1 000元的概率；
考点二 超几何分布与二项分布
设员工所获得的奖励额为X，
②员工所获得的奖励额的分布列及均值；
X所有可能的取值为400,1 000，
(2)公司对奖励额的预算是人均1 000元，并规定袋中的4个阄只能由标有面值200元和800元的两种阄或标有面值400元和600元的两种阄组成.为了使员工得到的奖励总额尽可能符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请对袋中的4个阄的面值给出一个合适的设计，并说明理由.
根据公司预算，每位员工的平均奖励额为1 000元，所以先寻找均值为1 000元的可能方案，对于面值由800元和200元组成的情况，如果选择(200,200,200,800)的方案，因为1 000元是面值之和的最大值，所以均值不可能为1 000元；如果选择(800,800,800,200)的方案，因为1 000元是面值之和的最小值，所以均值不可能为1 000元；因此可能的方案是(800,800,200,200)，记为方案1.对于面值600元和400元的情况，
同理排除(600,600,600,400)和(400,400,400,600)的方案，所以可能的方案是(400,400,600,600)，记为方案2.对于方案1，设员工所获得的奖励额为X1，X1可取400,1 000,1 600，
对于方案2，设员工所获得的奖励额为X2，X2可取800,1 000,1 200，
由于两种方案的奖励额都符合预算要求，但方案2的方差比方案1小，为使每位员工所获得的奖励额均衡，应选择方案2.
跟踪训练2 (2023·广州模拟)某工厂车间有6台相同型号的机器，各台机器工作相互独立，工作时发生故障的概率都是 且一台机器的故障能由一个维修工处理.已知此厂共有甲、乙、丙3名维修工，现有两种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责2台机器；方案二：由甲、乙两人共同维护6台机器.(1)对于方案一，设X为甲维护的机器同一时刻发生故障的台数，求X的分布列与均值E(X)；
所以，随机变量X的分布列为
(2)在两种方案下，分别计算机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判断，哪种方案能使工厂的生产效率更高？
对于方案一，“机器发生故障时不能及时维修”等价于“甲、乙、丙三人中，至少有一人负责的2台机器同时发生故障”.
对于方案二，机器发生故障时不能及时维修的概率为
所以P2
(2)(2023·聊城模拟)某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格.现从全市随机抽取 100名高中生的身体素质指标值xi(i＝1,2,3，…，100),经计算 i＝7 200， ＝100×(722＋36).若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布N(μ，σ2)，则估计该市高中生身体素质的合格率为________.(用百分数作答，精确到0.1%)参考数据：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
所以μ的估计值为72，σ的估计值为6.设该市高中生的身体素质指标值为X，由P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5, 得P(72－12≤X≤72＋12)＝P(60≤X≤84)≈0.954 5，
跟踪训练3 (1)某校高二年级有1 000名学生，一次考试后数学成绩X～N(110,102)，若P(100≤X≤110)＝0.35，则估计高二年级的学生数学成绩在120分以上的人数为A.130 B.140 C.150 D.160
因为X～N(110，102)且P(100≤X≤110)＝0.35，所以P(110≤X≤120)＝P(100≤X≤110)＝0.35，则P(X>120)＝0.5－P(110≤X≤120)＝0.15，所以该校高二年级的学生数学成绩在120分以上的人数约为1 000×0.15＝150(人).
(2)某批待出口的水果罐头，每罐净重X(单位：g)服从正态分布N(184,2.52).随机抽取1罐，其净重在[179,186.5]之间的概率约为
由题意可知，μ＝184，σ＝2.5，可得179＝μ－2σ，186.5＝μ＋σ，净重在[179,186.5]之间的概率为P(179≤X≤186.5)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋σ)，
所以净重在[179,186.5]之间的概率约为P(179≤X≤186.5)＝0.818 6.
高考对此部分的考查较为稳定，以解答题为主.二项分布、超几何分布和正态分布是考查热点，要掌握求随机变量的分布列、均值和方差，可用定义法直接求解.如果能分析出所给的随机变量服从常用的分布(两点分布、二项分布等)，则直接利用公式求解.
1.设随机变量X，Y满足Y＝3X－1，X～ 则D(Y)等于A.4 B.5 C.6 D.7
2.第19届亚运会在杭州举办，为了弘扬奥林匹克精神，某市多所中小学开展了亚运会项目科普活动.为了调查学生对足球项目的了解情况，在该市中小学中随机抽取了10所学校，10所学校中了解足球项目的人数如图所示.若从这10所学校中随机选取2所学校进行足球项目的科普活动，记X为被选中的学校中了解足球项目的人数在30以上的学校所数，则下列判断错误的是
根据题意，X的可能取值为0,1,2，其中了解足球项目的人数在30以上的学校有4所，了解足球项目的人数在30以下的学校有6所，
3.已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响，经统计，甲、乙一个月内从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如表所示.
某日工作单位接到一项任务，需要甲在30分钟内到达，乙在40分钟内到达，用X表示甲、乙两人在要求时间内从家中到达单位的人数，用频率估计概率，则X的均值和方差分别是A.E(X)＝1.5，D(X)＝0.36B.E(X)＝1.4，D(X)＝0.36C.E(X)＝1.5，D(X)＝0.34D.E(X)＝1.4，D(X)＝0.34
设事件A表示甲在30分钟内到达，B表示乙在40分钟内到达，则P(A)＝0.5，P(B)＝0.9，A，B相互独立，
＝(1－0.5)×0.9＋0.5×(1－0.9)＝0.5，
P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.9＝0.45，∴E(X)＝0×0.05＋1×0.5＋2×0.45＝1.4，D(X)＝(0－1.4)2×0.05＋(1－1.4)2×0.5＋(2－1.4)2×0.45＝0.34.
4.随机变量X的分布列如表所示.则D(bX)的最大值为
E(X)＝a＋4b＋3a＝4(a＋b)＝2，D(X)＝(1－2)2a＋(3－2)2a＝2a，则D(bX)＝b2D(X)＝2ab2＝－2b3＋b2，令f(b)＝－2b3＋b2，则f′(b)＝－6b2＋2b＝－2b(3b－1)，
5.(多选)(2023·湛江模拟)廉江红橙是广东省廉江市特产、中国国家地理标志产品.设廉江地区某种植园成熟的红橙单果质量M(单位：g)服从正态分布N(165，σ2)，且P(M<162)＝0.15，P(165
6.(多选)(2023·黄石模拟)乒乓球，被称为中国的“国球”.某次比赛采用五局三胜制，当参赛者甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束.每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局胜出的概率为p(0≤p≤1)，实际比赛局数的均值记为f(p)，则下列说法正确的是A.三局就结束比赛的概率为p3＋(1－p)3B.f(p)的常数项为3
设实际比赛局数为X，则X的可能取值为3,4,5，所以P(X＝3)＝p3＋(1－p)3，
因此三局就结束比赛的概率为p3＋(1－p)3，故A正确；
＝6p4－12p3＋3p2＋3p＋3，由f(0)＝3知常数项为3，故B正确；
由f′(p)＝24p3－36p2＋6p＋3＝3(2p－1)(4p2－4p－1)，因为0≤p≤1，所以4p2－4p－1＝(2p－1)2－2<0，
7.已知随机变量ξ的分布列如表所示：
则当a逐渐增大时，E(ξ)－D(ξ)＝_____.
从而E(ξ)－D(ξ)＝2.
8.毕业在即，5位同学各自写了一封祝福信，并把写好的5封信一起放在心愿盒中，然后每人在心愿盒中各取一封，不放回.设X为恰好取到自己祝福信的人数，则E(X)＝_____.
由题意可知，X的可能取值为0,1,2,3,5，
9.(2023·济南模拟)为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平.某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到体质测试成绩如下表所示.
(2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列；
因为体质测试成绩不合格的学生有3名，所以X的可能取值为0,1,2,3.
(3)经统计，高中生体质测试成绩ξ近似服从正态分布N(μ，σ2)，用 s2的值分别作为μ，σ2的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间 的人数为Y，求Y的均值E(Y).附：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3.
所以μ＝56，σ＝13.因为P(30≤ξ≤82)＝P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，
故Y～B(100,0.954 5)，所以E(Y)＝100×0.954 5＝95.45.
10.(2023·广州模拟)某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数X的分布列和均值；
所以X的所有可能取值为0,1,2，则
(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数Y的分布列和均值；
若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数Y的所有可能取值为0,1,2，
(3)如果你是商场老板，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.
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