高考数学专题练 专题二 微专题15　三角函数的图象与性质（含答案）

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典例1 (1)(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移eq \f(π,3)个单位长度，得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))的图象，则f(x)等于( )
A．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(7π,12))) B．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,12)))
C．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(7π,12))) D．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,12)))
(2)(2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象由函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝eq \f(1,2)x－eq \f(1,2)的交点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
典例2 (1)(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上单调递增，直线x＝eq \f(π,6)和x＝eq \f(2π,3)为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,12)))等于( )
A．－eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
(2)(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝eq \f(1,2)与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝eq \f(π,6)，则f(π)＝________.
典例3 (1)(2023·天津模拟)将函数f(x)＝2sin xcs x－2cs2x＋1，x∈R的图象向左平移eq \f(3π,8)个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是( )
A．g(x)是最小正周期为2π的奇函数
B．g(x)是最小正周期为2π的偶函数
C．g(x)在(π，2π)上单调递减
D．g(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最小值为－eq \r(2)
(2)(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(00，cs θ>0，
又因为tan θ＝eq \f(sin θ,cs θ)＝eq \f(1,2)，
则cs θ＝2sin θ，
且cs2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，
解得sin θ＝eq \f(\r(5),5)或sin θ＝－eq \f(\r(5),5)(舍去)，
所以sin θ－cs θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－eq \f(\r(5),5).
跟踪训练1 (1)已知α∈(0，π)，且cs α＝－eq \f(15,17)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))·tan(π＋α)等于( )
A．－eq \f(15,17) B.eq \f(15,17) C．－eq \f(8,17) D.eq \f(8,17)
答案 D
解析 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))·tan(π＋α)＝cs α·tan α＝sin α，
因为α∈(0，π)，且cs α＝－eq \f(15,17)，
所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15,17)))2)＝eq \f(8,17).
即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))·tan(π＋α)＝eq \f(8,17).
(2)若sin θ＝eq \r(5)cs(2π－θ)，则tan 2θ等于( )
A．－eq \f(\r(5),3) B.eq \f(\r(5),3)
C．－eq \f(\r(5),2) D.eq \f(\r(5),2)
答案 C
解析 ∵sin θ＝eq \r(5)cs(2π－θ)，
∴sin θ＝eq \r(5)cs θ，得tan θ＝eq \r(5)，
∴tan 2θ＝eq \f(2tan θ,1－tan2θ)＝eq \f(2\r(5),1－\r(5)2)＝－eq \f(\r(5),2).
考点二 两角和与差的三角函数
典例2 (1)(2022·新高考全国Ⅱ)若sin(α＋β)＋cs(α＋β)＝2eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))sin β，则( )
A．tan(α－β)＝1
B．tan(α＋β)＝1
C．tan(α－β)＝－1
D．tan(α＋β)＝－1
答案 C
解析 由题意得sin αcs β＋cs αsin β＋cs αcs β－sin αsin β＝2eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)(cs α－sin α)sin β，整理得sin αcs β－cs αsin β＋cs αcs β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cs(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1.
(2)(2023·新高考全国Ⅰ)已知sin(α－β)＝eq \f(1,3)，cs αsin β＝eq \f(1,6)，则cs(2α＋2β)等于( )
A.eq \f(7,9) B.eq \f(1,9) C．－eq \f(1,9) D．－eq \f(7,9)
答案 B
解析 因为sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β＝eq \f(1,3)，
而cs αsin β＝eq \f(1,6)，
因此sin αcs β＝eq \f(1,2)，
则sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β＝eq \f(2,3)，
所以cs(2α＋2β)＝cs 2(α＋β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＝eq \f(1,9).
跟踪训练2 (1)(2023·景德镇模拟)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝－eq \f(\r(5),5)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)－α))等于( )
A．－eq \f(\r(10),10) B.eq \f(\r(10),10) C．－eq \f(3\r(10),10) D.eq \f(3\r(10),10)
答案 B
解析 因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
所以α＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，\f(4π,3)))，
因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝－eq \f(\r(5),5)sin eq \f(π,6)＝eq \f(1,2)，
与sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝eq \f(1,3)矛盾，
∴θ＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝－eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6))))＝－eq \f(2\r(2),3)，
∴cs θ＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)－\f(π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))cs eq \f(π,6)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))sin eq \f(π,6)＝－eq \f(2\r(2),3)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1－2\r(6),6).
12．(2023·福建联考)已知θ∈(0,2π)，角θ的终边上有点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－cs \f(4π,5)＋sin \f(4π,5)，cs \f(4π,5)＋sin \f(4π,5)))，则θ＝________.
答案 eq \f(39π,20)
解析 tan θ＝eq \f(cs \f(4π,5)＋sin \f(4π,5),－cs \f(4π,5)＋sin \f(4π,5))＝－eq \f(1＋tan \f(4π,5),1－tan \f(4π,5))＝－eq \f(tan \f(π,4)＋tan \f(4π,5),1－tan \f(π,4)·tan \f(4π,5))＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,5)＋\f(π,4)))
＝－tan eq \f(21π,20)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(21π,20)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(21π,20)))＝tan eq \f(19π,20)，
故θ＝eq \f(19π,20)＋kπ(k∈Z)，－cs eq \f(4π,5)＋sin eq \f(4π,5)>0，cs eq \f(4π,5)＋sin eq \f(4π,5)＝eq \r(2)sin eq \f(21π,20)