高考数学专题练 专题二 微专题20　极化恒等式、等和线、奔驰定理（含答案）

这是一份高考数学专题练 专题二 微专题20　极化恒等式、等和线、奔驰定理（含答案），共20页。

一、极化恒等式
极化恒等式：a·b＝eq \f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2]．
(1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的eq \f(1,4).
(2)若O是平行四边形PMQN对角线的交点，则：
①eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)(|eq \(PQ,\s\up6(→))|2－|eq \(NM,\s\up6(→))|2)(平行四边形模式)；
②eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝|eq \(PO,\s\up6(→))|2－eq \f(1,4)|eq \(NM,\s\up6(→))|2(三角形模式)．
典例1 (1)(2023·洛阳模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(FG,\s\up6(→))＋eq \(GH,\s\up6(→))·eq \(HE,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(3,2) B．－eq \f(3,2) C.eq \f(3,4) D．－eq \f(3,4)
(2)(2023·葫芦岛模拟)如图，在四边形ABCD中，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))))＝4，eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝12，E为AC的中点.eq \(BE,\s\up6(→))＝2eq \(ED,\s\up6(→))，则eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))的值为( )
A．0 B．12 C．2 D．6
二、等和(高)线定理
等和(高)线定理
(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若eq \(OP,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1，由△OAB与△OA′B′相似，必存在一个常数k，k∈R，使得eq \(OP′,\s\up6(—→))＝keq \(OP,\s\up6(→))，则eq \(OP′,\s\up6(—→))＝keq \(OP,\s\up6(→))＝kλeq \(OA,\s\up6(→))＋kμeq \(OB,\s\up6(→))，又eq \(OP′,\s\up6(—→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，∴x＋y＝kλ＋kμ＝k；反之也成立．
(2)平面内一组基底eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))及任一向量eq \(OP,\s\up6(→))′，eq \(OP′,\s\up6(—→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，
若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线．
①当等和线恰为直线AB时，k＝1；
②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；
③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；
④当等和线过O点时，k＝0；
⑤若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；
⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比．
典例2 (1)(2023·泉州模拟)在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设eq \(AP,\s\up6(→))＝αeq \(AB,\s\up6(→))＋βeq \(AF,\s\up6(→))(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．
(2)在扇形OAB中，∠AOB＝60°，C为eq \x\t(AB)上的一个动点，若eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，则3x＋y的取值范围是________．
三、奔驰定理
定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·eq \(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq \(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq \(PC,\s\up6(→))＝0.
典例3 (1) (2023·宜春模拟)设O为△ABC内部的一点，且eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))＝0，则△AOC的面积与△BOC的面积之比为( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(5,3) C．2 D．3
(2)若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3eq \(AM,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝0，则△ABM与△ABC的面积之比为( )
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶4 D．2∶5
[总结提升]
1．极化恒等式的适用范围
(1)共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化．
(2)不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题．
2．等和(高)线定理的适用范围
主要解决平面向量系数和与差的问题．
3．奔驰定理的使用范围
对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系．但如果向量关系符合奔驰定理的形式，在选择或填空题当中可以迅速地得出正确答案．
1．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))等于( )
A．32 B．－32 C．16 D．－16
2．(2023·昆明模拟)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．如图甲是一个正八边形窗花隔断，图乙是从窗花图中抽象出的几何图形示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为2eq \r(2)，M是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))的最大值为( )
A．30＋4eq \r(2) B．28＋8eq \r(2)
C．26＋16eq \r(2) D．24＋16eq \r(2)
3.如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，向量eq \(AO,\s\up6(→))＝λa＋μb，则λ＋μ的值为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C．1 D.eq \f(4,3)
4．设O为△ABC所在平面内一点，满足2eq \(OA,\s\up6(→))－7eq \(OB,\s\up6(→))－3eq \(OC,\s\up6(→))＝0，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为( )
A．6 B.eq \f(8,3) C.eq \f(12,7) D．4
5．(2023·南昌模拟)已知O是△ABC内一点，且eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0，点M在△OBC内(不含边界)，若eq \(AM,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则λ＋2μ的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,2))) B．(1,2)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
6.如图，已知O是△ABC的垂心，且eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))＝0，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别记为S1，S2，S3，则tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB等于( )
A．1∶2∶3 B．1∶2∶4
C．2∶3∶4 D．2∶3∶6
7．(多选)如图，P为△ABC内任意一点，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则总有优美等式S△PBC·eq \(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq \(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq \(PC,\s\up6(→))＝0成立，此结论称为三角形中的奔驰定理．由此判断以下命题中，正确的有( )
A．若P是△ABC的重心，则有eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0
B．若a·eq \(PA,\s\up6(→))＋b·eq \(PB,\s\up6(→))＋c·eq \(PC,\s\up6(→))＝0，则P是△ABC的内心
C．若eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,5)eq \(AC,\s\up6(→))，则S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝2∶2∶1
D．若P是△ABC的外心，且A＝eq \f(π,4)，则eq \(PA,\s\up6(→))＋sin∠APC·eq \(PB,\s\up6(→))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－∠APC))·eq \(PC,\s\up6(→))＝0
8．(2023·长沙模拟)在△ABC中，D是BC边上的中点，且eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝2eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝6，eq \(FB,\s\up6(→))·eq \(FC,\s\up6(→))＝－2，则eq \(EB,\s\up6(→))·eq \(EC,\s\up6(→))＝________.
9．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq \f(1,2)AB，BE＝eq \f(2,3)BC.若eq \(DE,\s\up6(→))＝λ1eq \(AB,\s\up6(→))＋λ2eq \(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________.
10．(2023·聊城模拟)在正△ABC中，E，F是线段AB，AC的中点，点P在直线EF上，若△ABC的面积为2，则eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))2的最小值为________．
微专题20 极化恒等式、等和线、奔驰定理
[考情分析] 利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．等和线可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；用向量共线定理求解则更加简洁．奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．在平面向量中有时运用这些内容可能起到意想不到的作用，技巧性较强．一般难度较大．
考点一 极化恒等式
极化恒等式：a·b＝eq \f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2]．
(1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的eq \f(1,4).
(2)若O是平行四边形PMQN对角线的交点，则：
①eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)(|eq \(PQ,\s\up6(→))|2－|eq \(NM,\s\up6(→))|2)(平行四边形模式)；
②eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝|eq \(PO,\s\up6(→))|2－eq \f(1,4)|eq \(NM,\s\up6(→))|2(三角形模式)．
典例1 (1)(2023·洛阳模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(FG,\s\up6(→))＋eq \(GH,\s\up6(→))·eq \(HE,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(3,2) B．－eq \f(3,2) C.eq \f(3,4) D．－eq \f(3,4)
答案 A
解析 取HF的中点O，则eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(FG,\s\up6(→))＝eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(EH,\s\up6(→))＝eq \(EO,\s\up6(→))2－eq \(OH,\s\up6(→))2＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＝eq \f(3,4)， eq \(GH,\s\up6(→))·eq \(HE,\s\up6(→))＝eq \(GH,\s\up6(→))·eq \(GF,\s\up6(→))＝
eq \(GO,\s\up6(→))2－eq \(OH,\s\up6(→))2＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＝eq \f(3,4)，
因此eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(FG,\s\up6(→))＋eq \(GH,\s\up6(→))·eq \(HE,\s\up6(→))＝eq \f(3,2).
(2)(2023·葫芦岛模拟)如图，在四边形ABCD中，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))))＝4，eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝12，E为AC的中点.eq \(BE,\s\up6(→))＝2eq \(ED,\s\up6(→))，则eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))的值为( )
A．0 B．12 C．2 D．6
答案 A
解析 ∵eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))))＝4，E为AC的中点，
∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AE,\s\up6(→))))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(CE,\s\up6(→))))＝2，
根据极化恒等式可得eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BE,\s\up6(→))))2－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(EA,\s\up6(→))))2＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BE,\s\up6(→))))2－4＝12，
∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BE,\s\up6(→))))＝4，
∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(DE,\s\up6(→))))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BE,\s\up6(→))))＝2，
∴eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(DE,\s\up6(→))))2－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(EA,\s\up6(→))))2＝4－4＝0.
跟踪训练1 (1)(2023·南京模拟)如图，已知M，N是△ABC边BC上的两个三等分点，若BC＝6，eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))＝4，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝________.
答案 －4
解析 取MN的中点E，由向量数量积的极化恒等式，得eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))2－eq \f(1,4)eq \(MN,\s\up6(→))2＝eq \(AE,\s\up6(→))2－eq \f(1,4)×4＝eq \(AE,\s\up6(→))2－1＝4，
∴eq \(AE,\s\up6(→))2＝5，∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))2－eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up6(→))2＝5－eq \f(1,4)×36＝－4.
(2)在△ABC中，AC＝2BC＝6，∠ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且MN＝2，若eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(CN,\s\up6(→))的最小值为3，则cs∠ACB＝________.
答案 eq \f(2－2\r(10),9)
解析 取线段MN的中点P，连接CP，过C作CO⊥AB于O，如图，PM＝eq \f(1,2)MN＝1，
由向量数量积的极化恒等式，得eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(CN,\s\up6(→))＝eq \(CP,\s\up6(→))2－eq \(PM,\s\up6(→))2＝eq \(CP,\s\up6(→))2－1，
因为eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(CN,\s\up6(→))的最小值为3，则|eq \(CP,\s\up6(→))|的最小值为2，因此CO＝2，
在Rt△AOC中，cs∠OCA＝eq \f(CO,CA)＝eq \f(1,3)，
所以sin∠OCA＝eq \f(2\r(2),3)，
在Rt△BOC中，cs∠OCB＝eq \f(CO,CB)＝eq \f(2,3)，
所以sin∠OCB＝eq \f(\r(5),3)，
所以cs∠ACB＝cs(∠OCA＋∠OCB)
＝cs∠OCAcs∠OCB－sin∠OCAsin∠OCB
＝eq \f(1,3)×eq \f(2,3)－eq \f(2\r(2),3)×eq \f(\r(5),3)
＝eq \f(2－2\r(10),9).
考点二 等和(高)线定理
等和(高)线定理
(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若eq \(OP,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1，由△OAB与△OA′B′相似，必存在一个常数k，k∈R，使得eq \(OP,\s\up6(——→))′＝keq \(OP,\s\up6(→))，则eq \(OP,\s\up6(——→))′＝keq \(OP,\s\up6(→))＝kλeq \(OA,\s\up6(→))＋kμeq \(OB,\s\up6(→))，又eq \(OP,\s\up6(——→))′＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，∴x＋y＝kλ＋kμ＝k；反之也成立．
(2)平面内一组基底eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))及任一向量eq \(OP,\s\up6(——→))′，eq \(OP,\s\up6(——→))′＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，
若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线．
①当等和线恰为直线AB时，k＝1；
②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；
③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；
④当等和线过O点时，k＝0；
⑤若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；
⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比．
典例2 (1)(2023·泉州模拟)在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设eq \(AP,\s\up6(→))＝αeq \(AB,\s\up6(→))＋βeq \(AF,\s\up6(→))(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．
答案 [3,4]
解析 如图，直线BF为k＝1的等和线，当P在△CDE内时，直线EC是最近的等和线，过D点的等和线是最远的，
所以α＋β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(AN,AM)，\f(AD,AM)))＝[3,4]．
(2)在扇形OAB中，∠AOB＝60°，C为上的一个动点，若eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，则3x＋y的取值范围是________．
答案 [1,3]
解析 取点D使得eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＝3xeq \(OD,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，作一系列与BD平行的直线与圆弧相交(图略)，当点C与点B重合时，3x＋y取得最小值1，当点C与点A重合时，3x＋y取得最大值3，故3x＋y的取值范围是[1,3]．
跟踪训练2 (1)如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且AD＝1，点P是△BCD(含边界)内的动点，设eq \(OP,\s\up6(→))＝λeq \(OC,\s\up6(→))＋μeq \(OD,\s\up6(→))，则λ＋μ的最大值为________．
答案 eq \f(3,2)
解析 当点P位于B点时，λ＋μ取得最大值，过点B作GH∥DC，分别交OC，OD的延长线于G，H，
则eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OG,\s\up6(→))＋yeq \(OH,\s\up6(→))，且x＋y＝1，
∵△GCB∽△COD，∴eq \f(GC,CO)＝eq \f(CB,OD)＝eq \f(1,2)，
∴eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＝xeq \(OG,\s\up6(→))＋yeq \(OH,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)xeq \(OC,\s\up6(→))＋eq \f(3,2)yeq \(OD,\s\up6(→))＝λeq \(OC,\s\up6(→))＋μeq \(OD,\s\up6(→))，
∴λ＝eq \f(3,2)x，μ＝eq \f(3,2)y⇒λ＋μ＝eq \f(3,2)x＋eq \f(3,2)y＝eq \f(3,2).
(2)已知点C为扇形AOB的上任意一点，且∠AOB＝eq \f(2π,3)，若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )
A．[－2,2] B．(1，eq \r(2)]
C．[1，eq \r(2)] D．[1,2]
答案 D
解析 方法一(等和线定理)
设λ＋μ＝k，
当C位于A或B时，A，B，C三点共线，
所以k＝λ＋μ＝1；
当C运动到的中点时，k＝λ＋μ＝2，
∴λ＋μ∈[1,2]．
方法二 (常规方法)
设半径为1，由已知可设OB为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系(图略)，
其中Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，B(1,0)，C(cs θ，sin θ)，∠BOC＝θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤θ≤\f(2π,3)))，
有eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，
即(cs θ，sin θ)＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))＋μ(1,0)，
整理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)λ＋μ＝cs θ，,\f(\r(3),2)λ＝sin θ，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(2sin θ,\r(3))，,μ＝cs θ＋\f(sin θ,\r(3))，))
则λ＋μ＝eq \f(2sin θ,\r(3))＋cs θ＋eq \f(sin θ,\r(3))＝eq \r(3)sin θ＋cs θ＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))，θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))，
易得λ＋μ∈[1,2]．
考点三 奔驰定理
定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·eq \(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq \(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq \(PC,\s\up6(→))＝0.
典例3 (1) (2023·宜春模拟)设O为△ABC内部的一点，且eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))＝0，则△AOC的面积与△BOC的面积之比为( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(5,3) C．2 D．3
答案 C
解析 方法一
根据奔驰定理可知S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶3.
方法二 延长OB至B′，使OB′＝2OB，
延长OC至C′，使OC′＝3OC，则eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB′,\s\up6(——→))＋eq \(OC′,\s\up6(——→))＝0，
∴O是△AB′C′的重心，∴S△AOC′＝S△B′OC′，
∵S△AOC＝eq \f(1,3)S△AOC′，S△BOC＝eq \f(1,6)S△B′OC′，
∴S△AOC∶S△BOC＝2∶1.
(2)若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3eq \(AM,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝0，则△ABM与△ABC的面积之比为( )
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶4 D．2∶5
答案 B
解析 方法一 将3eq \(AM,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝0变形可得eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝0，
根据奔驰定理可知S△BCM∶S△ACM∶S△ABM＝1∶1∶1，
则S△ABM∶S△ABC＝1∶3.
方法二 如图，D为BC边的中点，则eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，
因为3eq \(AM,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝0，
所以3eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AD,\s\up6(→))，所以eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))，
所以S△ABM＝eq \f(2,3)S△ABD＝eq \f(1,3)S△ABC.
跟踪训练3 (1)(2023·武汉模拟)点O是△ABC内一点，且满足3eq \(OA,\s\up6(→))＋4eq \(OB,\s\up6(→))＋5eq \(OC,\s\up6(→))＝0，则eq \f(S△AOB,S△ABC)的值为( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,7) C.eq \f(5,12) D.eq \f(1,3)
答案 C
解析 方法一 根据奔驰定理及3eq \(OA,\s\up6(→))＋4eq \(OB,\s\up6(→))＋5eq \(OC,\s\up6(→))＝0可知，S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝3∶4∶5，
所以eq \f(S△AOB,S△ABC)＝eq \f(5,3＋4＋5)＝eq \f(5,12).
方法二 由3eq \(OA,\s\up6(→))＋4eq \(OB,\s\up6(→))＋5eq \(OC,\s\up6(→))＝0，得eq \f(3,7)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(4,7)eq \(OB,\s\up6(→))＝－eq \f(5,7)eq \(OC,\s\up6(→))，
设－eq \f(5,7)eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))，即eq \f(3,7)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(4,7)eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))，
可知A，B，D三点共线，且eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))反向共线，如图所示，
故eq \f(|\(OD,\s\up6(→))|,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(OC,\s\up6(→)))))＝eq \f(5,7)，eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(OD,\s\up6(→)))),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(CD,\s\up6(→)))))＝eq \f(5,12)，eq \f(S△AOB,S△ABC)＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(OD,\s\up6(→)))),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(CD,\s\up6(→)))))＝eq \f(5,12).
(2)(2023·济南模拟)已知点A，B，C，P在同一平面内，eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(PA,\s\up6(→))，eq \(QR,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(QB,\s\up6(→))，eq \(RP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(RC,\s\up6(→))，则S△ABC∶S△PBC等于( )
A．14∶3 B．19∶4
C．24∶5 D．29∶6
答案 B
解析 由eq \(QR,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(QB,\s\up6(→))可得eq \(PR,\s\up6(→))－eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PQ,\s\up6(→)))，
整理可得eq \(PR,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \f(2,9)eq \(PA,\s\up6(→))，
由eq \(RP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(RC,\s\up6(→))可得eq \(RP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(PC,\s\up6(→))－eq \(PR,\s\up6(→)))，整理可得eq \(PR,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(PC,\s\up6(→))，
所以－eq \f(1,2)eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \f(2,9)eq \(PA,\s\up6(→))，整理得4eq \(PA,\s\up6(→))＋6eq \(PB,\s\up6(→))＋9eq \(PC,\s\up6(→))＝0，
由奔驰定理可得S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4.
[总结提升]
1．极化恒等式的适用范围
(1)共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化．
(2)不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题．
2．等和(高)线定理的适用范围
主要解决平面向量系数和与差的问题．
3．奔驰定理的使用范围
对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系．但如果向量关系符合奔驰定理的形式，在选择或填空题当中可以迅速地得出正确答案．
1．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))等于( )
A．32 B．－32 C．16 D．－16
答案 D
解析 由题设，|eq \(AM,\s\up6(→))|＝3，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝10，
由极化恒等式可得，
eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)×(4|eq \(AM,\s\up6(→))|2－|eq \(BC,\s\up6(→))|2)＝eq \f(1,4)×(36－100)＝－16.
2．(2023·昆明模拟)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．如图甲是一个正八边形窗花隔断，图乙是从窗花图中抽象出的几何图形示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为2eq \r(2)，M是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))的最大值为( )
A．30＋4eq \r(2) B．28＋8eq \r(2)
C．26＋16eq \r(2) D．24＋16eq \r(2)
答案 D
解析 如图，取AB的中点O，连接MO，BE，OE，
分别过点C，D作BE的垂线，垂足分别为I，J，
由极化恒等式可得eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝eq \(MO,\s\up6(→))2－eq \(OA,\s\up6(→))2＝eq \(MO,\s\up6(→))2－2，
当点M与点F或点E重合时，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(MO,\s\up6(→))))取得最大值，
易得四边形CDJI为矩形，△BCI，△DEJ为等腰直角三角形，则IJ＝2eq \r(2)，
BI＝EJ＝2，则BE＝4＋2eq \r(2)，BO＝eq \r(2)，
eq \(MO,\s\up6(→))2的最大值为BO2＋BE2＝(eq \r(2))2＋(4＋2eq \r(2))2＝26＋16eq \r(2)，
所以eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))的最大值为24＋16eq \r(2).
3.如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，向量eq \(AO,\s\up6(→))＝λa＋μb，则λ＋μ的值为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C．1 D.eq \f(4,3)
答案 B
解析 如图，BC是值为1的等和线，过O作BC的平行线，
设λ＋μ＝k，则k＝eq \f(|\(AO,\s\up6(→))|,|\(AM,\s\up6(→))|).
由题设知O为△ABC的重心，eq \f(|\(AO,\s\up6(→))|,|\(AM,\s\up6(→))|)＝eq \f(2,3).
4．设O为△ABC所在平面内一点，满足2eq \(OA,\s\up6(→))－7eq \(OB,\s\up6(→))－3eq \(OC,\s\up6(→))＝0，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为( )
A．6 B.eq \f(8,3) C.eq \f(12,7) D．4
答案 D
解析 方法一 根据奔驰定理的推论可得eq \f(S△BOC,S△ABC)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2,2－7－3)))＝eq \f(1,4).
方法二 不妨设eq \(OA1,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB1,\s\up6(→))＝－7eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC1,\s\up6(→))＝－3eq \(OC,\s\up6(→))，如图所示，
根据题意得eq \(OA1,\s\up6(→))＋eq \(OB1,\s\up6(→))＋eq \(OC1,\s\up6(→))＝0，
即点O是△A1B1C1的重心，所以＝＝＝k，
又因为＝eq \f(OB·OC,OB1·OC1)＝eq \f(1,21)，＝eq \f(OA·OB,OA1·OB1)＝eq \f(1,14)，＝eq \f(OA·OC,OA1·OC1)＝eq \f(1,6)，
那么S△OBC＝eq \f(1,21)k，S△OAB＝eq \f(1,14)k，S△OAC＝eq \f(1,6)k，
S△ABC＝S△OAB＋S△OAC－S△OBC＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,14)＋\f(1,6)－\f(1,21)))k＝eq \f(4,21)k，
故△ABC的面积与△BOC的面积的比值为eq \f(\f(4,21)k,\f(1,21)k)＝4.
5．(2023·南昌模拟)已知O是△ABC内一点，且eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0，点M在△OBC内(不含边界)，若eq \(AM,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则λ＋2μ的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,2))) B．(1,2)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
答案 B
解析 因为O是△ABC内一点，且eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0，
所以O为△ABC的重心，
M在△OBC内(不含边界)，且当点M与O重合时，λ＋2μ最小，此时eq \(AM,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\(AC,\s\up6(→))))))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→)) ，
所以λ＝eq \f(1,3)，μ＝eq \f(1,3)，即λ＋2μ＝1；
当点M与C重合时，λ＋2μ最大，此时
eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))，
所以λ＝0，μ＝1，即λ＋2μ＝2.
因为M在△OBC内且不含边界，
所以取开区间，即λ＋2μ∈(1,2)．
6.如图，已知O是△ABC的垂心，且eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))＝0，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别记为S1，S2，S3，则tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB等于( )
A．1∶2∶3 B．1∶2∶4
C．2∶3∶4 D．2∶3∶6
答案 A
解析 O是△ABC的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图，
则CP⊥AB，BM⊥AC，AN⊥BC，∠BOP＝∠BAC，∠AOP＝∠ABC，
因此eq \f(S1,S2)＝eq \f(BP,AP)＝eq \f(OPtan∠BOP,OPtan∠AOP)＝eq \f(tan∠BAC,tan∠ABC)，
同理eq \f(S1,S3)＝eq \f(tan∠BAC,tan∠ACB)，
于是得tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB＝S1∶S2∶S3，
又eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))＝0，
即eq \(OC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))，
由“奔驰定理”有S1·eq \(OA,\s\up6(→))＋S2·eq \(OB,\s\up6(→))＋S3·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，
则eq \(OC,\s\up6(→))＝－eq \f(S1,S3)·eq \(OA,\s\up6(→))－eq \f(S2,S3)·eq \(OB,\s\up6(→))，
而eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))不共线，有eq \f(S1,S3)＝eq \f(1,3)，eq \f(S2,S3)＝eq \f(2,3)，
即S1∶S2∶S3＝1∶2∶3，
所以tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB＝1∶2∶3.
7．(多选)如图，P为△ABC内任意一点，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则总有优美等式S△PBC·eq \(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq \(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq \(PC,\s\up6(→))＝0成立，此结论称为三角形中的奔驰定理．由此判断以下命题中，正确的有( )
A．若P是△ABC的重心，则有eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0
B．若a·eq \(PA,\s\up6(→))＋b·eq \(PB,\s\up6(→))＋c·eq \(PC,\s\up6(→))＝0，则P是△ABC的内心
C．若eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,5)eq \(AC,\s\up6(→))，则S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝2∶2∶1
D．若P是△ABC的外心，且A＝eq \f(π,4)，则eq \(PA,\s\up6(→))＋sin∠APC·eq \(PB,\s\up6(→))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－∠APC))·eq \(PC,\s\up6(→))＝0
答案 ABD
解析 对于A，若P是△ABC的重心，则S△PBC＝S△PAC＝S△PAB，
代入S△PBC·eq \(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq \(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq \(PC,\s\up6(→))＝0，得eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0，正确；
对于B，设点P到边BC，AC，AB的距离分别为h1，h2，h3，
由S△PBC·eq \(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq \(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq \(PC,\s\up6(→))＝0得，eq \f(1,2)ah1·eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)bh2·eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)ch3·eq \(PC,\s\up6(→))＝0，
即ah1·eq \(PA,\s\up6(→))＋bh2·eq \(PB,\s\up6(→))＋ch3·eq \(PC,\s\up6(→))＝0，
与已知条件a·eq \(PA,\s\up6(→))＋b·eq \(PB,\s\up6(→))＋c·eq \(PC,\s\up6(→))＝0比较知，h1＝h2＝h3，
则P是△ABC的内心，正确；
对于C，eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,5)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)(eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→)))＋eq \f(2,5)(eq \(PC,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→)))，即2eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋2eq \(PC,\s\up6(→))＝0，
与S△PBC·eq \(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq \(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq \(PC,\s\up6(→))＝0比较得到，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝2∶1∶2，错误；
对于D，P是△ABC的外心，且∠A＝eq \f(π,4)，则∠BPC＝eq \f(π,2)，设三角形外接圆半径为R，
所以S△PBC＝eq \f(1,2)R2，S△PAC＝eq \f(1,2)R2sin∠APC，S△PAB＝eq \f(1,2)R2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－∠APC))，
代入奔驰定理即可得到eq \(PA,\s\up6(→))＋sin∠APC·eq \(PB,\s\up6(→))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－∠APC))·eq \(PC,\s\up6(→))＝0，正确．
8．(2023·长沙模拟)在△ABC中，D是BC边上的中点，且eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝2eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝6，eq \(FB,\s\up6(→))·eq \(FC,\s\up6(→))＝－2，则eq \(EB,\s\up6(→))·eq \(EC,\s\up6(→))＝________.
答案 1
解析 eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→)))·(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(DB,\s\up6(→)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))))2－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(DB,\s\up6(→))))2＝6，
同理可得eq \(FB,\s\up6(→))·eq \(FC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(FD,\s\up6(→))))2－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(DB,\s\up6(→))))2＝－2，
又eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝2eq \(AE,\s\up6(→))，
所以|eq \(AD,\s\up6(→))|2＝9eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(FD,\s\up6(→))))2，
所以|eq \(FD,\s\up6(→))|2＝1，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(DB,\s\up6(→))))2＝3，
eq \(EB,\s\up6(→))·eq \(EC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(ED,\s\up6(→))))2－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(DB,\s\up6(→))))2＝4eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(FD,\s\up6(→))))2－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(DB,\s\up6(→))))2＝4×1－3＝1.
9．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq \f(1,2)AB，BE＝eq \f(2,3)BC.若eq \(DE,\s\up6(→))＝λ1eq \(AB,\s\up6(→))＋λ2eq \(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________.
答案 eq \f(1,2)
解析 方法一 (常规方法)由题意作图如图．
∵在△ABC中，eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝－eq \f(1,6)Aeq \(B,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝λ1eq \(AB,\s\up6(→))＋λ2eq \(AC,\s\up6(→))，
∴λ1＝－eq \f(1,6)，λ2＝eq \f(2,3).
故λ1＋λ2＝eq \f(1,2).
方法二 (等和线定理)如图，过点A作eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(DE,\s\up6(→))，连接DF.
设AF与BC的延长线交于点H，易知AF＝FH，
∴AF＝eq \f(1,2)AH，因此λ1＋λ2＝eq \f(1,2).
10．(2023·聊城模拟)在正△ABC中，E，F是线段AB，AC的中点，点P在直线EF上，若△ABC的面积为2，则eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))2的最小值为________．
答案 eq \f(5\r(3),2)
解析 取BC的中点D，由正△ABC的面积为2，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)·BC2·sin eq \f(π,3)＝2⇒BC2＝eq \f(8\r(3),3)，
△ABC的高为h＝BC·sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2)BC，
数形结合得，PD的最小值为△PBC的高，即PD≥eq \f(1,2)h＝eq \f(\r(3),4)BC，
所以eq \(PD,\s\up6(→))2≥eq \f(3,16)eq \(BC,\s\up6(→))2，所以eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(PD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(BC,\s\up6(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(PD,\s\up6(→))－\f(1,2)\(BC,\s\up6(→))))＋eq \(BC,\s\up6(→))2＝
eq \(PD,\s\up6(→))2－eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up6(→))2＋eq \(BC,\s\up6(→))2＝eq \(PD,\s\up6(→))2＋eq \f(3,4)eq \(BC,\s\up6(→))2≥eq \f(3,16)eq \(BC,\s\up6(→))2＋eq \f(3,4)eq \(BC,\s\up6(→))2＝eq \f(15,16)×eq \f(8\r(3),3)＝eq \f(5\r(3),2)