高考数学专题练 专题二 微专题19　平面向量的数量积及最值与范围问题（含答案）

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典例1 (1)设平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为eq \f(π,3)，(a－c)·(b－c)＝0，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(c))的最小值为( )
A.eq \r(3) B.eq \r(3)＋1 C.eq \r(3)－1 D．1
(2)已知向量a，b满足eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b))＝3，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))，设a－b与a＋b的夹角为θ，则cs θ的最小值为( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(3,5) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,5)
典例2 (1)(2023·全国乙卷)已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|＝eq \r(2)，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))的最大值为( )
A.eq \f(1＋\r(2),2) B.eq \f(1＋2\r(2),2) C．1＋eq \r(2) D．2＋eq \r(2)
(2)(2022·北京)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的取值范围是( )
A．[－5,3] B．[－3,5]
C．[－6,4] D．[－4,6]
典例3 (1)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))，则λ＋μ的最大值为( )
A．3 B．2eq \r(2) C.eq \r(5) D．2
(2)在平面四边形ABCD中，已知△ABC的面积是△ACD的面积的2倍．若存在正实数x，y使得eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－4))eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,y)))eq \(AD,\s\up6(→))成立，则2x＋y的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[总结提升]
平面向量最值、范围问题的常用方法
(1)定义法
第1步：利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系；
第2步：运用基本不等式求其最值问题；
第3步：得出结论．
(2)坐标法
第1步：根据题意建立适当的直角坐标系，并推导关键点的坐标；
第2步：将平面向量的运算坐标化；
第3步：运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数思想等求解．
(3)基底法
第1步：利用基底转化向量；
第2步：根据向量运算化简目标；
第3步：运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数等得出结论．
(4)几何意义法
第1步：结合条件进行向量关系推导；
第2步：利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹；
第3步：结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围．
1．(2023·洛阳模拟)已知单位圆圆O是△ABC的外接圆，若A＝eq \f(π,4)，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))的最大值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C．1 D.eq \r(2)
2．在△ABC中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若eq \(AN,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2)))
C．[0,1] D．[1,2]
3．(2023·天津模拟)如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且AB＝2，MC＝MD＝CD＝1.若点N在线段CD(端点除外)上运动，则eq \(NA,\s\up6(→))·eq \(NB,\s\up6(→))的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，0))
4.如图所示，在△ABC中，∠BAC＝eq \f(π,3)，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)eq \(AB,\s\up6(→))，P为线段CD上一点，且满足eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(3,7)eq \(AB,\s\up6(→))，若△ABC的面积为2eq \r(3)，则|eq \(AP,\s\up6(→))|的最小值为( )
A.eq \f(144,49) B.eq \f(12,7) C.eq \f(2\r(3),3) D.eq \r(3)
5．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，若对任意模为2的向量c，均有|a·c|＋|b·c|≤2eq \r(7)，则向量a，b的夹角的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，π))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))
6．(多选)(2023·武汉模拟)已知a，b为平面向量，其中b为单位向量，若非零向量a与b满足a·(a－4b)＝－3，则下列结论成立的是( )
A．(a－b)⊥(a－3b)
B．a与b的夹角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))
C．|a|的最小值为2
D．|a－b|的最大值为2
7．(多选)(2023·南通模拟)重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱．古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”．荣昌折扇平面图为图中的扇形COD，其中∠COD＝eq \f(2π,3)，OC＝3OA＝3，动点P在上(含端点)，连接OP交扇形OAB的于点Q，且eq \(OQ,\s\up6(→))＝xeq \(OC,\s\up6(→))＋yeq \(OD,\s\up6(→))，则下列说法正确的是( )
A．若y＝x，则x＋y＝eq \f(2,3)
B．若y＝2x，则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP,\s\up6(→))＝0
C.eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(PQ,\s\up6(→))≥－2
D.eq \f(11,2)≤eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))≤7
8．(2023·泰安模拟)如图，在等边△ABC中，AB＝2，点N为边AC的中点，点M是边CB(包括端点)上的一个动点，则eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(NM,\s\up6(→))的最大值为________．
9．(2023·滁州模拟)已知平面向量a，b满足eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝1，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2a－b))＝2，则(a＋b)·b的最大值为________．
10.如图，在四边形ABCD中，B＝60°，AB＝3，BC＝6，且eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(3,2)，则实数λ的值为________；若M，N是线段BC上的动点，且|eq \(MN,\s\up6(→))|＝1，则eq \(DM,\s\up6(→))·eq \(DN,\s\up6(→))的最小值为________．
微专题19 平面向量的数量积及最值与范围问题
[考情分析] 平面向量的数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等．解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值或应用基本不等式．同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．一般难度较大．
考点一 求向量模、夹角的最值(范围)
典例1 (1)设平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为eq \f(π,3)，(a－c)·(b－c)＝0，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(c))的最小值为( )
A.eq \r(3) B.eq \r(3)＋1 C.eq \r(3)－1 D．1
答案 C
解析 依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，
不妨令a＝eq \(OA,\s\up6(→))＝(2,0)，b＝eq \(OB,\s\up6(→))＝(1，eq \r(3))，
设c＝eq \(OC,\s\up6(→))＝(x，y)，
则a－c＝(2－x，－y)，b－c＝(1－x，eq \r(3)－y)，
由(a－c)·(b－c)＝0，
得(2－x)(1－x)－y(eq \r(3)－y)＝0，
即2－3x＋x2＋y2－eq \r(3)y＝0，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(\r(3),2)))2＝1，
所以点C的轨迹是以Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))为圆心，1为半径的圆，
又|eq \(OD,\s\up6(→))|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))2)＝eq \r(3)，
所以|c|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|≥|eq \(OD,\s\up6(→))|－1＝eq \r(3)－1.
(2)已知向量a，b满足eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b))＝3，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))，设a－b与a＋b的夹角为θ，则cs θ的最小值为( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(3,5) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,5)
答案 B
解析 令b2＝t，则a2＝4b2＝4t，
则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b))2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝9,2a·b＝5t－9，
由5t－9＝2a·b≤2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))＝4t得t≤9，
由5t－9＝2a·b≥－2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))＝－4t得t≥1，
所以1≤t≤9，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b))＝eq \r(a＋b2)＝eq \r(a2＋2a·b＋b2)＝eq \r(10t－9)，
所以cs θ＝eq \f(a＋b·a－b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b)))＝eq \f(a2－b2,\r(10t－9)×3)＝eq \f(t,\r(10t－9))＝eq \r(\f(t2,10t－9))，
令y＝eq \f(t2,10t－9)，显然y>0，t2－10yt＋9y＝0，
所以Δ＝100y2－36y≥0，y≥eq \f(9,25)，当y＝eq \f(9,25)时，t＝eq \f(9,5)∈[1,9]，
所以cs θ的最小值为eq \r(\f(9,25))＝eq \f(3,5).
跟踪训练1 (1)(2023·潍坊模拟)设a，b均是非零向量，且|a|＝2|b|，若关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b夹角的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，π))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(2π,3))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，π))
答案 B
解析 因为关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，
所以|a|2－4a·b≥0，所以a·b≤eq \f(|a|2,4)，
因为a，b均是非零向量，且|a|＝2|b|，
所以cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)≤eq \f(|a|2,4|a||b|)＝eq \f(4|b|2,8|b|2)＝eq \f(1,2)，
因为〈a，b〉∈[0，π]，
所以〈a，b〉∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，π)).
(2)(2023·乌鲁木齐模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(m，2－m)，|a|＝|b|cs θ(θ为a与b的夹角)，则|a－b|的最小值为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \r(2) C．1 D．2
答案 C
解析 因为向量a，b满足|a|＝1，b＝(m，2－m)，|a|＝|b|cs θ(θ为a与b的夹角)，
所以a·b＝|a||b|cs θ＝|a|2＝1，
则|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝1＋b2－2＝b2－1
＝m2＋(2－m)2－1＝2m2－4m＋3＝2(m－1)2＋1≥1，
当且仅当m＝1时取等号，
即|a－b|2的最小值为1，
即|a－b|的最小值为1.
考点二 求数量积的最值(范围)
典例2 (1)(2023·全国乙卷)已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|＝eq \r(2)，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))的最大值为( )
A.eq \f(1＋\r(2),2) B.eq \f(1＋2\r(2),2) C．1＋eq \r(2) D．2＋eq \r(2)
答案 A
解析 连接OA，由题可知|OA|＝1，OA⊥PA，
因为|PO|＝eq \r(2)，
所以由勾股定理可得|PA|＝1，
则∠POA＝eq \f(π,4).
设直线PO绕点P按逆时针旋转θ后与直线PD重合，
则－eq \f(π,4)0，
所以2x＋y＝eq \f(1,9)·(2x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋\f(1,y)))＝eq \f(1,9)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋\f(2y,x)＋\f(2x,y)))≥eq \f(1,9)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋2\r(\f(2y,x)×\f(2x,y))))＝1，
当且仅当eq \f(2y,x)＝eq \f(2x,y)，即x＝y＝eq \f(1,3)时，等号成立．
所以2x＋y的最小值为1.
跟踪训练3 (1)在等边△ABC中，D为BC的中点，点P为△ACD内一点(含边界)，若eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(AC,\s\up6(→))，则λ的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(3,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(3,4)))
答案 D
解析 过AB靠近A的四等分点作AC的平行线分别交AD，BC于点E，F，
由题意知，点P在线段EF上，
过E，F分别作AB的平行线交AC于M，N(如图所示)，
由题得eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))，
即λmin＝eq \f(1,4)，λmax＝eq \f(3,4).
所以eq \f(1,4)≤λ≤eq \f(3,4).
(2)如图，在△ABC中，D是线段BC上的一点，且eq \(BC,\s\up6(→))＝4eq \(BD,\s\up6(→))，过点D的直线分别交直线AB，AC于点M，N，若eq \(AM,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝μeq \(AC,\s\up6(→))(λ>0，μ>0)，则λ－eq \f(1,μ)的最小值是( )
A．2eq \r(3)－2 B．2eq \r(3)＋4
C．2eq \r(3)－4 D．2eq \r(3)＋2
答案 C
解析 由条件可得eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，
∵eq \(AM,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝μeq \(AC,\s\up6(→))，λ>0，μ>0，
∴eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(3,4λ)eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \f(1,4μ)eq \(AN,\s\up6(→))，
∵M，D，N三点共线，∴eq \f(3,4λ)＋eq \f(1,4μ)＝1，
∴eq \f(1,μ)＝4－eq \f(3,λ)，
∵λ>0，μ>0，eq \f(1,μ)＝4－eq \f(3,λ)>0，
∴λ>eq \f(3,4)，则λ－eq \f(1,μ)＝λ－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(3,λ)))＝λ＋eq \f(3,λ)－4≥2eq \r(3)－4，
当且仅当λ＝eq \f(3,λ)，即λ＝eq \r(3)时取等号，
故λ－eq \f(1,μ)的最小值是2eq \r(3)－4.
[总结提升]
平面向量最值、范围问题的常用方法
(1)定义法
第1步：利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系；
第2步：运用基本不等式求其最值问题；
第3步：得出结论．
(2)坐标法
第1步：根据题意建立适当的直角坐标系，并推导关键点的坐标；
第2步：将平面向量的运算坐标化；
第3步：运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数思想等求解．
(3)基底法
第1步：利用基底转化向量；
第2步：根据向量运算化简目标；
第3步：运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数等得出结论．
(4)几何意义法
第1步：结合条件进行向量关系推导；
第2步：利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹；
第3步：结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围．
1．(2023·洛阳模拟)已知单位圆圆O是△ABC的外接圆，若A＝eq \f(π,4)，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))的最大值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C．1 D.eq \r(2)
答案 C
解析 如图所示，
因为圆O是△ABC的外接圆，∠BAC＝eq \f(π,4)，所以∠BOC＝2∠BAC＝eq \f(π,2)，
且|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|＝1，
eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))·eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝－eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝－cs〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))〉，
故当eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))共线反向时，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))取得最大值1.
2．在△ABC中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若eq \(AN,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2)))
C．[0,1] D．[1,2]
答案 C
解析 由题意，设eq \(AN,\s\up6(→))＝teq \(AM,\s\up6(→))(0≤t≤1)，
当t＝0时，eq \(AN,\s\up6(→))＝0，所以λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))＝0，
所以λ＝μ＝0，从而有λ＋μ＝0；
当0