初中学业水平考试数学模拟卷(四)含答案

这是一份初中学业水平考试数学模拟卷(四)含答案，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

★ 祝 考 试 顺 利 ★
一、选择题(共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．在实数3，2，－1，0中，最小的数是（C）
A．3 B．2 C．－1 D．0
2．据武汉市统计局发布的武汉统计年鉴记录，截止到2023年末全市常住人口1 373.90万人，将1 373.90万用科学记数法表示应为（D）
A．1 373.9×104 B．0.137 39×108
C．1.373 9×108 D．1.373 9×107
3．3D打印机是一种可以“打印”出真实3D物体的设备．如图是3D打印的一个积木模型，它的俯视图是（D）
A. B. C. D.
4．下列说法中正确的是（A）
A．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1
B．天气预报说每天下雪的概率是50%，所以明天将有一半的时间在下雪
C．彩票中奖的机会是10%，买100张一定会中奖
D．“从一个只有红球的袋子里摸出白球”是随机事件
5．下列运算中正确的是（A）
A．x2·x3＝x5 B．(2x3)2＝4x5 C．x6÷x2＝x3 D．4x3－3x＝x2
6．一元一次不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－1>2x，,\f(1,2)x<1))的解集在数轴上表示正确的是（D）
A. B.
C. D.
7．凸透镜是中央较厚边缘较薄的透镜．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线交于点P，点F为焦点，若∠1＝30°，∠2＝55°，则∠ABP的度数是（B）
A．150° B．155° C．160° D．165°
8．嘉嘉家位于公园的正东200 m处，从嘉嘉家出发向北走100 m就到淇淇家，若选取公园为原点，分别以正东，正北方向为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，则淇淇家的坐标是（C）
A．(200，－100) B．(100，－200) C．(200，100) D．(100，200)
9．如图，在扇形MON中，∠MON＝105°，半径OM＝6，将扇形MON沿过点P的直线折叠，点O恰好落在eq \(MN,\s\up8(︵))上的点Q处，折痕交OM于点P，则阴影部分的面积为（D）
A．9eq \r(2) B．9(π－eq \r(2)) C.eq \f(9π,2) D.eq \f(9π,2)－9
【解析】连接OQ交PN于点E，∠QON＝60°，∠POQ＝45°，PE＝OE＝QE＝3.
10．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数)开口向下，过A(－1，0)，B(m，0)两点，且10；②若m＝eq \f(3,2)，则3a＋2c<0；③若点M(x1，y1)，N(x2，y2)，在抛物线上，x11，则y1>y2；④当a≤－1时，关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝1必有两个不等的实数根．其中正确的结论有（D）
A．①③ B．①② C．③④ D．①③④
【解析】根据抛物线开口方向和对称轴位置，即可判断①；利用对称轴公式求得b＝－eq \f(1,2)a，由a－b＋c＝0，得到3a＋2c＝0，即可判断②；由点M，N到对称轴的距离，即可判断③；证明判别式＞0即可判断④.
二、填空题(共5题，每题3分，共15分)
11．计算eq \r(3)－eq \r(27)的结果是－2eq \r(3).
12．一次函数y＝2x－1的图象经过点(0，－1)(写出一个点的坐标即可)．
13．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D是线段AC的中点，点E在线段AB上且△ADE∽△ABC，则AE＝2.25.
14．我国古代著作中记载了一道“绳索量竿”问题，译文：有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长1托；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短1托．竿长3托，绳长4托．(注：“托”是古代的长度单位)
15．如图，已知长方形纸片ABCD的长BC＝16，宽AB＝6，点E，F均在BC上(E在F左侧)，先将纸片沿AE折叠，记点B的对应点为B′，再将纸片沿DF折叠，使得CF的对应线段C′F∥B′E，连接B′C′，若折叠过程保持B′，C′分别在长方形的外部和内部，当B′C′∥AE时，CF的长为eq \f(9,2).
【解析】连接CC′交DF于点G，设AD交B′C′于O，利用△AOB′≌△DOC′(AAS)，得AO＝OD＝8，证B′，C′，C共线，eq \f(1,2)DG·OC＝eq \f(1,2)OD·CD，得DG＝eq \f(24,5)，CG＝eq \f(18,5)，在Rt△CFG中，求CF的长．
三、解答题(共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(6分)先化简，再求值：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2－2a＋1,a2－a)＋\f(a2－4,a2＋2a)))÷eq \f(2,a)，选择一个你最喜欢的数代入计算．
解：原式＝[eq \f(（a－1）2,a（a－1）)＋eq \f(（a－2）（a＋2）,a（a＋2）)]·eq \f(a,2)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－1,a)＋\f(a－2,a)))·eq \f(a,2)
＝eq \f(2a－3,a)·eq \f(a,2)
＝eq \f(2a－3,2)，(4分)
由分式有意义的条件知，a≠－2，0，1，
∴当a＝4时，则原式＝eq \f(2×4－3,2)＝eq \f(5,2)(答案不唯一)．(6分)
17．(6分)如图，在△ABC中，D为边BC延长线上的一点，已知∠A＝60°，∠ACD＝120°.求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵∠ACD＝120°，
∴∠ACB＝180°－∠ACD＝60°，
∵∠A＝60°，
∴∠B＝180°－∠A－∠ACB＝60°，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形．(6分)
18．(6分)如图，已知反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)与正比例函数y＝2x的图象交于A(1，m)，B(－1，－2)两点．
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)已知点C在x轴的正半轴上，且△ABC的面积为3，求点C的坐标．
解：(1)把A(1，m)代入y＝2x中，得m＝2，∴点A的坐标为(1，2)，
把点A(1，2)代入y＝eq \f(k,x)中，得k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝eq \f(2,x).(2分)
(2)过点B作BD⊥x轴，垂足为D，设点C的坐标为(a，0)，
点B的坐标为(－1，－2)，
∴BD＝|－2|＝2，OC＝|a|，(4分)
∵S△ABC＝3，OB＝OA，∴S△BOC＝eq \f(1,2)BD·OC＝eq \f(1,2)×2×|a|＝eq \f(3,2)，解得a＝eq \f(3,2)或a＝－eq \f(3,2)，
∴点C的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，0)).(6分)
19．(8分)综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6 m，CD的坡度为i＝1∶eq \r(3)，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°.
(1)求DE的长；
(2)求塔AB的高度．(结果保留整数，参考数据：tan 27°≈0.5，eq \r(3)≈1.7)
解：(1)由题意得DE⊥EC，
在Rt△DEC中，tan∠DCE＝eq \f(DE,CE)＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，∴∠DCE＝30°，
∵CD＝6 m，∴DE＝eq \f(1,2)CD＝3 m，
即DE的长为3 m．(4分)
(2)过点D作DF⊥AB，垂足为F，由题意得DF＝EA，DE＝FA＝3 m，设AC＝x m，
∵CE＝eq \r(3)DE＝3eq \r(3) m，∴DF＝AE＝CE＋AC＝(x＋3eq \r(3))m，
在Rt△ACB中，∠BCA＝45°，∴AB＝AC·tan 45°＝x m，
在Rt△BDF中，∠BDF＝27°，∴BF＝DF·tan 27°≈0.5(x＋3eq \r(3))m，
∵BF＋AF＝AB，∴0.5(x＋3eq \r(3))＋3＝x，
解得x＝3eq \r(3)＋6≈11，
∴塔AB的高度约为11 m．(8分)
20．(8分)某大学城组织大学生积极参与征集作品进行初选，征集作品分为科幻文学、科幻艺术和科幻文创三大类，大学城所有大学生都积极参与，随机抽取部分作品绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
(1)随机抽取作品共______件，扇形统计图中文学类所在扇形的圆心角度数为______；
(2)该大学城一共征集了1 200件科幻作品，请根据上述调查结果，估计大学城征集文学类的大约有多少件？
(3)对征集的2件文创作品、1件文学作品和1件艺术作品，采用抽签的方式抽取2件作品去展览，用画树状图或列表的方法求出抽到的作品为1件文创作品和1件艺术作品的概率．
解：(1)40(1分) 162°(2分)
(2)1 200×(1－30%－25%)＝540(件)，
∴估计大学城征集文学类的大约有540件．(4分)
(3)画树状图为
共有12种等可能的结果，其中抽到的作品为1件文创作品和1件艺术作品的结果数为4，
∴抽到的作品为1件文创作品和1件艺术作品的概率为 eq \f(4,12)＝eq \f(1,3).(8分)
21．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，点F在AC的延长线上，∠CBF＝eq \f(1,2)∠BAC.
(1)求证：BF是⊙O的切线；
(2)若AB＝5，tan∠CBF＝eq \f(1,2)，求CE的长．
(1)证明：连接AD，∵AB是圆的直径，∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，∴∠BAD＝eq \f(1,2)∠BAC，∵∠CBF＝eq \f(1,2)∠BAC，∴∠CBF＝∠BAD，
∵∠BAD＋∠ABC＝90°，∴∠CBF＋∠ABC＝90°，∴AB⊥BF，
又∵AB为⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线．(4分)
(2)解：∵tan∠CBF＝eq \f(1,2)，∠CBF＝∠BAD，∴tan∠BAD＝tan∠CAD＝eq \f(1,2)，
∴设BD＝x，则AD＝2x，∴AB＝eq \r(BD2＋AD2)＝eq \r(5)x，
∵AB＝AC＝5，∴AD＝2eq \r(5)，BD＝eq \r(5)，∴BC＝2eq \r(5)，
∵∠CBE＝∠CAD，∴sin∠CBE＝eq \f(CE,BC)＝sin∠CAD＝eq \f(CD,AC)＝eq \f(\r(5),5)，
∴CE＝eq \f(\r(5),5)BC＝2.(8分)
22．(10分)某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知投资A项目一年后的收益yA(单位：万元)与投入资金x(单位：万元)的函数解析式为yA＝eq \f(2,5)x，投资B项目一年后的收益yB(单位：万元)与投入资金x(单位：万元)的函数解析式为yB＝－eq \f(1,5)x2＋2x.
(1)若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？
(2)若对A，B两个项目投入相同的资金m(m＞0)万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？
(3)该地政府对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？
解：(1)当x＝10时，yA＝eq \f(2,5)×10＝4(万元)．
答：将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是4万元．(2分)
(2)由题意得当x＝m时，yA＝yB，∴eq \f(2,5)m＝－eq \f(1,5)m2＋2m，∴m1＝8，m2＝0(舍去)，∴m＝8.(5分)
(3)设投入B项目的资金是t万元，投入A项目的资金(32－t)，一年后获利为W万元，由题意，得
W＝－eq \f(1,5)t2＋2t＋eq \f(2,5)(32－t)＝－eq \f(1,5)(t－4)2＋16，∴当t＝4时，W最大＝16，32－t＝28.
答：投入A项目的资金28万元，投入B项目的资金4万元时，一年后获利最大．最大值是16万元．(10分)
23．(11分)【问题背景】人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的eq \f(1,4)，想一想，这是为什么？(此问题不需要作答)
九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究，内容如下：正方形ABCD的对角线相交于点O，点P落在线段OC上，eq \f(PA,PC)＝k(k为常数)．
【特例证明】
(1)如图①，将Rt△PEF的直角顶点P与点O重合，两直角边分别与边AB，BC相交于点M，N.
①填空：k＝________；
②求证：PM＝PN.(提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明△PAM≌△PBN；也可过点P分别作AB，BC的垂线构造全等三角形证明，请选择其中一种方法解答问题②.)
【类比探究】
(2)如图②，将图①中的△PEF沿OC方向平移，判断PM与PN的数量关系(用含k的式子表示)，并说明理由．
【拓展运用】
(3)如图③，点N在边BC上，∠BPN＝45°，延长NP交边CD于点E，若EN＝kPN，求k的值．
,
① ② ③
(1)①1(1分)
②证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠APB＝∠MPN＝90°，
∠PAB＝∠PBC＝45°，PA＝PB，
∴∠APB－∠BPM＝∠MPN－∠BPM，即∠APM＝∠BPN，
∴△PAM≌△PBN(ASA)，∴PM＝PN.(3分)
(2)解：eq \f(PM,PN)＝k，(4分)理由：过点P作PG∥BD交BC于G，
∴∠AOB＝∠APG，∠PGC＝∠OBC，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠PAM＝∠OCB＝∠OBC＝45°，
∠AOB＝90°，
∴∠APG＝∠MPN＝∠AOB＝90°，∠PGC＝∠PCG＝∠PAM，
∴PG＝PC，∠APG－∠MPG＝∠MPN－∠MPG，即∠APM＝∠GPN，
∴△PAM∽△PGN，∴eq \f(PM,PN)＝eq \f(PA,PC)＝k.(6分)
(3)过点P作PM⊥PN交AB于M，作PH⊥BC于H，作PG⊥AB于G，
则∠MPN＝∠GPH＝∠PGM＝∠ECN＝90°，
∴∠MPN－∠GPN＝∠GPH－∠GPN，
即∠MPG＝∠NPH，∴∠PMG＝∠PNH，
由(2)和已知条件可得PM＝kPN，EN＝kPN，∴PM＝EN，
∴△PGM≌△ECN(AAS)，∴GM＝CN，PG＝EC，
∵∠BPN＝∠PCB＝45°，∠PBN＝∠CBP，
∴△BPN∽△BCP，∴eq \f(PB,BC)＝eq \f(BN,PB)，∴PB2＝BC·BN，
同理可得PB2＝BA·BM，∵BC＝BA，∴BM＝BN，∴AM＝CN，∴AG＝2CN，
∵∠PAB＝45°，∴PG＝AG，∴EC＝2CN，∴tan∠ENC＝eq \f(PH,HN)＝eq \f(EC,CN)＝2，
令HN＝a，则PH＝2a，CN＝3a，EC＝6a，∴EN＝eq \r(（3a）2＋（6a）2)＝3eq \r(5)a，PN＝eq \r(a2＋（2a）2)＝eq \r(5)a，
∴k＝eq \f(EN,PN)＝eq \f(3\r(5)a,\r(5)a)＝3.(11分)
24.(12分)如图，已知抛物线C1：y＝－x2＋4x＋1与y轴相交于点C，顶点为D.
(1)求直线CD的解析式；
(2)点P为直线CD左上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线CD于点Q，当线段PQ取得最大值时，在抛物线的对称轴上找一点G，使△PCG的周长最小，求点G的坐标；
(3)将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2，C2与C1相交于点E，点F为抛物线C1对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)直线CD的解析式为y＝2x＋1.(2分)
(2)设P(m，－m2＋4m＋1)，则Q(m，2m＋1)，
则PQ＝(－m2＋4m＋1)－(2m＋1)＝－m2＋2m＝－(m－1)2＋1.
∵－1＜0，∴当m＝1时，PQ取得最大值，此时P(1，4)．(4分)
设点C关于抛物线的对称轴对称的点为C′，则C′(4，1)，
连接C′P交抛物线对称轴于点G，则G点为所求的点．(5分)
易求直线C′P的解析式为y＝－x＋5.
当x＝2时，y＝－2＋5＝3，∴G(2，3)．(6分)
(3)存在，(7分)
由题意知C2的解析式为y＝－x2＋5.
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－x2＋4x＋1，,y＝－x2＋5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝4.))∴E(1，4)．(8分)
①当CE为菱形的对角线时，
EC，FH互相垂直平分，
设EC，FH相交于点A，则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(5,2))).易求直线CE的解析式为y＝3x＋1.
设直线FH的解析式为y＝－eq \f(1,3)x＋e，∴－eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＋e＝eq \f(5,2).∴e＝eq \f(8,3).
∴直线FH的解析式为y＝－eq \f(1,3)x＋eq \f(8,3).
当x＝2时，y＝－eq \f(1,3)×2＋eq \f(8,3)＝2.∴F(2，2)．
∵点A为HF的中点，∴H(－1，3)．(9分)
②当CF为对角线时，∵四边形CEFH是菱形，∴CE＝EF，设点F(2，y)，
则(1－0)2＋(4－1)2＝(2－1)2＋(4－y)2，解得y＝1或y＝7(舍去)，∴点F(2，1)，
∵CF与EH互相平分，∴点H(1，－2)；(10分)
③当EF是对角线时，∵四边形CEFH是菱形，∴CE＝CF，设点F(2，y)，
则(1－0)2＋(4－1)2＝(2－0)2＋(y－1)2，解得y＝eq \r(6)＋1或y＝－eq \r(6)＋1，∴点F(2，eq \r(6)＋1)或(2，－eq \r(6)＋1)，
∵四边形CEFH是菱形，∴CH与EF互相平分，∴点H(3，4＋eq \r(6))或(3，4－eq \r(6))．(11分)
综上所述，在平面直角坐标系中存在点H，使以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形，点H的坐标为(－1，3)，(1，－2)，(3，4＋eq \r(6))或(3，4－eq \r(6))．(12分)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.