2021年安徽省初中学业水平考试数学模拟卷(一)含答案

这是一份2021年安徽省初中学业水平考试数学模拟卷(一)含答案，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．在－4，1，－2，0四个数中，最小的数是 ( C )
A．－2 B．1 C．－4 D．0
2．下列计算结果是a6的是 ( D )
A．a7－a B．a2·a3 C．(a4)2 D．a8÷a2
3．一个由半球和圆柱组成的几何体如图水平放置，其俯视图为( A )

4．2019年12月17日下午，我国第一艘国产航空母舰“山东舰”，在海南三亚某军港交付海军．中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平出席交接入列仪式．该航母长315米，宽75米，排水量近7.2万吨，巡航速度达31节，搭载36架歼－15战机，采用滑跃式起飞方式．其中排水量7.2万吨用科学记数法表示为 ( B )
A．7.2×103吨 B．7.2×104吨
C．0.72×105吨 D．0.72×106吨
5．若点A(3，－2)关于y轴对称的点为B，则经过点B的反比例函数的解析式为 ( D )
A．y＝6x B．y＝－ eq \f(6,x) C．y＝－6x D．y＝ eq \f(6,x)
6．小明同学对九年级(1)班、(2)班(每班各50人)参加“阳光体育”的情况进行了调查，统计结果如图所示．下列说法中正确的是
( C )

A．喜欢乒乓球的人数(1)班比(2)班多
B．喜欢足球的人数(1)班比(2)班多
C．喜欢羽毛球的人数(1)班比(2)班多
D．喜欢篮球的人数(2)班比(1)班多
7．如图，点D是△ABC的边BC的中点，且∠CAD＝∠B，若△ABC的周长为10，则△ACD的周长是 ( B )
A.5 B．5 eq \r(2) C． eq \f(5,2) D． eq \f(5\r(2),2)
8．2018年某县GDP总量为1 000亿元，计划到2020年全县GDP总量实现1 440亿元的目标．如果每年的平均增长率相同，那么该县这两年GDP总量的平均增长率为 ( C )
A．1.21% B．10% C．20% D．21%
9．[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.1]＝2，[－0.5]＝－1，则下列说法正确的是 ( D )
A．[2x]＝2[x]
B．[－x]＝－[x]
C．[x＋y]≤[x]＋[y]
D．设函数y＝x－[x]，则0≤y＜1
10．★如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是 ( B )
A． eq \r(7) B． eq \r(7) －1 C． eq \r(3) D．2
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．计算 eq \r(2) ÷ eq \r(8) ＝__ eq \f(1,2) __．
12．命题“对顶角相等”的逆命题是__相等的角为对顶角__．
13．如图，△ABC内接于⊙O，∠O＋∠C＝90°，AB＝3，则劣弧AB的长是__π__．
第13题图
第14题图
14．★如图，在第一象限内作与x轴的夹角为30°的射线OC，在射线OC上取点A，过点A作AH⊥x轴于点H，在抛物线y＝x2(x＞0)上取一点P，在y轴上取一点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A有__4__个．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．解方程：(x－3)2＝4.
解：由原方程得，x－3＝±2，
x1＝1，x2＝5.
16．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10的网格中，点A，B，C均在网格线的交点上．
(1)画出△ABC关于直线l对称的△A′B′C′；
(2)画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1；
(3)在(2)的条件下，求线段BC扫过的面积(结果保留π).
解：(1)△ABC关于直线l对称的△A′B′C′如图所示．
(2)△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1如图所示．
(3)BC扫过的面积＝S扇形OCC1－S扇形
OBB1＝ eq \f(90π·（\r(10)）2,360) － eq \f(90π·（\r(2)）2,360) ＝2π.
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．观察下列等式：
①32－31＝2×31；②33－32＝2×32；③34－33＝2×33；④35－34＝2×34…根据等式所反映的规律，解答下列问题：
(1)直接写出：第⑤个等式为______；
(2)猜想：第n个等式为______(用含n的代数式表示)，并证明．
解：(1)36－35＝2×35.
(2)第n个等式3n＋1－3n＝2×3n.
证明：∵左边＝3n＋1－3n＝3×3n－3n＝3n×(3－1)＝2×3n＝右边，
∴结论得证．
故答案为3n＋1－3n＝2×3n.
18．如图①是校园内的一种铁制乒乓球桌，其侧面简化结构如图②所示，直线型支架的上端A，B与台面下方相连，与圆弧形底座支架EF在C，D处相连接，支架AC与BD所在的直线过 eq \x\t(EF) 的圆心，若AB＝200 cm，∠CAB＝∠DBA＝60°， eq \x\t(EC) ＝ eq \x\t(FD) ，AB平行于地面EF， eq \x\t(EF) 最顶端与AB的距离为2 cm.
(1)求 eq \x\t(EF) 的半径；
(2)若台面AB与地面EF之间的距离为72 cm，求E，F两点之间的距离．(精确到1 cm，参考数据： eq \r(3) ≈1.7， eq \r(1682－982) ≈137)
图①
图②
解：(1)延长AC，BD交于点O，作OM⊥AB于点M，交 eq \x\t(EF) 于N，
连接EF交OM于点K.
∵∠CAB＝∠DBA＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝200 cm，
∵OM⊥AB，∴OM＝100 eq \r(3) cm，
∵MN＝2，∴ON＝100 eq \r(3) －2≈168 cm，
∴ eq \x\t(EF) 的半径为168 cm.
(2)连接OF.∵EF∥AB，OM⊥AB，
∴OK⊥EF，
在Rt△OFK中，
OK＝OM－KM≈170－72≈98，
∴FK＝ eq \r(OF2－OK2) ＝ eq \r(1682－982) ≈137 cm，
又∵OK⊥EF，∴EK＝KF，
∴EF＝2KF＝274 cm.
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一题：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．请你求出此人第六天的路程．
解：设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为2x里，依此往前推，第一天走的路程为32x里，
依题意，得x＋2x＋4x＋8x＋16x＋32x＝378，
解得x＝6.
答：此人第六天走的路程为6里．
20．如图，F为正方形ABCD对角线AC上一动点，EF⊥AC且交AD于点E，交CD的延长线于点G，连接CE和AG.
(1)求证：△ADG≌△CDE；
(2)当CE平分∠ACD时，求tan ∠AGD.
证明：由题意得，
AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝∠ADG＝90°，∠CAD＝45°.
∴∠CDE＝∠ADG，
又∵EF⊥AC，
∴∠AEF＝90°－∠CAD＝45°，
∴∠DEG＝∠AEF＝45°，
又∵在Rt△EDG中，∠DGE＝90°－∠DEG＝45°，
∴∠DGE＝∠DEG，
∴ED＝GD.
在△ADG与△CDE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(DG＝DE，,∠ADG＝∠CDE，,AD＝CD，))
∴△ADG≌△CDE(SAS).
(2)∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ECG，
又∵EF⊥AC，AD⊥CD，
∴ED＝EF，
∴EF＝AF＝DE＝DG，
设DG为k，则ED＝k，AE＝ eq \r(2) k，
AD＝AE＋ED＝( eq \r(2) ＋1)k，
∴tan ∠AGD＝ eq \f(AD,DG) ＝ eq \f(（\r(2)＋1）k,k) ＝ eq \r(2) ＋1.
六、(本题满分12分)
21．为创建绿色学校，培养青少年树立社会主义生态文明观，2021年3月我省评选出了37所省级“绿色学校”．某校为参加暑假期间市里举办的“绿色环保知识大赛”，在学校七、八年级学生中各随机选取了10名学生进行初赛，各参赛选手的成绩如下：
七年级：91，98，88，92，93，93，100，94，98，93
八年级：93，98，96，89，93，99，93，95，96，98
(1)根据以上数据完成下表：
(2)依据表中数据，请你判断哪个年级的成绩更好，并说明理由；
(3)若选四名同学参加市里比赛，其中100分和99分的同学直接进入，另外两个名额在四个“98分”的学生中任选两个，求另外两个名额落在同一个年级的概率．
解：(1)94；95.5.
(2)八年级的成绩更好．理由：①八年级参赛选手成绩的平均数较高；②八年级参赛选手成绩的方差较小，说明八年级参赛选手的成绩较稳定．
(3)用A1，B1表示七年级两名98分的同学，C2，D2表示八年级两名98分的同学，画树状图如图所示．
所有等可能的情况有12种，其中另外两个名额落在同一个年级的情况有4种，
则P(另外两个名额落在同一个年级)＝ eq \f(4,12) ＝ eq \f(1,3) .
七、(本题满分12分)
22．阅读下列材料：
我们知道，一次函数y＝kx＋b的图象是一条直线，而y＝kx＋b经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式：Ax＋By＋C＝0(A，B，C是常数，且A，B不同时为0).如图①，点P(m，n)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离(d)计算公式是d＝ eq \f(|A×m＋B×n＋C|,\r(A2＋B2)) .
图① 图②
例：求点P(1，2)到直线y＝ eq \f(5,12) x－ eq \f(1,6) 的距离d时，先将y＝ eq \f(5,12) x－ eq \f(1,6) 化为5x－12y－2＝0，再由上述距离公式求得d＝ eq \f(|5×1＋（－12）×2＋（－2）|,\r(52＋（－12）2)) ＝ eq \f(21,13) .
解答下列问题：
如图②，已知直线y＝－ eq \f(4,3) x－4与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝x2－4x＋5上的一点M(3，2).
(1)求点M到直线AB的距离；
(2)抛物线上是否存在点P，使得△PAB的面积最小？若存在，求出点P的坐标及△PAB面积的最小值；若不存在，请说明理由．
解：(1)将直线AB化为4x＋3y＋12＝0，
又M(3，2)，则点M到直线AB的距离
d＝ eq \f(|4×3＋3×2＋12|,\r(42＋32)) ＝6.
假设抛物线上存在点P，使得△PAB的面积最小，
设点P坐标为(a，a2－4a＋5)，
∴点P到直线AB的距离
d＝ eq \f(|4a＋3（a2－4a＋5）＋12|,\r(42＋32))
＝ eq \f(|3a2－8a＋27|,5)
＝ eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(4,3)))\s\up12(2)＋\f(65,3))),5)，
∴d的最小值为 eq \f(\f(65,3),5) ＝ eq \f(13,3) ，此时P点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(13,9))) ；
又y＝－ eq \f(4,3) x－4，令x＝0，则y＝－4，B(0，－4)，
令y＝0，则x＝－3，A(－3，0)，
∴OA＝3，OB＝4，
∴在Rt△AOB中，根据勾股定理得
AB＝ eq \r(32＋42) ＝5，
∴S△PAB的最小值为 eq \f(1,2) ×5× eq \f(13,3) ＝ eq \f(65,6) .
故P点的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(13,9))) ，△PAB的面积最小为 eq \f(65,6) .
八、(本题满分14分)
23．如图①，P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．
(1)如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°.
①求证：△ABP∽△BCP；
②若PA＝3，PC＝4，则PB＝______．
(2)已知锐角△ABC，分别以AB，AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于点P.如图②.
①求∠CPD的度数；
②求证：P点为△ABC的费马点．
图①
图②
(1)证明：①∵∠PAB＋∠PBA＝180°－∠APB＝60°，∠PBC＋∠PBA＝∠ABC＝60°，
∴∠PAB＝∠PBC，
又∵∠APB＝∠BPC＝120°，
∴△ABP∽△BCP.
②2 eq \r(3) .
(2)①解：∵△ABE与△ACD都为等边三角形，
∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AE＝AB，AC＝AD，
∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，
即∠EAC＝∠BAD，
在△ACE和△ADB中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AC＝AD，,∠EAC＝∠BAD，,AE＝AB，))
∴△ACE≌△ADB(SAS)，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠4，
∴∠CPD＝∠5＝60°.
②证明：设AC和BD相交于点F.
由上可知，△ADF∽△PCF，
∴AF ∶PF＝DF ∶CF，
∵∠AFP＝∠CFD，
∴△AFP∽△DFC.
∴∠APF＝∠ACD＝60°，
∴∠APC＝∠CPD＋∠APF＝120°，
∴∠CPD＝60°，
∴∠BPC＝180°－∠CPD＝120°，
∴∠APB＝360°－∠BPC－∠APC＝120°，
∴P点为△ABC的费马点．班级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
______
93
93
12
八年级
95
______
93
8.4