数学七年级下册3 同底数幂的除法精品课堂检测

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【知识点一】同底数幂的除法
同底数幂的除法法则 同底数幂相除，底数不变，指数相减.
即：用字母表示为am÷an=am−n（a≠0,m，n都是正整数，并且m＞n）
法则的拓展运用
法则的推广：适用于三个及三个以上的同底数幂相乘，即am÷an÷ap=am−n−p （a≠0，m,n都是正整数，并且m＞n）.
同底数幂的除法法则也可以逆用，逆用时am−n=am÷an（a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n）
特别提醒
运用此法则要注意两点：一是底数相同，二是指数相减.
底数a可以是单项式，也可以是多项式，但底数a不能为0.
【知识点二】零指数幂
零指数幂 同底数幂相除，如果被出示的指数等于除式的指数等于除式的指数，例如am÷am，根据除法的意义可知所得的商为1.另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，又有am÷am=am−n=a0，故a0=1.
零指数幂的性质 任何不等于0的数的0次幂都等于1.
即：用字母表示为a0=1（a≠0）.
特别提醒
1.零指数幂在同底数幂的除法中，是除式与被除式的指数相同时的特殊情况.
2.指数为0，但底数不能为0.
【知识点三】负指数幂
负整数指数幂 一般地，当p是正整数时，a−p=1ap（a≠0）.这就是说，a−p（a≠0）是a−p（a≠0）是ap的倒数.
整数指数幂的运算法则
am·an=am+n（a≠0，m，n是整数）；
amn（a≠0,m,n是整数）；
abn=anbn（a≠0，b≠0，n是整数）；
am÷an=am−n（a≠0，m，n是整数）.
特别提醒
负整数指数幂的运算，既可以等于正整数指数幂的倒数，也可以等于倒数的正整数指数幂，即 a−p=1ap=1ap
整数指数幂的运算结果要化成正整数指数幂的形式.
【知识点四】科学记数法
用科学技术法表示数 用科学计数法可以把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n是正整数），引进负整数指数幂后，也可以用科学计数法把一个小于1的正数表示为a×10−n的形式（其中1≤a＜10n是正整数）.
用科学计数法表示小于1的正数的一般步骤
确定a：a是大于或等于1且小于10的数.
确定n：确定n的方法有两种，即①n等于原数中左起第一个非0的数字前面0的个数（包括小数点前的那个0）；②小数点向右移动到第一个非0的数字后，小数点移动了几位，n就等于几.
将原数用科学计数法表示为a×10−n的形式（其中1≤a＜10n是正整数）
特别提醒
对于大于-1的负数也可以类似的用科学计数法表示为a×10−n的形式（其中1≤a＜10n是正整数），也就是说可以用科学计数法表示绝对值小于-1的数.
用科学计数法表示绝对值小于1的数时，10的指数是负数，一定不要忘记指数n前面的“-”号.
【考点目录】
【考点1】
【考点1】科学记数法表示绝对值小于1的数及还原科学记数法表示的数
【考点2】零指数与负指数
【考点3】同底数幂相除运算
【考点4】同底数幂相除的逆运算
【考点5】幂的混合运算
【考点1】科学记数法表示绝对值小于1的数及还原科学记数法表示的数
【例1】（2022下·河北邢台·七年级统考期中）世界上最轻的昆虫是一种卵蜂，其质量为0.000005克．
（1）用科学记数法表示数据0.000005；
（2）一个鸡蛋的质量大约为50克，若m只卵蜂的质量与这个鸡蛋的质量相等，请用科学记数法表示m．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定；
（2）根据题意列方程，解方程即可得解．
（1）解：0.000005用科学记数法表示为0.000005=5×10-6；
（2）解：设m只卵蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等，根据题意，得
0.000005m=50，
解得m=10000000=1×107，
答：1×107只卵蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等．
【点拨】本题考查了用科学记数法表示较小的数．解题的关键是能够正确的用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【变式1】（2022上·广东肇庆·八年级统考期末）奥密克戎是一种新型冠状病毒，它的直径约为纳米（1纳米米）．其中“140纳米”用科学记数法表示为（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】B
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
解：140纳米米，
∴“140纳米”用科学记数法表示为米，
故选：B．
【变式2】（2023上·八年级课时练习）若一个数可以用科学记数法表示为，则这个数为 ．
【答案】0.00302
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：；
故答案为：0.00302．
【点拨】本题考查还原科学记数法表示较小的数，熟练掌握科学记数法的表示形式是关键．
【考点2】零指数与负指数
【例2】（2023上·湖南长沙·九年级统考阶段练习）计算题
（1）（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值：
（1）先化简零指数幂和绝对值，再运算加减法，即可作答；
（2）先化简负整数指数幂、立方根、和绝对值，再运算加减法，即可作答；
正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）解：
；
（2）解：
．
【变式1】（2023上·贵州铜仁·八年级校考期中）若，则正确的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了乘方运算、负整数指数幂的性质、零指数幂的性质以及有理数大小比较等知识，正确化简各数是解题关键．
解：∵，，，，
∴．
故选：D．
【变式2】（2023上·重庆·八年级四川外国语大学附属外国语学校校考期中）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查实数的混合运算，掌握负整数指数次幂，零指数和绝对值的运算法则是解题的关键
解：，
故答案为：．
【考点3】同底数幂相除运算
【例3】（2023上·八年级课时练习）计算：
（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据积的乘方，同底数幂的乘除法进行计算即可；
（2）根据幂的乘方和同底数幂的乘除法进行计算即可．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点拨】本题考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法和除法，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
【变式1】（2023上·河南新乡·八年级校考阶段练习）下列四个算式：①；②；③；④．其中计算不正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②④D．②③
【答案】B
【分析】本题考查幂的运算，涉及同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．根据同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方法则逐个解题
解：①，错误，
②，正确，
③，错误，
④，正确
故①③错误，
故选：B．
【变式2】（2023上·福建泉州·八年级泉州五中校考期中）已知实数a，b，c满足，，，则的值为 ．
【答案】4049
【分析】本题考查同底数幂的除法运算，代数式求值，正确掌握运算法则是解题关键．
解：∵，
∴，则，
∵，
∴，则，
∴
，
故答案为：4049．
【考点4】同底数幂相除的逆运算
【例4】（2023下·七年级课时练习）已知．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）试说明：．
【答案】（1）16；（2）62.5；（3）见解析
解：（1）．
（2），即的值为62.5．
（3）．理由如下：，，，．
【易错点分析】本题解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则和除法法则，幂的乘方法则及公式的逆运用．
【变式1】（2023上·广东湛江·八年级廉江市第四中学校考阶段练习）已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查同底数幂的除法及幂的乘方的逆运用，根据对相应的运算法则将变形为是解决问题的关键．
解：∵，，
∴
，
故选：C．
【变式2】（2023上·重庆渝北·八年级校联考期中）已知，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了幂的乘方以及同底数幂的除法计算，掌握幂的运算法则是关键．
根据幂的乘方以及同底数幂的除法计算即可．
解：
故答案为：12．
【考点5】幂的混合运算
【例5】（2023下·江苏镇江·七年级校考阶段练习）计算：
（1）（2）
（3）（4）
【答案】（1）；（2）；（3）6；（4）
【分析】（1）利用幂的乘方和同底数幂的乘除法求解即可；
（2）先利用同底数幂的乘法和积的乘方运算法则计算，再合并同类项即可求解；
（3）先进行有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算，再进行加减运算即可；
（4）可根据积的乘方和同底数幂的乘法的逆运算进行简便运算即可求解．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点拨】本题考查含乘方的有理数的混合运算、整式的运算，涉及到幂的乘方和同底数幂的乘除法、积的乘方、负整数指数幂、零指数幂、合并同类项等知识，熟练掌握相关运算法则并灵活运用，正确求解是解答的关键．
【变式1】（2022下·河北唐山·七年级统考期末）下列运算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据幂的运算法则运算即可得出正确选项．
解：A．，选项错误，不符合题意；
B．，选项错误，不符合题意；
C．，选项正确，符合题意；
D． ，选项错误，不符合题意；
故选C．
【点拨】本题考查了幂的运算法则，准确计算是本题的关键．
【变式2】（2022上·广西来宾·八年级统考期中）计算：的结果是 ．
【答案】
【分析】根据整式的乘除运算法则即可求出答案．
解：原式
，
故答案为：．
【点拨】本题考查整式的乘除运算，解题的关键是熟练运用整式的乘除运算法则，本题属于基础题型．