浙教版七年级数学下册基础知识专项讲练 专题3.22 同底数幂的除法（知识讲解）

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1. 掌握并理解同底数幂的除法运算公式；
2. 会用同底数幂的除法性质进行计算．
【要点梳理】
要点一、同底数幂的除法法则
同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且）
特别说明：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.
（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.
（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.
（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.
要点二、零指数幂
任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0）
特别说明：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.
【典型例题】
类型一、同底数幂的除法➽➼同底数幂的除法运算
1．计算：
； (2) ；
； (4) ．
【答案】(1)(2)1(3)(4)
【分析】（1）根据同底数幂的除法法则计算即可；
（2）根据同底数幂的除法法则计算即可；
（3）根据同底数幂的除法法则计算即可；
（4）根据同底数幂的除法法则和积的乘方法则计算即可．
（1）解：原式=
=；
（2）原式=
=
=1；
（3）原式=
=
=；
（4）原式=
=
=．
【点拨】本题考查同底数幂的除法和积的乘方法则．同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
举一反三：
【变式1】下列4个算式中，计算错误的有（ ）
（1） （2） （3） （4）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法及除法法则进行逐一计算即可．
解：∵，
∴（1）计算错误，符合题意；
∵，
∴（2）计算正确，不符合题意；
∵
∴（3）计算正确，不符合题意；
∵，
∴（4）计算错误，符合题意，
∴（1）（4）两项错误，计算错误的有2个，
故选：C．
【点拨】本题考查同底数幂的乘法及除法法则∶（1）同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；（2）同底数的幂相除，底数不变，指数相减，熟记同底数幂的乘法及除法法则是解题的关键．
【变式2】（1）________；（2）________；
（3）________；（4）________；
（5）________．
【答案】
【分析】（1）根据同底数幂的除法计算法则求解即可；
（2）根据同底数幂的除法计算法则求解即可；
（3）根据即可得到；
（4）根据即可得到；
（5）根据同底数幂的除法计算法则求解即可．
解：（1）；
（2）；
（3）∵，
∴；
（4）∵，
∴；
（5）．
故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
【点拨】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则进行求解．
类型二、同底数幂的除法➽➼同底数幂的除法逆运算
2．计算：已知，，求的值．
【答案】9
【分析】由，，可得，，再把化为，再整体代入求值即可．
解：∵，，
∴，，
∴．
【点拨】本题考查的是幂的乘方的逆运算，同底数幂的除法的逆运算的应用，熟练的掌握同底数幂的除法及其逆运算，幂的乘方及其逆运算是解本题的关键．
举一反三：
【变式1】已知3m＝6，9n＝2，则32m－4n＋1的值为_________．
【答案】27
【分析】先根据同底数幂乘除法法则的逆运算将原式化为，然后利用幂的乘方逆运算化为，再代入数值计算即可．
解：∵3m＝6，9n＝2，
∴32n=2，
∴32m－4n＋1
=
=
=
=，
故答案为：．
【点拨】此题考查了整式的计算公式：同底数幂乘除法法则，幂的乘方运算法则，正确掌握各计算法则是解题的关键．
【变式2】如果3a＝5，3b＝10，那么9a－b的值为( )
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【分析】逆用幂的乘方及同底数幂的除法即可完成．
解：
故选：B．
【点拨】本题考查了幂的乘方的逆用及同底数幂的除法的逆用，用好这两个运算性质是关键．
类型三、同底数幂的除法➽➼幂的混合运算
3．计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂，最后合并同类项即可；
（3）先计算幂的乘方，再计算同底数幂，最后合并同类项即可．
解：（1），
=，
=，
=；
（2），
=，
=，
=，
=．
【点拨】本题考查整式的幂指数运算，掌握幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项是解题关键．
举一反三：
【变式1】计算题．
（1）． （2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先计算积得乘方，再按单项式的乘法法则运算即可；
（2）先计算积得乘方，再按单项式的乘除法则运算即可．
解：（1）原式
．
（2）原式
．
【点拨】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
【变式2】计算:
（1） （2）
【答案】（1）4；（2）
【分析】（1）先算幂的乘方、同底数幂相乘、再算加减；
（2）先算积的乘方再算同底数幂乘法；
解：（1）
=
=
=4
（2）
=
=
【点拨】考核知识点：同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方．掌握相关运算法则是关键．
类型四、同底数幂的除法➽➼零批数幂✮✮负指数幂✮✮分数指数幂
4．计算：
（1）； （2）； （3）．
【答案】（1）1；（2）0.001；（3）0.01
【分析】（1）根据同底数幂除法，求解即可；
（2）根据负整指数幂，求解计算即可；
（3）根据负整指数幂，零指数幂，求解计算即可．
解：（1）
（2）
（3）
【点拨】此题考查了同底数幂的除法、负整数幂、零指数幂等相关知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
举一反三：
【变式1】计算：．
【答案】-2
【分析】直接利用零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、乘方运算、分别化简即可得出答案．
解：原式＝1+4﹣8+1
＝﹣2．
【点拨】本题考查了零指数幂的性质、负整数指数幂、乘方运算等知识，熟知各知识点的是解题关键．
【变式2】已知，求的值．
【答案】．
【分析】由得，然后两边平方化简即可.
解：∵，
∴，
∴，
，
．
【点拨】本题考查了负整数指数幂及完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键.
类型五、同底数幂的除法➽➼科学记数法
5．地球的质量为亿吨，太阳的质量为亿吨，则地球的质量是太阳质量的多少倍（结果用科学记数法表示，并保留三位有效数字）？
【答案】
【分析】用地球的质量除以太阳的质量，再将结果用科学记数法表示出来，并保留三位有效数字．
解：由题意可得：
答：地球的质量是太阳质量的倍
【点拨】此题考查了同底数幂的除法，涉及了科学记数法以及有效数字，熟练掌握相关基本知识是解题的关键．
举一反三：
【变式1】用科学记数法表示下列数：0.00001，0.00002，0.000000567，0.000000301．
【答案】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：（1）0.00001=1×=10-5；
（2）0.00002=2×；
（3）0.000000567=5.67×；
（4）0.000000301=3.01×．
【点拨】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【变式2】在显微镜下，人体的一种细胞形状可以近似地看成圆形，它的半径为米，它相当于多少微米？若张百元人民币约米厚，那么它相当于多少个这种细胞首尾相接的长度？
【答案】微米；58个．
【分析】米微米，那么米微米；个数张百元人民币厚度一个直径．
解：米微米；
米米，
个．
【点拨】本题考查科学记数法、有理数的除法，熟练掌握科学记数法的形式是关键．
中考真题专练习
1．（2022·江苏徐州·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方逐项分析判断即可求解．
解：A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选A
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，正确的计算是解题的关键．
2．（2022·湖北荆门·中考真题）纳米（nm）是非常小的长度单位，1nm＝0.000000001m，将数据0.000000001用科学记数法表示为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】科学记数法的表现形式为，（且n为整数），确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同；当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
解：0.000000001变成1，小数点向左移动了9位，且，所以，，即．
故选：B．
【点拨】本题主要考查科学记数法，确定a及n的值是解题的关键．
3．（2022·山东日照·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a2=a3B．a4•a2=a6C．（a2）3=a5D．a3+a3=a6
【答案】B
【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则，进行计算逐一判断即可解答．
解：A、a6÷a2=a4，故A不符合题意；
B、a4•a2=a6，故B符合题意；
C、（a2）3=a6，故C不符合题意；
D、a3+a3=2a3，故D不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
4．（2022·湖南益阳·中考真题）下列各式中，运算结果等于a2的是（ ）
A．a3﹣aB．a+aC．a•aD．a6÷a3
【答案】C
【分析】根据同底数幂的运算及整式的加减运算进行计算判断即可．
解：A、∵a3﹣a不是同类项，不能进行合并运算，∴选项A不符合题意；
B、∵a+a＝2a，∴选项B不符合题意；
C、∵a•a＝a2，∴选项C符合题意；
D、∵a6÷a3＝a3，∴选项D不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查了同底数幂的运算及整式的加减运算，熟记同底数幂的运算的运算法则及整式的加减运算法则是解题的关键．
5．（2022·山东济宁·中考真题）下列各式运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用去括号的法则，幂的运算法则和零指数幂的意义对每个选项进行判断即可．
解：A：，故选项A不正确；
B：，故选项B不正确；
C：，故选项C正确；
D：，故选项D不正确；
故选：C．
【点拨】本题考查了去括号法则，幂的运算法则和零指数幂的意义，正确利用上述法则对每个选项做出判断是解题的关键．
6．（2021·广西桂林·中考真题）细菌的个体十分微小，大约10亿个细菌堆积起来才有一颗小米粒那么大．某种细菌的直径是0.0000025米，用科学记数法表示这种细菌的直径是（ ）
A．25×10﹣5米B．25×10﹣6米C．2.5×10﹣5米D．2.5×10﹣6米
【答案】D
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.0000025=2.5×10-6．
故选：D．
【点拨】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
7．（2022·辽宁阜新·中考真题）计算：______．
【答案】
【分析】先计算、，再算减法．
解：原式．
故答案为：．
【点拨】本题考查了实数的计算，掌握负整数指数幂、二次根式的化简是解决本题的关键．