第04讲 函数的极值、最值（3大考点+强化训练）-冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

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【考点分析】
考点一 利用导数研究函数的极值
判断函数的极值点，主要有两点
(1)导函数f′(x)的变号零点，即为函数f(x)的极值点．
(2)利用函数f(x)的单调性可得函数的极值点．
一、单选题
1．（2023下·上海青浦高级中学校考期中）对于以下结论：
①若公比，那么等比数列前n项和存在极限；
②为数列最大的项，那么对任意的n（，，）都成立；
③函数的导数为，若，那么为函数的极值点；
④函数的导数为，若恒成立，那么是严格增函数.
正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题
2．函数的极值点是 ．
三、解答题
3．（2023上·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知函数，其中，为自然对数的底数.
(1)当时，求函数的最值；
(2)当时，讨论函数的极值点个数.
4．（2023上·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知函数，其中，为自然对数的底数.
(1)当时，求函数的最值；
(2)当时，讨论函数的极值点个数.
考点二 利用导数研究函数的最值
1．求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值．
(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)．
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
2．若函数含有参数或区间含有参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．
一、单选题
1．设函数，若存在，使，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
2．当时，函数的最大值与最小值的和为 .
三、解答题
3．（2024·河南·方城第一高级中学校联考模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)证明：；
(2)若，求当面积最大时的值.
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)二次函数，在“①曲线，有1个交点；②”中选择一个作为条件，另一个作为结论，进行证明；
(2)若关于x的不等式在上能成立，求实数m的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
考点三 极值、最值的简单应用
一、单选题
1．已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
2．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．B．函数的最大值为
C．若方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围为
D．若，则
三、填空题
3．（2023下·甘肃武威民勤县第一中学校考阶段练习）若图象上存在两点关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”），若恰有两个“友情点对”，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
4．已知函数，在点处的切线为.
（1）求函数的单调区间；
（2）若，是函数的两个极值点，证明.
5．（2023上·山东·高三校联考阶段练习）设函数
(1)当时，求曲线在处的切线方程.
(2)讨论函数在区间上零点的个数.
【强化训练】
一、单选题
1．设函数的一个极值点为，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023单元测试）已知函数与函数的图像上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．若函数在区间内有且仅有一个零点，则在区间上的最大值为（ ）
A．4B．10C．16D．20
4．已知函数，有以下命题：①当时，函数在上单调递增；②当时，函数在上有极大值；③当时，函数在上单调递减；④当时，函数在上有极大值，有极小值．其中不正确命题的序号是
A．①③B．②③C．①④D．②④
5．已知函数，若存在，使得，则实数a的取值范围为：（ ）
A．B．C．D．
6．函数的极小值为（ ）
A．0B．C．D．
二、多选题
7．已知函数，（ ）．
A．若在区间上单调，则
B．将函数的图象向左平移个单位得到曲线C，若曲线C对应的函数为偶函数，最小值为
C．函数在区间上恰有三个极值点，则
D．关于x的方程在上有两个不同的解，则
8．（2023上·湖北·高三湖北省仙桃中学校联考阶段练习）已知函数，若函数有两个零点，则的值可能是（ ）
A．2B．C．3D．0
三、填空题
9．若函数在处有极值，且，则称为函数的“点”.已知函数存在两个不相等的“点”，，且，则的取值范围是 .
10．若关于x的不等式恒成立，则的最小值是 .
11．某产品的销售收入（万元）是产量x（千台）的函数，生产成本（万元）是产量x（千台）的函数，已知，为使利润最大，应生产 （千台）．
12．（2023·辽宁·新民市第一高级中学校联考一模）已知函数，若恒成立，则的取值范围为 ．
四、解答题
13．函数．
（1）试讨论函数的单调性；
（2）若，证明：(为自然对数的底数)．
14．已知函数.
（1）时，讨论函数的单调性；
（2）证明：当时，.
15．（2023下·云南·高三校联考开学考试）在抗击新冠肺炎疫情期间，作为重要防控物资之一的防护服是医务人员抗击疫情的保障，我国企业依靠自身强大的科研能力，自行研制新型防护服的生产．
(1)防护服的生产流水线有四道工序，前三道工序完成成品防护服的生产且互不影响，第四道是检测工序，包括红外线自动检测与人工抽检，红外线自动检测为次品的会被自动淘汰，合格的进入流水线并由工人进行抽查检验．已知在批次I的成品防护服的生产中，前三道工序的次品率分别为，第四道红外线自动检测显示为合格率为92%，求一件防护服在红外线自动检测显示合格品的条件下，人工抽检也为合格品的概率（百分号前保留两位小数）；
(2)①已知某批次成品防护服的次品率为，设3件该批次成品防护服中恰有1件不合格品的最大概率为，在多次改善生产线后批次J的防护服的次品率，请从次品率的角度比较（1）中的批次I与批次J防护服的质量；
②某医院获得批次I，J的防护服捐赠并分发给该院医务人员使用．经统计，正常使用这两个批次的防护服期间，该院医务人员核酸检测情况的等高堆积条形图如图所示，请完善下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析能否认为防护服的质量与感染新冠肺炎病毒有关联？
附：．
核酸检测结果
防护服批次
合计
I
J
呈阳性
呈阴性
合计
0.050
0.010
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828