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- 第11讲 空间点、直线、平面之间的位置关系(2大考点+强化训练)-冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略(新高考专用) 试卷 0 次下载
- 第13讲 空间向量与距离、探究性问题(2大考点+强化训练)-冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略(新高考专用) 试卷 0 次下载
- 第14讲 直线与圆(3大考点+强化训练)-冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略(新高考专用) 试卷 0 次下载
- 第15讲 圆锥曲线的方程与性质(3大考点+强化训练)-冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略(新高考专用) 试卷 0 次下载
第12讲 空间向量与空间角(3大考点+强化训练)-冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略(新高考专用)
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考点分类讲解
考点一:异面直线所成的角
设异面直线l,m的方向向量分别为a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2),异面直线l与m的夹角为θ.
则(1)θ∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2)));
(2)cs θ=|cs〈a,b〉|=eq \f(|a·b|,|a||b|)
=eq \f(|a1a2+b1b2+c1c2|,\r(a\\al(2,1)+b\\al(2,1)+c\\al(2,1))\r(a\\al(2,2)+b\\al(2,2)+c\\al(2,2))).
规律方法 用向量法求异面直线所成的角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系.
(2)用坐标表示两异面直线的方向向量.
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.
(4)注意两异面直线所成角的范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.
【例1】(2024高三·全国·专题练习)在直三棱柱(三条侧棱和底面均垂直的三棱柱叫作直三棱柱)中,若,,则异面直线与所成的角等于( )
A.B.C.D.
【变式1】(2024·全国·一模)在正四面体的侧面三角形的高线中,垂足不在同一侧面上的任意两条所成角的余弦值是 .
【变式2】(2023·湖南岳阳·模拟预测)如图,已知长方体的底面是边长为2的正方形,为其上底面的中心,在此长方体内挖去四棱锥后所得的几何体的体积为.
(1)求线段的长;
(2)求异面直线与所成的角.
考点二:直线与平面所成的角
设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为θ,
则(1)θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2)));(2)sin θ=|cs〈a,n〉|=eq \f(|a·n|,|a||n|).
易错提醒 (1)线面角θ与直线的方向向量a和平面的法向量n所成的角〈a,n〉的关系是〈a,n〉+θ=eq \f(π,2)或〈a,n〉-θ=eq \f(π,2),所以应用向量法求的是线面角的正弦值,而不是余弦值.
(2)利用方程思想求法向量,计算易出错,要认真细心.
【例2】(2022·全国甲卷)在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=eq \r(3).
(1)证明:BD⊥PA;
(2)求PD与平面PAB所成角的正弦值.
【变式1】(2023·泉州模拟)如图,三棱台ABC-A1B1C1中,AB=BC=2B1C1=2,D是AC的中点,E是BC的中点.
(1)证明:AB1∥平面DEC1;
(2)已知AB⊥BC1,CC1⊥平面ABC.求直线BC1与平面DEC1所成角的正弦值的最大值.
【变式2】(2024·河北沧州·模拟预测)已知在三棱锥中,,则直线与平面所成的角的正弦值为( )
A.B.C.D.
【变式3】(2024高三·全国·专题练习)如图所示,在三棱锥中,侧面与底面ABC垂直,.
(1)求证:.
(2)设,求与平面所成角的大小.
考点三:平面与平面的夹角
设平面α,β的法向量分别为u,v,平面α与平面β的夹角为θ,
则(1)θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2)));
(2)cs θ=|cs〈u,v〉|=eq \f(|u·v|,|u||v|).
易错提醒 平面与平面夹角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),两向量夹角的取值范围是[0,π],两平面的夹角与其对应的两法向量的夹角不一定相等,而是相等或互补.
【例3】 (2023·新高考全国Ⅰ)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.
(1)证明:B2C2∥A2D2;
(2)点P在棱BB1上,当二面角P-A2C2-D2为150°时,求B2P.
【变式1】(2023·新高考全国Ⅱ改编)如图,三棱锥A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E为BC的中点.
(1)证明:BC⊥DA;
(2)点F满足eq \(EF,\s\up6(→))=eq \(DA,\s\up6(→)),求平面ABD与平面ABF夹角的正弦值.
【变式2】(2024高三·全国·专题练习)如图,在长方体中,已知,,,分别是线段,的中点,.分别记二面角,,的平面角为,,,则下列结论正确的是( )
A.B.C.D.
【变式3】(2024·云南昆明·模拟预测)如图,三棱台中,是边长为2的等边三角形,四边形是等腰梯形,且为的中点.
(1)证明:;
(2)若直线与平面所成角的正弦值为,求二面角的大小.
强化训练
一、单选题
1.(2024·全国·模拟预测)如图,在正方体中,点是的中点,则平面与底面所成角的正切值是( )
A.B.
C.D.
2.(2024·陕西·模拟预测)如图,在直三棱柱中,为等腰直角三角形,且,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
3.(23-24高三上·宁夏银川·阶段练习)如图,棱长为2的正方体中,点E,F,G分别是棱的中点,则下列说法错误的是( )
A.直线共面
B.
C.直线与平面所成角的正切值为
D.过点B,E,F的平面截正方体的截面面积为9
4.(2024高三·全国·专题练习)如图,已知底面为正方形且各侧棱均相等的四棱锥可绕着任意旋转,平面,,分别是,的中点,,,点在平面上的射影为点.当最大时,二面角的大小是( )
A.105°B.90°C.60°D.45°
5.(23-24高三上·山西运城·期末)已知四棱锥的底面是边长为4的正方形,,,则直线与平面夹角的正弦值为( )
A.B.C.D.
6.(2024高三·全国·专题练习)如图,在边长为4的菱形中,已知.将菱形沿对角线折起,得到三棱锥,二面角的大小为,则直线与平面所成角的正弦值为( )
A.B.C.D.
7.(23-24高三下·广东·开学考试)如图,在直三棱柱中,所有棱长都相等,,,分别是棱,,的中点,则异面直线与所成角的余弦值是( )
A.B.C.D.
8.(2023·湖南永州·二模)如图,在三棱锥中,,点在平面内,过作于,当与面所成最大角的正弦值是时,与平面所成角的余弦值是( )
A.B.C.D.
二、多选题
1.(2024·黑龙江·二模)已知正方体的棱长为3,点是线段上靠近点的三等分点,是中点,则( )
A.该正方体外接球的表面积为
B.直线与所成角的余弦值为
C.平面截正方体所得截面为等腰梯形
D.点到平面的距离为
2.(2024·贵州黔东南·二模)在棱长为2的正方体中,为棱的中点,则( )
A.B.四面体外接球的表面积为
C.平面D.直线与平面所成的角为
3.(23-24高三下·重庆·阶段练习)正方形的边长为2,点是的中点,点是的中点,点是的中点,将正方形沿折起,如图所示,二面角的大小为,则下列说法正确的是( )
A.当时,与所成角的余弦值为
B.当时,三棱锥外接球的体积为
C.若,则
D.当时,与平面所成角的正弦值为
三、填空题
1.(23-24高三上·广东湛江·期末)如图,在长方体中,,,异面直线与所成角的余弦值为,则 .
2.(2024高三·全国·专题练习)正四面体的棱长为a,则它的高为: ,两个侧面形成二面角的余弦值为: .
3.(2024高三·全国·专题练习)如图,某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.易知点到墙面的距离为,某目标点沿墙面上的射线移动,此人为了准确瞄准目标点,需计算由点观察点的仰角的大小.若,,,则的最大值是 (仰角为直线与平面所成角).
四、解答题
1.(2024高三·全国·专题练习)空间中A,B,C,D四点任意两点间距离都等于a,E为中点,在由A,B,C,D确定的四个等边三角形中,求与异面的三角形中线与所成角的余弦值.
2.(2024高三·全国·专题练习)如图,已知四棱锥是以为斜边的等腰直角三角形,为的中点.求直线与平面所成角的正弦值.
3.(23-24高三下·甘肃张掖·阶段练习)如图,在四棱锥中,底面是正方形,平面平面,
(1)证明:平面平面;
(2)若是的中点,平面与平面所成锐二面角的余弦值为,求直线与平面所成角的余弦值.
4.(2024高三·全国·专题练习)如图,平面,是边长为2的正三角形,,平面,垂足为点,是的中点.
(1)求异面直线与所成角的余弦值;
(2)求证:不可能是的垂心(三角形三条高的交点).
5.(2024高三·全国·专题练习)已知中,,,,AB上有一点P,沿PC将折成一个直二面角,若此时,求二面角的正弦值.
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