第15讲 圆锥曲线的方程与性质（3大考点+强化训练）-冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

这是一份第15讲 圆锥曲线的方程与性质（3大考点+强化训练）-冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用），文件包含第15讲圆锥曲线的方程与性质3大考点+强化训练原卷版docx、第15讲圆锥曲线的方程与性质3大考点+强化训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。

考点分类讲解
考点一:圆锥曲线的定义与标准方程
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)．
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.
2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
“定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；“计算”：利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．
易错提醒 求圆锥曲线的标准方程时的常见错误
双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；确定圆锥曲线的方程时还要注意焦点位置．
【例1】 （2024·新疆·二模）设分别是椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为( )
A．B．C．D．6
【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左右焦点，且，为的内心，若， 则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24高三下·山东济宁·开学考试）已知椭圆的左右顶点分别为为椭圆上异于的任意一点，且，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】（23-24高三上·天津和平·期末）已知双曲线的右焦点为点，过点作双曲线的其中一条渐近线的垂线，垂足为点（点在第一象限），直线与双曲线交于点，若点为线段的中点，且，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
考点二：椭圆、双曲线的几何性质
1．求离心率通常有两种方法
(1)求出a，c，代入公式e＝eq \f(c,a).
(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．
2．与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)共渐近线bx±ay＝0的双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．
考向1 椭圆、双曲线的几何性质
【例2】（2024·山东聊城·一模）设，是双曲线的左、右焦点，是上的一点，若的一条渐近线的倾斜角为，且，则的焦距等于（ ）
A．1B．C．2D．4
【变式1】（2024·湖北·二模）已知双曲线的左右顶点分别为，点是双曲线上在第一象限内的点，直线的倾斜角分别为，则 ；当取最小值时，的面积为 ．
【变式2】（23-24高三上·重庆·期末）已知，分别是双曲线C：（）的左、右焦点，过作一直线交C于M，N两点，若，且的周长为1．则C的焦距为 ．
【变式3】2024高三上·全国·竞赛）设为坐标原点，椭圆的左、右顶点分别为，，点为椭圆上一点，直线的斜率为，的斜率为2，则的斜率为 ．
考向2 离心率问题
【例3】（2024·全国·模拟预测）设椭圆的左，右焦点分别为，直线过点，若点关于的对称点恰好在椭圆上，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2024·湖北·二模）已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式2】（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）在平面直角坐标系中，设直线与双曲线的两条渐近线都相交且交点都在轴左侧，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2024·陕西西安·二模）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，三点共线，若直线的斜率为，直线的斜率为，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．3
考点三：抛物线的几何性质及应用
抛物线的焦点弦的几个常见结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p.
(3)当AB⊥x轴时，弦AB的长最短为2p.
规律方法 利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算．
【例4】（22-23高三下·河南安阳·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点A，B在抛物线上．若，则当取得最大值时， ．
【变式1】（2024·新疆乌鲁木齐·二模）抛物线过点，则焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24高三下·北京·阶段练习）设抛物线C的焦点为F，点E是C的准线与C的对称轴的交点，点P在C上，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2023·河北沧州·模拟预测）焦点为的抛物线上有一点，为坐标原点，则满足的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
强化训练
一、单选题
1．（2024·广东·一模）双曲线的顶点到其渐近线的距离为（ ）
A．B．1C．D．
2．（23-24高三上·北京西城·期末）已知双曲线C的一个焦点是，渐近线为，则C的方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高三下·贵州·阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，点在直线上运动，则的最小值为（ ）
A．7B．9C．13D．15
4．（2023·四川南充·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的焦距等于，则实数的值为（ ）
A．或B．或C．D．
5．（2023·甘肃酒泉·三模）已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高三下·四川·期末）双曲线的左，右焦点分别是，，已知到双曲线H的一条渐近线的距离为，则为（ ）
A．4B．C．6D．8
7．（2024高三·全国·专题练习）过坐标原点的直线与椭圆交于两点，设椭圆的右焦点为，已知，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·辽宁·一模）已知为椭圆的右焦点，过原点的直线与相交于两点，且轴，若，则的长轴长为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
1．（2024·辽宁·一模）在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，点在抛物线的准线上，则以下命题正确的是（ ）
A．的最小值是2
B．
C．当点的纵坐标为4时，存在点，使得
D．若是等边三角形，则点的横坐标是3
2．（2024·安徽阜阳·一模）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为两点都在上，，三点共线，（不与重合）为上顶点，则（ ）
A．的最小值为4B．为定值
C．存在点，使得D．
3．（2024·福建漳州·模拟预测）点在抛物线上，为其焦点，是圆上一点，，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为.
B．周长的最小值为.
C．当最大时，直线的方程为.
D．过作圆的切线，切点分别为，则当四边形的面积最小时，的横坐标是1.
三、填空题
1．（2024·陕西榆林·二模）已知抛物线经过点，写出的一个标准方程： .
2．（23-24高三下·上海·阶段练习）若直线经过双曲线的一个焦点，且与该双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为 .
3．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽 ，杯深 ，称为抛物线酒杯. 在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的最大值为 .
四、解答题
1．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知抛物线上一点的纵坐标为，点到焦点的距离为.过点做两条互相垂直的弦、，设弦、的中点分别为.
(1)求抛物线的方程；
(2)过焦点作，且垂足为，求的最大值.
2．（2024高三下·全国·专题练习）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由．
(3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值．
3．（2024·北京平谷·模拟预测）已知椭圆E：过点，离心率为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过椭圆E的右焦点F作斜率为的直线l交椭圆E于点A，B，直线l交直线于点P，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，直线AQ交x轴于C，直线BQ交x轴于D，求证：点F为线段CD的中点．
4．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的长轴长为4，离心率为，点是椭圆上异于顶点的任意一点，过点做椭圆的切线，交轴于点A，直线过点且垂直于，交轴于点．
(1)求椭圆的方程；
(2)试判断以为直径的圆能否过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由．
5．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线和圆的公共弦过抛物线的焦点，且弦长为．
(1)求抛物线和圆的方程；
(2)过点的直线与抛物线相交于两点，抛物线在点处的切线与轴的交点为，求面积的最小值．