重难点06 两种数列最值求法（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）

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重难点06两种数列最值求法（核心考点讲与练）
能力拓展

题型一：单调性法求数列最值

一、单选题
1．（2022·安徽淮南·二模（文））已知等差数列的前n项和为，，则数列（       ）
A．有最大项，无最小项 B．有最小项，无最大项
C．既无最大项，又无最小项 D．既有最大项，又有最小项
【答案】D
【分析】根据等差数列的首项 ,公差列方程,可得和,进而可得,通项,进而根据的单调性,即可得最值.
【详解】等差数列的首项为 ,公差为, 由得 ,故

当时, 单调递减,故,且
当时, 单调递减,故,且
故有最大值为2,最小值为
故选:D
2．（2022·北京·二模）已知等差数列与等比数列的首项均为－3，且，，则数列（       ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】A
【分析】求出等差数列和等比数列的通项公式，得出，确定数列中奇数项都是负数，偶数项都是正数，然后设，用作差法得出的单调性，从而可得数列的最值．
【详解】，，则，，
，，，，，
，显然奇数项都是负数，偶数项都是正数，
设，
则，
，即时，，，
时，，，即数列，从到递增，从往后递减，
由于中奇数项都是负数，偶数项都是正数，
所以中，最大，
又，，所以是最小项．
故选：A．
3．（2022·安徽·芜湖一中三模（文））已知等差数列的首项，且，正项等比数列的首项，且，若数列的前n项和为，则数列的最大项的值为（       ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】先求出，的得到，再求出，从而得出，然后分析出数列的单调性，得出答案.
【详解】设等差数列的公比为，由，则
即，故，则
则
设正项等比数列的公比为，由，则
所以，解得，则
，设，则
当时，，即
当时，，即
所以最大.
故选：C
4．（2022·广东·一模）已知正项数列满足，当最大时，的值为（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】先令，两边取对数，再分析的最值即可求解.
【详解】令，两边取对数，有，
令，则，
当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以时，取到最大值，从而有最大值，
因此，对于，当时，；当时，.
而，因此，当最大时，.
故选：B
二、多选题
5．（2021·广东·高三阶段练习）设数列的前n项和为，若，则下列结论中正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．满足的n的最大值为2020
【答案】ACD
【分析】A选项，对化简后得到结果；B选项，对通项公式分离常数后利用裂项相消法求和；C选项，是单调递减数列，故；D选项，在B选项的基础上进行求解即可..
【详解】，故A正确；
因为，
所以，故B错误；
因为，所以，所以是单调递减数列，所以，故C正确；
因为，所以单调递增，且，，所以满足的n的最大值为2020，故D正确．
故选：ACD
6．（2022·全国·高三专题练习）等比数列各项均为正数，，，数列的前项积为，则（       ）
A．数列单调递增 B．数列单调递减
C．当时，最大 D．当时，最小
【答案】BC
【分析】由等比数列基本量求得等比数列的公比，由可得数列的增减性，然后由判断数列的单调性，从而得到的最值.
【详解】设等比数列的公比为，，，
等比数列各项均为正数，，，，
，，数列单调递减；
，，，
当时，；当时，；
数列中，从到递增，从开始递减，时，数列中最大.
故选：BC
7．（2021·河北·高三阶段练习）已知，分别是等差数列的公差及前项和，，设，数列的前项和为，则下列结论中正确的是（       ）
A．满足的最小值为 B．
C． D．时，取得最小值
【答案】AC
【分析】由已知可得，，，公差，利用等差数列前项和公式以及等差数列的性质可判断A；由可判断B；作差结合可判断C；由的单调性以及的符号即可求出的最小值可判断D，进而可得正确选项.
【详解】由题意知：，，，
选项A中：，，所以满足的最小值为，故选项A正确；
选项B中：，即，故选项B错误；
选项C中：由，可知公差，
则
所以，故选项C正确；
选项D中：当时，，当时，，
所以当时，，；，，当时，，
所以，；当时，，
，
所以，所以当时，取得最小值，故选项D不正确，
故选：AC.
8．（2022·江苏·高三专题练习）在（）中，内角的对边分别为，的面积为，若，，，且，，则（       ）
A．一定是直角三角形 B．为递增数列
C．有最大值 D．有最小值
【答案】ABD
【解析】先结合已知条件得到，进而得到，得A正确，再利用面积公式得到递推关系，通过作差法判定数列单调性和最值即可.
【详解】由，得，，故，
又，，，故一定是直角三角形，A正确；
的面积为，而，
故，
故，
又（当且仅当时等号成立）
，又由，知不是恒成立，即，故，故为递增数列，有最小值，无最大值，故BD正确，C错误.
故选：ABD.
【点睛】本题解题关键是利用递推关系得到，进而得到，再逐步突破.数列单调性常用作差法判定，也可以借助于函数单调性判断.
9．（2021·江苏·盐城中学一模）对于数列，若存在数列满足（），则称数列是的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（       ）
A．若数列是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；
B．若，则其“倒差数列”有最大值；
C．若，则其“倒差数列”有最小值；
D．若，则其“倒差数列”有最大值.
【答案】ACD
【分析】根据新定义进行判断．
【详解】A．若数列是单增数列，则，
虽然有，但当时，，因此不一定是单增数列，A正确；
B．，则，易知是递增数列，无最大值，B错；
C．，则，易知是递增数列，有最小值，最小值为，C正确；
D．若，则，
首先函数在上是增函数，
当为偶数时，，∴，
当为奇数时，，显然是递减的，因此也是递减的，
即，∴的奇数项中有最大值为，
∴是数列中的最大值．D正确．
故选：ACD．
【点睛】本题考查数列新定义，解题关键正确理解新定义，把问题转化为利用数列的单调性求最值．
三、填空题
10．（2022·上海徐汇·二模）已知定义在上的函数满足，当时，．设在区间上的最小值为．若存在，使得有解，则实数的取值范围是______________．
【答案】
【分析】根据题意，利用换元法，分别求出当，，时，的解析式，进而求出，然后，得到存在，使得有解，则有有解，进而必有，进而求出,即可求解.
【详解】当时，，因为定义在上的函数满足，
，令，则，所以，当时，有，所以，当时，，
，令，则，，有
，所以，当时，，同理可得，时，，根据规律，明显可见当，，且此时的必为增函数，又因为为在区间上的最小值，所以，
，所以，若存在，使得有解，则有有解，进而必有，根据该函数的特性，明显可见，当时，有，所以，此时有
故答案为：
11．（2022·浙江台州·二模）已知等差数列的各项均为正数，且数列的前项和为，则数列的最大项为___________.（用数字作答）
【答案】1
【分析】由等差数列各项均为正数可判定该数列为递增数列，结合等差数列的通项公式和前和公式，可判定数列为递减数列，进而可得到该数列的最大项.
【详解】由题，等差数列的各项均为正数，所以，，
且，
所以数列是递增数列，
又，
所以，
即是递减数列，
所以当时，得到数列的最大项为，
故答案为：1
12．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an}对任意m，n∈N*都满足am+n=am+an，且a1=1，若命题“∀n∈N*，λan≤+12”为真，则实数λ的最大值为____.
【答案】7
【分析】先求出的通项公式，然后参变分离转化为求最值
【详解】令m=1，则an+1=an+a1，an+1－an=a1=1，所以数列{an}为等差数列，首项为1，公差为1，所以an=n，
所以λan ≤+12⇒λn≤n2+12⇒λ≤n+，
又函数在上单调递减，在上单调递增，
当或时，
所以
故答案为：7
13．（2022·天津市新华中学高三期末）在数列中，，则数列中的最大项的________ .
【答案】6或
【分析】利用作商法判断数列的单调性即可求出其最大项.
【详解】，
令，解得，
即时，，
当时，，
所以或最大，
所以或.
故答案为：6或7.
14．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，an＋2an＋1＝0，则Sn－的最大值与最小值的积为________.
【答案】－
【分析】先计算出公比，求出Sn，分奇偶性讨论得出Sn－的最大值与最小值，即可求解.
【详解】因为an＋2an＋1＝0，所以，
所以等比数列{an}的公比为，
因为a1＝，
所以Sn＝.
①当n为奇数时，Sn＝，Sn随着n的增大而减小，则1＜Sn≤S1＝，又Sn－随着Sn的增大而增大，故0＜Sn－≤；
②当n为偶数时，Sn＝，Sn随着n的增大而增大，则＝S2≤Sn＜1，又Sn－随着Sn的增大而增大，故≤Sn－＜0.
综上，Sn－的最大值与最小值分别为，.
故Sn－的最大值与最小值的积为.
故答案为：－.
15．（2022·河南·模拟预测（文））已知数列满足，则的最大值为________．
【答案】
【分析】令，分为奇偶性，分别求出，通过判断的单调性可求出其最大值
【详解】令，
当为奇数时，，
因为，所以，
所以当为奇数时，数列为递减数列，
所以当为奇数时，最大，，
当为偶数时，，当增大时，在减小，
所以为偶数时，最大，，
因为，
所以数列的最大值为，
故答案为：
16．（2022·全国·模拟预测）已知数列的前n项和为，等差数列的首项为1，公差为1，则的最大值为__________.
【答案】
【分析】由题意求出，再求出，令，求出的单调性即可求出的最大值.
【详解】由题意知，则，则，
，
令，则
.
由，易得当时，，
所以；当时，，
所以…，
故的最大值为，
即当时，取得最大值，为.
故答案为 : .
四、解答题
17．（2022·湖北·模拟预测）已知数列的前n项之积为，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求的最大值．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）利用即项与和的关系方法求得，再利用求得；
（2）再由定义求得，并利用作差法得出是递减的，从而易得最大值．
(1)∵①，∴②，
由①②可得，由①也满足上式，∴③，
∴④，由③④可得，
即，∴，∴．
(2)由（1）可知，则，
记，
∴，
∴，
∴，即单调递减，
∴的最大值为．
18．（2022·天津市宁河区芦台第一中学模拟预测）设数列的前项和为,且满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立,求的取值范围.
【答案】(1)(2).
【分析】（1）利用与的关系即可求解；
（2）根据裂项相消法和错位相减法求出数列的前项和为，再将不等式的恒成立问题转化为求最值问题即可求解.
(1)由题意,当 时，,
当 时， ，
所以， 即 ，
数列是首项为，公比为的等比数列，

故数列的通项公式为.
(2)，
由 (1)，得当为偶数时，，
当为奇数时， ，
设数列的前项中奇数项的和为，
所以，
设数列的前项中偶数项的和为，
，
由两，得
，
整理得
故，，
.
不等式对一切恒成立, 即不等式对一切恒成立,
在上是单调增
所以，易知在上为递增数列，
当为偶数时，，
当为奇数时, ， 解得，
所以的取值范围为.
19．（2022·天津·高三专题练习）设数列的前项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)若求的前项和取最小值时的值；
(3)证明：
【答案】(1)(2)或(3)证明见解析
【分析】（1）利用递推关系，当时，，两式相减得，再用构造法得：，即可求出的通项公式；
（2）先求出的通项公式，由二次函数求最值即可求出答案.
（3）对进行放缩得：，再求的前项和即可证明此题.
因为，①
时，，
时，②
①-②得，所以，，
所以数列是为首项，为公比的等比数列，
故
(2)，所以，
于是当时，；；当时，.所以当或时，取最小值.
(3)．故
20．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知数列的首项，.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和的最小值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由已知等式变形得出，结合等比数列的定义可证得结论成立；
（2）分析数列的单调性，确定的符号，由此可求得的最小值.
(1)解：因为，则，且，
所以，数列是以为首项，为公比的等比数列.
(2)解：由（1）知，，则.
所以，，
所以，，故数列为递增数列，
，，，，，，
故当时，；当时，.
所以，的最小值为.
21．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知数列的前n项和为，满足：
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若，令，数列的前n项和为，若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【分析】（1）利用关系可得，即有，将两式相减并整理有，即可证结论.
（2）由（1）结论及题设可得，令、，应用作差法比较它们的大小，即可确定的单调性并求其最大值，结合恒成立求m的取值范围．
(1)由题设，，则，
所以，整理得，则，
所以，即，，
所以，故数列为等差数列，得证.
(2)由，可得，又，结合（1）结论知：公差，
所以，故，则，
所以，且，
所以，即，
所以，在且上递减，则，
要使对任意恒成立，即，
所以.
题型二：不等法求数列最值
一、单选题
1．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知曲线在点处的切线为l，数列的首项为1，点为切线l上一点，则数列中的最小项为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，则，从而求出的通项公式，再构造不等式组求出数列中的最小项；
【详解】因为，所以，
所以曲线在点处的切线的斜率.
所以切线l的方程为.
所以.
所以数列是首项为1，公比为3的等比数列.
所以.
所以由，解得.
因为，所以.
所以数列中的最小项为.
故选：C.
2．（2021·辽宁·建平县实验中学高三阶段练习）已知数列满足，，若，且存在，使得成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，令，进而证明数列是以为首项，为公差的等差数列，故可得，，在结合题意将问题转化为，再求数列的最大值代入解一元二次不等式即可得答案.
【详解】，．
令，

，
又，
∴数列是以为首项，为公差的等差数列，
，即，
，
∵存在，使得成立，
．
令得则，，
或．，
，即，解得，
∴实数的取值范围是．
故选：D．
3．（2021·浙江·高三期中）已知数列满足，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意化简可得，根据，利用累加法可得；根据，利用累加法计算化简可得，进而得出，令计算即可.
【详解】解：显然，对任意，．，
化简可得，所以，则，
累加可得，所以．
又，所以，
则
，
注意到，
所以，则，
所以．综上．
当时，，即.
故选：B
4．（2020·江西·鹰潭一中高三期中（文））数列通项公式为：，则中的最大项为（       ）
A．第1项 B．第1010项 C．第1011项 D．第1012项
【答案】B
【分析】数列的通项公式为，所以．由得，从而求得结果.
【详解】解：依题意，数列的通项公式为，所以．
由，即且，，解得，
故最大项为第1010项，
故选：B．
二、多选题
5．（2022·全国·高三专题练习）在数列{an}中，an＝(n＋1) n，则数列{an}中的最大项可以是（       ）
A．第6项 B．第7项
C．第8项 D．第9项
【答案】AB
【分析】假设an最大，则有解不等式组，可求出的范围，从而可得答案
【详解】假设an最大，则有即且，
所以，即6≤n≤7，所以最大项为第6项和第7项．
故选：AB
6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，下列命题正确的有（       ）
A．当时，数列为递减数列
B．当时，数列一定有最大项
C．当时，数列为递减数列
D．当为正整数时，数列必有两项相等的最大项
【答案】BCD
【分析】分别代入和计算判断AB选项；再利用放缩法计算判断C选项；按k的范围分类，可判断D；
【详解】当时，，知A错误；
当时，，当，，，，
所以可判断一定有最大项，B正确；
当时，，所以数列为递减数列，C正确；
当为正整数时，，当时，，
当时，令，
解得，则，当时，，
结合B，数列必有两项相等的最大项，故D正确；
故选：BCD.
7．（2020·河北·沧州市民族中学高三阶段练习）已知数列的前项和为，且，，著不等式对任意的恒成立，则下列结论正确的为（       ）
A． B．
C．的最大值为 D．的最小值为
【答案】ABC
【分析】先用两式相减的方法消去，求出，判断A选项；再代入已知求出，判断B选项；然后将恒成立问题转化为最值问题，最后利用数列的单调性，求出最值即可判断C，D选项.
【详解】依题意得当时，，
由于，解得；
当时，，因此有：；
整理得：，
所以数列是以为首项，公差的等差数列，
因此，故A正确；
，故B正确；
由得：，
令，则取2时，取最小值，所以
①当为偶数时，，，
②当为奇数时，，
，，
故C正确，D错误.
所以A、B、C正确；D错误.
故选：ABC
【点睛】知识点点睛：（1）已知求，利用前项和与通项公式的关系，此时一定要注意分类讨论.
（2）数列与不等式的恒成立问题常用构造函数的方式，通过函数的单调性、最值解决问题，注意只能取正整数.
三、填空题
8．（2022·安徽亳州·高三期末（理））已知数列满足，，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】分析可知数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得，由参变量分离法可得出，利用数列的单调性求得数列的最大项的值，可得出关于实数的不等式，进而可求得实数的取值范围.
【详解】当时，在等式两边同时除以可得且，
故数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，，
因为对任意恒成立，即，
令，则.
当时，，即；
当时， ，即.
故数列中的最大项为，，解得.
故答案为：.
9．（2021·湖北·高三阶段练习）已知数列的首项，其前项和为，且满足，则当取得最小值时，___________.
【答案】5
【分析】首先根据得到，令得到，从而得到，再求当取得最小值时的值即可.
【详解】由题意，
可得，.
令，则，即是常数列，
所以，故.
当时，；当时，.
故当时，取得最小值.
故答案为：5
四、解答题
10．（2022·全国·模拟预测（理））已知数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前n项和为，若恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）当时，有，两式作商求得，进而求得数列的通项公式；
（2）由（1）得到，结合乘公比错位相减法求得，进而求得，再根据的单调性，即可求解.
(1)解：数列满足，且，
当时，有，
两式作商，可得，
又由，得.
(2)解：当时，，
当时，，所以对任意的，均有，
则，
可得②，
两式相减可得，
求得，
由，可得，
令，则，
因为，所以，即随着增大，减小，
所以．
11．（2022·全国·高三专题练习）数列满足，
(1)求的值；
(2)求数列前项和；
(3)令，，证明：数列的前项和满足．
【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析.
【分析】(1)根据已知条件，分别取n＝1，2，3即可依次算出；
(2)用作差法求出的通项公式，再求其前n项和；
(3)求，猜想，用数学归纳法证明；用导数证明，令，得，用这个不等式对放缩即可得证.
(1)依题，
；
(2)依题当时，，
，又也适合此式，
，
数列是首项为1，公比为的等比数列，故；
(3)，，
，
，
，
猜想：   ①
下面用数学归纳法证明：
(i)当n＝1，2时，已证明①成立；
(ii)假设当时，①成立，即.
从而
.
故①成立.
先证不等式   ②
令，
则.
，即②成立.
在②中令，得到   ③
当时，；
当时，由①及③得：



.
证明完毕.
【点睛】本题是数列的综合性大题，关键是猜想，并用数学归纳法证明；根据结论构造不等式，令，得，然后用这个不等式对放缩.
12．（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列是递增的等比数列，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求使成立的正整数的最小值．
【答案】(1)；(2)5.
【分析】（1）由已知条件求得，，利用等比数列通项公式列方程组求基本量，写出等比数列通项公式即可.
（2）由（1）得，根据等差数列前n项和公式求，由求的范围，即可确定正整数的最小值．
(1)设等比数列的公比为，首项为，又，，且是递增的等比数列，
∴，，则，解得，
∴；
(2)设，由（1）知：，
∴，
由，得：，解得或，
∴使成立的正整数的最小值为5．
13．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的各项均为正数，前项和为，.
（1）求，，的的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），，；（2）；（3）.
【分析】（1）在已知等式中，令n=1求得a1,令n=2求得a2,令n=3,求得a3;
（2）根据一般数列和与项的关系，利用作差法消去和，得到项的递推关系，分解因式化简得到数列是公差为2的等差数列，进而求得通项公式；
（3）令，利用作差法研究其单调性，求得最大值，进而根据不等式恒成立的意义得到实数的取值范围.
【详解】解：（1）令得，故
令得，
又，故，
令，得，
又，故；
（2），
当时相减整理得，
∴，
∴，，
∴数列是公差为2的等差数列，
故；
（3）由恒成立，
令，
，n = 1时为正，n ≥ 2时为负.

的最大值为，
故实数的取值范围是.
14．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高二开学考试（理））已知数列的前项和，，在等差数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）本题首先可通过得出，然后根据得出，最后根据等比数列定义即可得出结果；
（2）本题可设等差数列的公差为，根据得出，然后根据得出、，再然后得出，最后将其分为、、三种情况进行讨论，即可得出结果.
【详解】（1）当时，，，
，即，，
当时，，解得，
则数列是首项为、公比为的等比数列，.
（2）设等差数列的公差为，
则即，，
因为，所以，，，
则，
当时，，；
当时，，；
当时，，，
故当或时，最大，.
15．（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由题意可得当时与已知条件两式相减，即可得，再检验是否满足即可.
（2）由等差数列前项和公式求出，由不等式分离出，转化为最值问题，再利用基本不等式求最值即可求解.
【详解】（1）因为，
所以
两式相减可得：
所以，
当时，满足，
所以，
（2），
由可得：，
所以，
令，只需.

，
当且仅当即时等号成立，此时，
所以，
所以实数的取值范围为.
16．（2021·河南洛阳·三模（理））已知数列的前项和为，且对任意的，都满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的最小项的值．
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）由递推公式，结合等比数列的定义进行求解即可；
（2）利用商比法判断数列的单调性进行求解即可.
【详解】解：（1）∵，
∴当时，．
两式相减，得：．
又，∴是以2为公比，2为首项的等比数列，
∴，
（2）∵，易于知，，
∴，
当时，，
当时，，
又，，，
∴当时，有最小值．