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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册9.1 随机抽样导学案及答案
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册9.1 随机抽样导学案及答案，共15页。
假设某地区有高中生2 400人，初中生10 900人，小学生11 000人．此地区教育部门为了了解本地区中小学生的近视情况及其形成原因，要从本地区的中小学生中抽取1%的学生进行调查．你认为应当怎样抽取样本才合理？
知识点1 分层随机抽样的相关概念
1．分层随机抽样的定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．
2．比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．
知识点2 分层随机抽样中的总体平均数与样本平均数
1．在分层随机抽样中，如果总体分为2层，两层包含的个体数分别为M，N，两层抽取的样本量分别为m，n，两层的样本平均数分别为x，y，两层的总体平均数分别为X，Y，则样本平均数w＝mm+nx+nm+ny，总体平均数W＝MM+Nx+NM+Ny．
2．在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数w估计总体平均数W.即MM+NX+NM+NY＝mm+nx+nm+ny.
分层随机抽样适合于什么样的总体？
思考 [提示] 当总体是由差异明显的几部分组成时，用分层随机抽样.
1．某校有高一学生400人，高二学生380人，高三学生220人，现教育局督导组拟采用分层随机抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查，则高一学生应抽取________人．
20 [高一学生应抽取50×400400+380+220＝20人．]
2．为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高为1.60 m；从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50 m．由此可估计我国13岁男孩的平均身高为________m．
1.56 [这500名13岁男孩的平均身高是1.6×300+1.5×200500＝1.56(m)，据此可估计我国13岁男孩的平均身高为1.56 m．]
类型1 对分层随机抽样概念的理解
【例1】 (1)某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，则下列方法最合适的是( )
A．抽签法 B．随机数法
C．简单随机抽样法 D．分层随机抽样法
(2)分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行( )
A．每层等可能抽样
B．每层可以不等可能抽样
C．所有层按同一抽样比等可能抽样
D．所有层抽取的个体数量相同
(1)D (2)C [(1)总体由差异明显的三部分构成，应选用分层随机抽样法．
(2)保证每个个体等可能的被抽取是三种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取．]
使用分层随机抽样的前提
分层随机抽样的使用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小．
[跟进训练]
1．下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是( )
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本
C．从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
B [A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合用分层随机抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层随机抽样．]
类型2 分层随机抽样的应用
【例2】 某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人．教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程．
[解] 抽样过程如下：
第一步，确定抽样比，样本容量与总体容量的比为20160＝18.
第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取16×18＝2(人)；从教师中抽取112×18＝14(人)；从后勤人员中抽取32×18＝4(人)．
第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师14人，后勤人员4人．
第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本．
1．分层随机抽样的相关计算的2个关系
(1)样本容量n总体的个数N＝该层抽取的个体数该层的个体数.
(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．
2．分层随机抽样的步骤
第一步，按某种特征将总体分成若干部分(层)；
第二步，计算各层所占比例；
第三步，计算各层抽取的个体数；
第四步，按简单随机抽样从各层抽取样本；
第五步，综合每层抽样，组成总样本．
[跟进训练]
2．(1)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为( )
A．101 B．808 C．1 212 D．2 012
(2)将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5∶3∶2．若用分层随机抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取________个个体．
(1)B (2)20 [(1)因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12，所以四个社区抽取驾驶员的比例为1296＝18，所以驾驶员的总人数为(12＋21＋25＋43)÷18＝808．
(2)∵A，B，C三层个体数之比为5∶3∶2，总体中每个个体被抽到的可能性相等，∴分层随机抽样应从C中抽取100×210＝20(个)个体．]
类型3 分层随机抽样中的平均数
【例3】 某校有初中、高中两个部门，其中初中有学生850人，高中有学生650人，小军想要进行一个视力调查，对学校按部门进行按比例分配分层随机抽样，得到初中生、高中生平均视力分别为1.0，0.8，其中样本量为60，则在初中部、高中部各抽取多少人？整个学校平均视力是多少？
[解] 初中部抽取人数为60×850850+650＝34，
高中部抽取人数为60×650850+650＝26，
学校平均视力为3460×1.0＋2660×0.8≈0.91，
所以在初中部、高中部各抽取34，26人，学校平均视力约为0.91．
样本的平均数和各层的样本平均数的关系为：w＝mm+nx+nm+ny＝MM+Nx+NM+Ny.
[跟进训练]
3．通过分层随机抽样的方法估测某校高三年级全体学生的身高水平，抽取总样本量为100，抽取的男生的平均身高为170 cm，抽取的女生的平均身高为160 cm，估测得到高三全体学生的平均身高为166 cm，则抽取总样本量中男生、女生人数分别为( )
A．60，40 B．70，30
C．80，20 D．90，10
A [设抽取的总样本量中男生、女生人数分别为m, n，则由题意可得
m100×170+n100×160＝166，m+n＝100，⇒m＝60，n＝40，故选A. ]
1．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生的作业负担情况，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )
A．抽签法 B．简单随机抽样
C．分层随机抽样 D．随机数法
C [根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层随机抽样．]
2．某学校高一年级有300名男生，200名女生，通过分层随机抽样的方法调查数学考试成绩，抽取总样本量为50，男生平均成绩为120分，女生平均成绩为110分，那么可以推测高一年级学生的数学平均成绩约为( )
A．110分 B．115分 C．116分 D．120分
C [由题意可得抽取的50人中，男生为30人，女生为20人，所以样本平均数w＝3050×120+2050×110＝116，所以可以估计高一年级学生的数学平均成绩为116分．]
3．(多选)某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1 200辆，6 000辆和2 000辆，为检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取46辆进行检验，则( )
A．应采用分层随机抽样法抽取
B．应采用抽签法抽取
C．三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆
D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的
ACD [由于总体按型号分为三个子总体，所以应采用分层随机抽样法抽取，A正确；设三种型号的轿车依次抽取x辆、y辆、z辆，
则有x1 200＝y6 000＝z2 000，x+y+z＝46， 解得x＝6，y＝30，z＝10．
所以三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆，故C正确；由分层随机抽样的定义可知D正确．]
4．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于________．
13 [∵360＝n120+80+60，∴n＝13．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．在分层随机抽样中，总体容量、样本容量、各层的个体数、各层抽取的样本数这四者之间有何关系？
[提示] 设总体容量为N，样本容量为n，第i(i＝1，2，…，k)层的个体数为Ni，各层抽取的样本数为ni，则niNi＝nN，这四者中，已知其中三个可以求出另外一个．
2．简单随机抽样与分层随机抽样有何区别与联系？
[提示]
3．如何用分层随机抽样中的样本平均数估计总体平均数？
[提示] 可以用M×x+N×yM+N＝MM+Nx+NM+Ny估计总体平均数W.
课时分层作业(三十八) 分层随机抽样
一、选择题
1．要完成下列两项调查：(1)某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查有关消费购买力的某项指标；(2)从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习情况．应采用的抽样方法分别是( )
A．(1)用简单随机抽样，(2)用分层随机抽样
B．(1)用分层随机抽样，(2)用其他抽样方法
C．(1)用分层随机抽样，(2)用简单随机抽样
D．(1)(2)都用分层随机抽样
C [(1)中收入差距较大，采用分层随机抽样较合适；(2)中总体个数较少，采用简单随机抽样较合适．]
2．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”很受欢迎，现工厂决定从20只“冰墩墩”，15只“雪容融”和10个北京2022年冬奥会会徽中，采用按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取一个容量为n的样本进行质量检测，若“冰墩墩”抽取了4只，则n为( )
A．3 B．2 C．5 D．9
D [n20+15+10＝420，解得n＝9．]
3．“互联网＋”时代，全民阅读的内涵已然多元化，某校为了解高中学生的阅读情况，从该校1 800名高一学生中，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为200的样本进行调查，其中女生有88人．则该校高一男生共有( )
A．1 098人 B．1 008人
C．1 000人 D．918人
B [设该校高一男生有x人．
法一：由题意可得881 800-x＝200-88x，求得x＝1 008，故选B.
法二：1 800-x1 800＝88200，求得x＝1 008，故选B.]
4．某班45名同学都参加了立定跳远和100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和100米跑合格的人数分别为30和35，两项都不合格的人数为5．现从这45名同学中按测试是否合格分层(分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅100米跑合格、两项都不合格四种)抽出9人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有( )
A．1人 B．2人 C．5人 D．6人
C [设这两项成绩均合格的人数为x，则立定跳远合格但100米跑不合格的人数为30－x，则30－x＋35＋5＝45，得x＝25，即这两项成绩均合格的有25人，则抽出来复测的同学中两项都合格的有9×2545＝5(人)，故选C.]
5．(多选)某旅行社分年龄段统计了某景区5月份的老、中、青旅客的人数比为5∶2∶3，现使用分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取n名，若青年旅客抽到60人，则下列说法正确的是( )
A．老年旅客抽到150人
B．中年旅客抽到40人
C．n＝200
D．被抽到的老年旅客和中年旅客人数之和超过200
BC [因为老、中、青旅客的人数比为5∶2∶3，青年旅客抽到60人，
所以60n＝35+2+3，解得n＝200，所以老年旅客抽到200×55+2+3＝100(人)，
中年旅客抽到200×25+2+3＝40(人)，100＋40＝140＜200．故选BC.]
二、填空题
6．一支田径队有男、女运动员98人，其中男运动员有56人．按男、女比例用分层随机抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员的人数是________．
12 [抽取女运动员的人数为98-5698×28＝12．]
7．为了解某地区对中小学生“双减”政策的落实情况，现采用分层随机抽样的方法从该地区24所小学，18所初中，12所校外培训机构中抽取9所进行调查，则应抽取初中________所．
3 [抽取初中9×1824+18+12＝3所．]
8．某分层随机抽样中，有关数据如下：
此样本的平均数为________．
3.437 5 [w＝4545+35×3+3545+35×4＝3.437 5．]
三、解答题
9．为了了解全区科级干部“党风廉政知识”的学习情况，按照分层随机抽样的方法，从全区320名正科级干部和1 280名副科级干部中抽取40名科级干部预测全区科级干部“党风廉政知识”的学习情况．现将这40名科级干部分为正科级干部组和副科级干部组，利用同一份试卷分别进行预测．经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下表：
(1)求a，b；
(2)求这40名科级干部预测成绩的平均分x.
[解] (1)样本量与总体中的个体数的比为40320+1 280＝140，
则抽取的正科级干部人数a＝320×140＝8，
副科级干部人数b＝1 280×140＝32．
(2)这40名科级干部预测成绩的平均分x＝80×8+70×3240＝72．
10．(多选)某高中3 000名学生均已接种某疫苗，现按照高一、高二、高三学生人数的比例用分层随机抽样方法，抽取一个容量为150的样本，并调查他们接种疫苗的情况，所得数据如表：
则下列判断正确的是( )
A．该校高一、高二、高三的学生人数比为10∶9∶11
B．该校高三学生的人数比高一人数多50
C．估计该校高三接种第三剂疫苗的人数为200
D．估计该校学生中第三剂疫苗的接种率不足8%
ACD [由表可知，该校高一、高二、高三的学生人数比为50∶45∶55，即10∶9∶11，A正确；高三学生人数为3 000×55150＝1 100人，高一学生人数为3 000×50150＝1 000人，故高三学生的人数比高一人数多1 100－1 000＝100人，故B错误；高三接种第三剂疫苗的人数约为3 000×10150＝200人，C正确；该校学生中第三剂疫苗的接种率约为11150≈7.33%，故D正确．故选ACD.]
11．(多选)在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人持钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法正确的是( )
A．甲应付5141109 钱
B．乙应付3224109 钱
C．丙应付1656109 钱
D．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少
ACD [依题意由分层随机抽样可知，100560+350+180＝10109，
则甲应付10109×560＝5141109(钱)；
乙应付10109×350＝3212109(钱)；
丙应付10109×180＝1656109(钱)．]
12．某校共有2 000名学生参加跑步和登山比赛，每人都参加且每人只参加其中一项比赛，各年级参加比赛的人数情况如下表：
其中a∶b∶c＝2∶5∶3，全校参加登山的人数占总人数的14.为了了解学生对本次活动的满意程度，按分层随机抽样的方式从中抽取一个容量为200的样本进行调查，则高三年级参加跑步的学生中应抽取的人数为( )
A．25 B．35 C．45 D．55
C [由题意知，全校参加跑步的人数占总人数的34，高三年级参加跑步的总人数为34×2 000×310＝450，由分层随机抽样的特征得高三年级参加跑步的学生中应抽取110×450＝45(人)．]
13．高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有350人，通过分层随机抽样的方法抽取了160个样本，得到两年级的竞赛成绩的平均分别为80分和90分，则
(1)高一、高二抽取的样本量分别为________．
(2)高一和高二数学竞赛的平均分约为________分．
(1)90，70 (2)84.375 [(1)由题意可得高一年级抽取的样本量为450450+350×160＝90，高二年级抽取的样本量为350450+350×160＝70．
(2)高一和高二数学竞赛的平均分约为w＝9090+70×80+7090+70×90＝84.375分．]
14．某企业五月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分层随机抽样的结果，该企业统计员制作了如下表格：
由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，请你根据以上信息补全表格中的数据．
[解] 根据题意，可设A产品的数量为m件，样本容量为n，则C产品的数量为(1 700－m)件，样本容量为n－10．
根据分层随机抽样的特点可得nm＝n-101 700-m＝1301 300，解得m＝900，n＝90，故补全后的表格如下．
15．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工只能参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%；登山组的职工占参加活动总人数的14，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层的职工对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取容量为200的样本．试求：
(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．
[解] (1)设登山组人数为x，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a，b，c，则有x·40%+3xb4x＝47.5%，x·10%+3xc4x＝10%.
解得b＝50%，c＝10%.
故a＝1－50%－10%＝40%.
即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占的比例为40%，50%，10%.
(2)游泳组中，抽取的青年人为200×34×40%＝60(人)；
抽取的中年人为200×34×50%＝75(人)；
抽取的老年人为200×34×10%＝15(人)．
学习任务
1．通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围．(数学抽象)
2．了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法．(数据分析)
3．结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值．(数学运算)
类别
共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单随机抽样
抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等
从总体中逐个抽取
—
总体中的个体数较少
分层随机抽样
将总体分成几层，分层进行抽取
在各层抽样时采用简单随机抽样
总体由存在明显差异的几部分组成
层数
样本量
平均数
第1层
45
3
第2层
35
4
分组
人数
平均成绩
正科级干部组
a
80
副科级干部组
b
70
年级
高一
高二
高三
只接种第一、
二剂疫苗人数
50
44
45
接种第一、二、
三剂疫苗人数
0
1
10
年级
高一年级
高二年级
高三年级
跑步人数
a
b
c
登山人数
x
y
z
产品类型
A
B
C
产品数量/件
900
1 300
800
样本容量
90
130
80
假设某地区有高中生2 400人，初中生10 900人，小学生11 000人．此地区教育部门为了了解本地区中小学生的近视情况及其形成原因，要从本地区的中小学生中抽取1%的学生进行调查．你认为应当怎样抽取样本才合理？
知识点1 分层随机抽样的相关概念
1．分层随机抽样的定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．
2．比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．
知识点2 分层随机抽样中的总体平均数与样本平均数
1．在分层随机抽样中，如果总体分为2层，两层包含的个体数分别为M，N，两层抽取的样本量分别为m，n，两层的样本平均数分别为x，y，两层的总体平均数分别为X，Y，则样本平均数w＝mm+nx+nm+ny，总体平均数W＝MM+Nx+NM+Ny．
2．在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数w估计总体平均数W.即MM+NX+NM+NY＝mm+nx+nm+ny.
分层随机抽样适合于什么样的总体？
思考 [提示] 当总体是由差异明显的几部分组成时，用分层随机抽样.
1．某校有高一学生400人，高二学生380人，高三学生220人，现教育局督导组拟采用分层随机抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查，则高一学生应抽取________人．
20 [高一学生应抽取50×400400+380+220＝20人．]
2．为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高为1.60 m；从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50 m．由此可估计我国13岁男孩的平均身高为________m．
1.56 [这500名13岁男孩的平均身高是1.6×300+1.5×200500＝1.56(m)，据此可估计我国13岁男孩的平均身高为1.56 m．]
类型1 对分层随机抽样概念的理解
【例1】 (1)某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，则下列方法最合适的是( )
A．抽签法 B．随机数法
C．简单随机抽样法 D．分层随机抽样法
(2)分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行( )
A．每层等可能抽样
B．每层可以不等可能抽样
C．所有层按同一抽样比等可能抽样
D．所有层抽取的个体数量相同
(1)D (2)C [(1)总体由差异明显的三部分构成，应选用分层随机抽样法．
(2)保证每个个体等可能的被抽取是三种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取．]
使用分层随机抽样的前提
分层随机抽样的使用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小．
[跟进训练]
1．下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是( )
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本
C．从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
B [A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合用分层随机抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层随机抽样．]
类型2 分层随机抽样的应用
【例2】 某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人．教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程．
[解] 抽样过程如下：
第一步，确定抽样比，样本容量与总体容量的比为20160＝18.
第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取16×18＝2(人)；从教师中抽取112×18＝14(人)；从后勤人员中抽取32×18＝4(人)．
第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师14人，后勤人员4人．
第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本．
1．分层随机抽样的相关计算的2个关系
(1)样本容量n总体的个数N＝该层抽取的个体数该层的个体数.
(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．
2．分层随机抽样的步骤
第一步，按某种特征将总体分成若干部分(层)；
第二步，计算各层所占比例；
第三步，计算各层抽取的个体数；
第四步，按简单随机抽样从各层抽取样本；
第五步，综合每层抽样，组成总样本．
[跟进训练]
2．(1)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为( )
A．101 B．808 C．1 212 D．2 012
(2)将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5∶3∶2．若用分层随机抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取________个个体．
(1)B (2)20 [(1)因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12，所以四个社区抽取驾驶员的比例为1296＝18，所以驾驶员的总人数为(12＋21＋25＋43)÷18＝808．
(2)∵A，B，C三层个体数之比为5∶3∶2，总体中每个个体被抽到的可能性相等，∴分层随机抽样应从C中抽取100×210＝20(个)个体．]
类型3 分层随机抽样中的平均数
【例3】 某校有初中、高中两个部门，其中初中有学生850人，高中有学生650人，小军想要进行一个视力调查，对学校按部门进行按比例分配分层随机抽样，得到初中生、高中生平均视力分别为1.0，0.8，其中样本量为60，则在初中部、高中部各抽取多少人？整个学校平均视力是多少？
[解] 初中部抽取人数为60×850850+650＝34，
高中部抽取人数为60×650850+650＝26，
学校平均视力为3460×1.0＋2660×0.8≈0.91，
所以在初中部、高中部各抽取34，26人，学校平均视力约为0.91．
样本的平均数和各层的样本平均数的关系为：w＝mm+nx+nm+ny＝MM+Nx+NM+Ny.
[跟进训练]
3．通过分层随机抽样的方法估测某校高三年级全体学生的身高水平，抽取总样本量为100，抽取的男生的平均身高为170 cm，抽取的女生的平均身高为160 cm，估测得到高三全体学生的平均身高为166 cm，则抽取总样本量中男生、女生人数分别为( )
A．60，40 B．70，30
C．80，20 D．90，10
A [设抽取的总样本量中男生、女生人数分别为m, n，则由题意可得
m100×170+n100×160＝166，m+n＝100，⇒m＝60，n＝40，故选A. ]
1．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生的作业负担情况，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )
A．抽签法 B．简单随机抽样
C．分层随机抽样 D．随机数法
C [根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层随机抽样．]
2．某学校高一年级有300名男生，200名女生，通过分层随机抽样的方法调查数学考试成绩，抽取总样本量为50，男生平均成绩为120分，女生平均成绩为110分，那么可以推测高一年级学生的数学平均成绩约为( )
A．110分 B．115分 C．116分 D．120分
C [由题意可得抽取的50人中，男生为30人，女生为20人，所以样本平均数w＝3050×120+2050×110＝116，所以可以估计高一年级学生的数学平均成绩为116分．]
3．(多选)某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1 200辆，6 000辆和2 000辆，为检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取46辆进行检验，则( )
A．应采用分层随机抽样法抽取
B．应采用抽签法抽取
C．三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆
D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的
ACD [由于总体按型号分为三个子总体，所以应采用分层随机抽样法抽取，A正确；设三种型号的轿车依次抽取x辆、y辆、z辆，
则有x1 200＝y6 000＝z2 000，x+y+z＝46， 解得x＝6，y＝30，z＝10．
所以三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆，故C正确；由分层随机抽样的定义可知D正确．]
4．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于________．
13 [∵360＝n120+80+60，∴n＝13．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．在分层随机抽样中，总体容量、样本容量、各层的个体数、各层抽取的样本数这四者之间有何关系？
[提示] 设总体容量为N，样本容量为n，第i(i＝1，2，…，k)层的个体数为Ni，各层抽取的样本数为ni，则niNi＝nN，这四者中，已知其中三个可以求出另外一个．
2．简单随机抽样与分层随机抽样有何区别与联系？
[提示]
3．如何用分层随机抽样中的样本平均数估计总体平均数？
[提示] 可以用M×x+N×yM+N＝MM+Nx+NM+Ny估计总体平均数W.
课时分层作业(三十八) 分层随机抽样
一、选择题
1．要完成下列两项调查：(1)某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查有关消费购买力的某项指标；(2)从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习情况．应采用的抽样方法分别是( )
A．(1)用简单随机抽样，(2)用分层随机抽样
B．(1)用分层随机抽样，(2)用其他抽样方法
C．(1)用分层随机抽样，(2)用简单随机抽样
D．(1)(2)都用分层随机抽样
C [(1)中收入差距较大，采用分层随机抽样较合适；(2)中总体个数较少，采用简单随机抽样较合适．]
2．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”很受欢迎，现工厂决定从20只“冰墩墩”，15只“雪容融”和10个北京2022年冬奥会会徽中，采用按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取一个容量为n的样本进行质量检测，若“冰墩墩”抽取了4只，则n为( )
A．3 B．2 C．5 D．9
D [n20+15+10＝420，解得n＝9．]
3．“互联网＋”时代，全民阅读的内涵已然多元化，某校为了解高中学生的阅读情况，从该校1 800名高一学生中，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为200的样本进行调查，其中女生有88人．则该校高一男生共有( )
A．1 098人 B．1 008人
C．1 000人 D．918人
B [设该校高一男生有x人．
法一：由题意可得881 800-x＝200-88x，求得x＝1 008，故选B.
法二：1 800-x1 800＝88200，求得x＝1 008，故选B.]
4．某班45名同学都参加了立定跳远和100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和100米跑合格的人数分别为30和35，两项都不合格的人数为5．现从这45名同学中按测试是否合格分层(分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅100米跑合格、两项都不合格四种)抽出9人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有( )
A．1人 B．2人 C．5人 D．6人
C [设这两项成绩均合格的人数为x，则立定跳远合格但100米跑不合格的人数为30－x，则30－x＋35＋5＝45，得x＝25，即这两项成绩均合格的有25人，则抽出来复测的同学中两项都合格的有9×2545＝5(人)，故选C.]
5．(多选)某旅行社分年龄段统计了某景区5月份的老、中、青旅客的人数比为5∶2∶3，现使用分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取n名，若青年旅客抽到60人，则下列说法正确的是( )
A．老年旅客抽到150人
B．中年旅客抽到40人
C．n＝200
D．被抽到的老年旅客和中年旅客人数之和超过200
BC [因为老、中、青旅客的人数比为5∶2∶3，青年旅客抽到60人，
所以60n＝35+2+3，解得n＝200，所以老年旅客抽到200×55+2+3＝100(人)，
中年旅客抽到200×25+2+3＝40(人)，100＋40＝140＜200．故选BC.]
二、填空题
6．一支田径队有男、女运动员98人，其中男运动员有56人．按男、女比例用分层随机抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员的人数是________．
12 [抽取女运动员的人数为98-5698×28＝12．]
7．为了解某地区对中小学生“双减”政策的落实情况，现采用分层随机抽样的方法从该地区24所小学，18所初中，12所校外培训机构中抽取9所进行调查，则应抽取初中________所．
3 [抽取初中9×1824+18+12＝3所．]
8．某分层随机抽样中，有关数据如下：
此样本的平均数为________．
3.437 5 [w＝4545+35×3+3545+35×4＝3.437 5．]
三、解答题
9．为了了解全区科级干部“党风廉政知识”的学习情况，按照分层随机抽样的方法，从全区320名正科级干部和1 280名副科级干部中抽取40名科级干部预测全区科级干部“党风廉政知识”的学习情况．现将这40名科级干部分为正科级干部组和副科级干部组，利用同一份试卷分别进行预测．经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下表：
(1)求a，b；
(2)求这40名科级干部预测成绩的平均分x.
[解] (1)样本量与总体中的个体数的比为40320+1 280＝140，
则抽取的正科级干部人数a＝320×140＝8，
副科级干部人数b＝1 280×140＝32．
(2)这40名科级干部预测成绩的平均分x＝80×8+70×3240＝72．
10．(多选)某高中3 000名学生均已接种某疫苗，现按照高一、高二、高三学生人数的比例用分层随机抽样方法，抽取一个容量为150的样本，并调查他们接种疫苗的情况，所得数据如表：
则下列判断正确的是( )
A．该校高一、高二、高三的学生人数比为10∶9∶11
B．该校高三学生的人数比高一人数多50
C．估计该校高三接种第三剂疫苗的人数为200
D．估计该校学生中第三剂疫苗的接种率不足8%
ACD [由表可知，该校高一、高二、高三的学生人数比为50∶45∶55，即10∶9∶11，A正确；高三学生人数为3 000×55150＝1 100人，高一学生人数为3 000×50150＝1 000人，故高三学生的人数比高一人数多1 100－1 000＝100人，故B错误；高三接种第三剂疫苗的人数约为3 000×10150＝200人，C正确；该校学生中第三剂疫苗的接种率约为11150≈7.33%，故D正确．故选ACD.]
11．(多选)在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人持钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法正确的是( )
A．甲应付5141109 钱
B．乙应付3224109 钱
C．丙应付1656109 钱
D．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少
ACD [依题意由分层随机抽样可知，100560+350+180＝10109，
则甲应付10109×560＝5141109(钱)；
乙应付10109×350＝3212109(钱)；
丙应付10109×180＝1656109(钱)．]
12．某校共有2 000名学生参加跑步和登山比赛，每人都参加且每人只参加其中一项比赛，各年级参加比赛的人数情况如下表：
其中a∶b∶c＝2∶5∶3，全校参加登山的人数占总人数的14.为了了解学生对本次活动的满意程度，按分层随机抽样的方式从中抽取一个容量为200的样本进行调查，则高三年级参加跑步的学生中应抽取的人数为( )
A．25 B．35 C．45 D．55
C [由题意知，全校参加跑步的人数占总人数的34，高三年级参加跑步的总人数为34×2 000×310＝450，由分层随机抽样的特征得高三年级参加跑步的学生中应抽取110×450＝45(人)．]
13．高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有350人，通过分层随机抽样的方法抽取了160个样本，得到两年级的竞赛成绩的平均分别为80分和90分，则
(1)高一、高二抽取的样本量分别为________．
(2)高一和高二数学竞赛的平均分约为________分．
(1)90，70 (2)84.375 [(1)由题意可得高一年级抽取的样本量为450450+350×160＝90，高二年级抽取的样本量为350450+350×160＝70．
(2)高一和高二数学竞赛的平均分约为w＝9090+70×80+7090+70×90＝84.375分．]
14．某企业五月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分层随机抽样的结果，该企业统计员制作了如下表格：
由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，请你根据以上信息补全表格中的数据．
[解] 根据题意，可设A产品的数量为m件，样本容量为n，则C产品的数量为(1 700－m)件，样本容量为n－10．
根据分层随机抽样的特点可得nm＝n-101 700-m＝1301 300，解得m＝900，n＝90，故补全后的表格如下．
15．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工只能参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%；登山组的职工占参加活动总人数的14，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层的职工对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取容量为200的样本．试求：
(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．
[解] (1)设登山组人数为x，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a，b，c，则有x·40%+3xb4x＝47.5%，x·10%+3xc4x＝10%.
解得b＝50%，c＝10%.
故a＝1－50%－10%＝40%.
即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占的比例为40%，50%，10%.
(2)游泳组中，抽取的青年人为200×34×40%＝60(人)；
抽取的中年人为200×34×50%＝75(人)；
抽取的老年人为200×34×10%＝15(人)．
学习任务
1．通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围．(数学抽象)
2．了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法．(数据分析)
3．结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值．(数学运算)
类别
共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单随机抽样
抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等
从总体中逐个抽取
—
总体中的个体数较少
分层随机抽样
将总体分成几层，分层进行抽取
在各层抽样时采用简单随机抽样
总体由存在明显差异的几部分组成
层数
样本量
平均数
第1层
45
3
第2层
35
4
分组
人数
平均成绩
正科级干部组
a
80
副科级干部组
b
70
年级
高一
高二
高三
只接种第一、
二剂疫苗人数
50
44
45
接种第一、二、
三剂疫苗人数
0
1
10
年级
高一年级
高二年级
高三年级
跑步人数
a
b
c
登山人数
x
y
z
产品类型
A
B
C
产品数量/件
900
1 300
800
样本容量
90
130
80
相关学案
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