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专题09 数列的通项公式、数列求和及综合应用（练习）-2024年高考数学二轮复习练习（新教材新高考）
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这是一份专题09 数列的通项公式、数列求和及综合应用（练习）-2024年高考数学二轮复习练习（新教材新高考），文件包含专题09数列的通项公式数列求和及综合应用练习原卷版docx、专题09数列的通项公式数列求和及综合应用练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共69页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题09 数列的通项公式、数列求和及综合应用
目 录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc153920615" 01 等差、等比数列的基本量问题 PAGEREF _Tc153920615 \h 1
\l "_Tc153920616" 02 证明等差等比数列 PAGEREF _Tc153920616 \h 2
\l "_Tc153920617" 03 等差等比数列的交汇问题 PAGEREF _Tc153920617 \h 4
\l "_Tc153920618" 04 数列的通项公式 PAGEREF _Tc153920618 \h 4
\l "_Tc153920619" 05 数列求和 PAGEREF _Tc153920619 \h 7
\l "_Tc153920620" 06 数列性质的综合问题 PAGEREF _Tc153920620 \h 13
\l "_Tc153920621" 07 实际应用中的数列问题 PAGEREF _Tc153920621 \h 14
\l "_Tc153920622" 08 以数列为载体的情境题 PAGEREF _Tc153920622 \h 16
\l "_Tc153920623" 09 数列的递推问题 PAGEREF _Tc153920623 \h 17
01 等差、等比数列的基本量问题
1．（2023·重庆·高三统考阶段练习）已知数列满足，，记，则有（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·云南·怒江傈僳族自治州民族中学校联考一模）已知等比数列的前项和为，，，则（ ）
A．29B．31C．33D．36
3．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知等差数列，其前项和为，若，且满足，，成等比数列，则等于（ ）
A．或B．C．D．2
4．（2023·辽宁·高三校联考阶段练习）在等比数列中，已知，，则（ ）
A．B．42C．D．
5．（2023·全国·模拟预测）已知数列为等差数列，其前项和为，且，，则（ ）
A．63B．72C．135D．144
6．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知数列对任意满足，则（ ）
A．3032B．3035C．3038D．3041
02 证明等差等比数列
7．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期中）已知数列中，，
(1)求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；
8．（2023·上海·高三上海市宜川中学校考期中）已知数列、的各项均为正数，且对任意，都有，，成等差数列，，，成等比数列，且，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列、的通项公式．
9．（2023·福建厦门·高三厦门外国语学校校考阶段练习）设是数列的前项和，已知
(1)求，并证明：是等比数列；
(2)求满足的所有正整数.
10．（2023·山东日照·高三校联考期末）已知数列的各项均为非零实数，其前项和为，且.
(1)若，求的值；
(2)若，，求证：数列是等差数列，并求其前项和.
03 等差等比数列的交汇问题
11．（2023·高二课时练习）已知数列的前n项和为，若，，，成等差数列，则 ．
12．（2023·广西·校联考模拟预测）已知数列的前n项和为．且，是公差为的等差数列，则 ．
13．（2023•甲卷）记为数列的前项和．已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若，，成等比数列，求的最小值．
14．（2023•乙卷）设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前项和．证明：．
15．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知数列是公差为的等差数列，设，若存在常数，使得数列为等比数列，则的值为 .
04 数列的通项公式
16．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，．求数列的通项公式．
17．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，设，求数列的通项公式.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知：，时，，求的通项公式．
19．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式．
20．（2023·江西·高一统考期中）设数列的前n项和为Sn，满足，且成等差数列．
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足递推关系：，且，，求数列的通项公式.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：求.
23．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{an}的前n项和为，，，求{an}的通项.
24．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式．
25．（2023·全国·高三专题练习）已知，，求的通项公式．
26．（2023·全国·高三专题练习）设，数列满足，，求数列的通项公式．
27．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式．
28．（2023·广东江门·高三江门市第一中学校考阶段练习）数列中，，且，则等于 .
29．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，，求
05 数列求和
30．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知数列满足：（），数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求.
31．（2023·天津河东·高三校考阶段练习）已知数列为等差数列，是公比不为0的等比数列，，，，．
(1)求，；
(2)设，求数列{cn}的前n项的和；
(3)设，求数列的前n项的和
32．（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考一模）已知数列为等比数列，首项，公比，且是关于的方程的根.其中为常数.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求使的的最大值.
33．（2023·山西临汾·校考模拟预测）已知数列的前项和为，是首项为1，公差为1的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，证明：．
34．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)若，记数列的前99项和为，求.
35．（2023·四川自贡·统考一模）已知数列的前顶和为.且.
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列中，，求数列的前项和.
36．（2023·全国·模拟预测）已知数列中，，且．
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和．
37．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：.
38．（2023·黑龙江大庆·高三校考阶段练习）为数列的前项和.已知，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和为，证明.
39．（2023·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知数列满足，，设的前项积为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求证：．
40．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）已知数列和满足：，，，，其中．
(1)求证：；
(2)求数列的前项和．
41．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)求证：函数的图象关于点对称；
(2)求的值．
42．（2023·河北邢台·高二校联考阶段练习）已知数列满足.
(1)证明：数列是等比数列.
(2)求数列的前项和.
43．（2023·山东潍坊·高三校考阶段练习）已知数列的前项和为，且.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求使得的最小正整数.
44．（2023·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，且满足，数列满足．
(1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)已知数列满足求数列的前项和．
45．（2023•新高考Ⅱ）已知为等差数列，，记，为，的前项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：当时，．
46．（2023•新高考Ⅰ）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
06 数列性质的综合问题
47．（2023·浙江·高三校联考阶段练习）已知单调递增的数列满足、、成等比数列，、、成等差数列，则的取值范围是 .
48．（2023·四川雅安·高三校联考期中）已知数列满足，，若对于任意正整数，都有，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
49．（2023·辽宁·高三校联考期中）设是公差为2的等差数列，为其前n项和，若为递增数列，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
50．（2023·陕西榆林·高三校考期中）已知数列满足，若，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
51．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，对任意的，均有成立，则的值的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
52．（2023·陕西榆林·高三校考期中）已知数列中，其前项和为，且满足，数列的前项和为，若对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
53．（2023·陕西西安·高三校考阶段练习）首项为的等差数列，从第项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
54．（2023·北京·高三强基计划）设三个实数a，b，c组成等比数列，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．前三个答案都不对
55．（2023·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校考期中）设数列的前项和为，，且，若存在，使得成立，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
56．（2023·湖北荆州·高三公安县车胤中学校考阶段练习）已知数列通项公式为，若对任意，都有则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
07 实际应用中的数列问题
57．（2023·湖北·高二湖北省鄂州高中校联考期中）某人从2023年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的线数约为（ ）（单位：万元）
参考数据：
A．2.438B．19.9C．22.3D．24.3
58．（2023·河南南阳·高二统考期中）小李年初向银行贷款万元用于购房，购房贷款的年利率为，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分次等额还清，每年次，问每年应还（ ）万元.
A．B．C．D．
59．（2023·江西吉安·高三吉安三中校考阶段练习）某公司有10名股东，其中任何六名股东所持股份之和不少于总股份的一半，则下列选项错误的是（ ）
A．公司持股最少的5位股东所持股份之和可以等于总股份的
B．公司持股较多的5位股东所持股份均不少于总股份的
C．公司持股最大的股东所持股份不超过总股份的
D．公司持股较多的2位股东所持股份之和可以超过总股份的
60．（2023·河南·高二校联考期末）中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，二十大报告提出：尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．必须牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，站在人与自然和谐共生的高度谋划发展．某市为了改善当地生态环境，计划通过五年时间治理市区湖泊污染，并将其建造成环湖风光带，预计第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万元，则这五年的投入资金总额与旅游收入总额分别为（ ）．
A．781万元，60万元B．525万元，200万元
C．781万元，200万元D．1122万元，270万元
61．（2023·山东·高二山东师范大学附中校考期末）如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令为数列的前项和，则（ ）
A．8B．9C．10D．11
62．（2023·湖南岳阳·统考一模）核电站只需消耗很少的核燃料，就可以产生大量的电能，每千瓦时电能的成本比火电站要低20%以上.核电无污染，几乎是零排放，对于环境压力较大的中国来说，符合能源产业的发展方向，2021年10月26日，国务院发布《2030年前碳达峰行动方案》，提出要积极安全有序发展核电.但核电造福人类时，核电站的核泄漏核污染也时时威胁着人类，如2011年，日本大地震导致福岛第一核电站发生爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物是锶90，它每年的衰减率为2.47%.专家估计，要基本消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年，到那时，原有的锶90大约剩（ ）（参考数据）
A．B．C．D．
08 以数列为载体的情境题
63．（2023·山东淄博·高三统考期中）若项数为n的数列，满足：，我们称其为n项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列为项的“对称数列”，其中，，，是公差为的等差数列，数列的最小项等于，记数列的前项和为，若，则的值为 ．
64．（2023·上海·高三上海中学校考期中）给定一张的数表（如下表），
统计，，，中各数出现次数．若对任意，1，，n，均满足数k恰好出现次，则称之为阶自指表，举例来说，下表是一张4阶自指表．
对于如下的一张7阶自指表．记，N的所有可能值为 ．
65．（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）对于数列，由作通项得到的数列，称为数列的差分数列，已知数列为数列的差分数列，且是以1为首项以2为公差的等差数列，则 ．
66．（2023·广东·高三校联考阶段练习），为一个有序实数组，表示把A中每个-1都变为，0，每个0都变为，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，例如：，则．定义，，若，中有项为1，则的前项和为 ．
67．（2023·山东·高三校联考阶段练习）若项数为的数列满足：我们称其为项的“对称数列”．例如：数列为项的“对称数列”；数列为项的“对称数列”．设数列为项的“对称数列”，其中是公差为的等差数列，数列的最大项等于，记数列的前项和为，若，则 ．
09 数列的递推问题
68．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）如图，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．规则：1．每次只能移动1个金属片；2．较大的金属片不能放在较小的金属片上面．请你试着推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动 次？
69．（2023·河北唐山·高三开滦第二中学校考期中）数学的发展推动着科技的进步，技术的蓬勃发展得益于线性代数､群论等数学知识的应用.目前某区域市场中智能终端产品的制造仅能由公司和公司提供技术支持.据市场调研预测，商用初期，该区域市场中采用公司与公司技术的智能终端产品分别占比及.假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用公司技术的产品中有转而采用公司技术，采用公司技术的仅有转而采用公司技术.设第次技术更新后，该区域市场中采用公司与公司技术的智能终端产品占比分别为及，不考虑其他因素的影响.
(1)用表示，并求实数，使是等比数列.
(2)经过若干次技术更新后该区域市场采用公司技术的智能终端产品占比能否超过？若能，至少需要经过几次技术更新？若不能，请说明理由.（参考数据：）
70．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）甲、乙、丙三个小学生相互抛沙包，第一次由甲抛出，每次抛出时，抛沙包者等可能的将沙包抛给另外两个人中的任何一个，设第（）次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为，在丙手中的方法数为.
(1)求证：数列为等比数列，并求出的通项；
(2)求证：当n为偶数时，.
71．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）如图，已知曲线及曲线．从上的点作直线平行于轴，交曲线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点，点的横坐标构成数列．
(1)试求与之间的关系，并证明：；
(2)若，求的通项公式．
0
1
2
3
n
0
1
2
3
1
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题09 数列的通项公式、数列求和及综合应用
目 录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc153920615" 01 等差、等比数列的基本量问题 PAGEREF _Tc153920615 \h 1
\l "_Tc153920616" 02 证明等差等比数列 PAGEREF _Tc153920616 \h 2
\l "_Tc153920617" 03 等差等比数列的交汇问题 PAGEREF _Tc153920617 \h 4
\l "_Tc153920618" 04 数列的通项公式 PAGEREF _Tc153920618 \h 4
\l "_Tc153920619" 05 数列求和 PAGEREF _Tc153920619 \h 7
\l "_Tc153920620" 06 数列性质的综合问题 PAGEREF _Tc153920620 \h 13
\l "_Tc153920621" 07 实际应用中的数列问题 PAGEREF _Tc153920621 \h 14
\l "_Tc153920622" 08 以数列为载体的情境题 PAGEREF _Tc153920622 \h 16
\l "_Tc153920623" 09 数列的递推问题 PAGEREF _Tc153920623 \h 17
01 等差、等比数列的基本量问题
1．（2023·重庆·高三统考阶段练习）已知数列满足，，记，则有（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·云南·怒江傈僳族自治州民族中学校联考一模）已知等比数列的前项和为，，，则（ ）
A．29B．31C．33D．36
3．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知等差数列，其前项和为，若，且满足，，成等比数列，则等于（ ）
A．或B．C．D．2
4．（2023·辽宁·高三校联考阶段练习）在等比数列中，已知，，则（ ）
A．B．42C．D．
5．（2023·全国·模拟预测）已知数列为等差数列，其前项和为，且，，则（ ）
A．63B．72C．135D．144
6．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知数列对任意满足，则（ ）
A．3032B．3035C．3038D．3041
02 证明等差等比数列
7．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期中）已知数列中，，
(1)求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；
8．（2023·上海·高三上海市宜川中学校考期中）已知数列、的各项均为正数，且对任意，都有，，成等差数列，，，成等比数列，且，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列、的通项公式．
9．（2023·福建厦门·高三厦门外国语学校校考阶段练习）设是数列的前项和，已知
(1)求，并证明：是等比数列；
(2)求满足的所有正整数.
10．（2023·山东日照·高三校联考期末）已知数列的各项均为非零实数，其前项和为，且.
(1)若，求的值；
(2)若，，求证：数列是等差数列，并求其前项和.
03 等差等比数列的交汇问题
11．（2023·高二课时练习）已知数列的前n项和为，若，，，成等差数列，则 ．
12．（2023·广西·校联考模拟预测）已知数列的前n项和为．且，是公差为的等差数列，则 ．
13．（2023•甲卷）记为数列的前项和．已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若，，成等比数列，求的最小值．
14．（2023•乙卷）设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前项和．证明：．
15．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知数列是公差为的等差数列，设，若存在常数，使得数列为等比数列，则的值为 .
04 数列的通项公式
16．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，．求数列的通项公式．
17．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，设，求数列的通项公式.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知：，时，，求的通项公式．
19．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式．
20．（2023·江西·高一统考期中）设数列的前n项和为Sn，满足，且成等差数列．
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足递推关系：，且，，求数列的通项公式.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：求.
23．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{an}的前n项和为，，，求{an}的通项.
24．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式．
25．（2023·全国·高三专题练习）已知，，求的通项公式．
26．（2023·全国·高三专题练习）设，数列满足，，求数列的通项公式．
27．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式．
28．（2023·广东江门·高三江门市第一中学校考阶段练习）数列中，，且，则等于 .
29．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，，求
05 数列求和
30．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知数列满足：（），数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求.
31．（2023·天津河东·高三校考阶段练习）已知数列为等差数列，是公比不为0的等比数列，，，，．
(1)求，；
(2)设，求数列{cn}的前n项的和；
(3)设，求数列的前n项的和
32．（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考一模）已知数列为等比数列，首项，公比，且是关于的方程的根.其中为常数.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求使的的最大值.
33．（2023·山西临汾·校考模拟预测）已知数列的前项和为，是首项为1，公差为1的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，证明：．
34．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)若，记数列的前99项和为，求.
35．（2023·四川自贡·统考一模）已知数列的前顶和为.且.
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列中，，求数列的前项和.
36．（2023·全国·模拟预测）已知数列中，，且．
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和．
37．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：.
38．（2023·黑龙江大庆·高三校考阶段练习）为数列的前项和.已知，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和为，证明.
39．（2023·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知数列满足，，设的前项积为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求证：．
40．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）已知数列和满足：，，，，其中．
(1)求证：；
(2)求数列的前项和．
41．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)求证：函数的图象关于点对称；
(2)求的值．
42．（2023·河北邢台·高二校联考阶段练习）已知数列满足.
(1)证明：数列是等比数列.
(2)求数列的前项和.
43．（2023·山东潍坊·高三校考阶段练习）已知数列的前项和为，且.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求使得的最小正整数.
44．（2023·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，且满足，数列满足．
(1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)已知数列满足求数列的前项和．
45．（2023•新高考Ⅱ）已知为等差数列，，记，为，的前项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：当时，．
46．（2023•新高考Ⅰ）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
06 数列性质的综合问题
47．（2023·浙江·高三校联考阶段练习）已知单调递增的数列满足、、成等比数列，、、成等差数列，则的取值范围是 .
48．（2023·四川雅安·高三校联考期中）已知数列满足，，若对于任意正整数，都有，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
49．（2023·辽宁·高三校联考期中）设是公差为2的等差数列，为其前n项和，若为递增数列，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
50．（2023·陕西榆林·高三校考期中）已知数列满足，若，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
51．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，对任意的，均有成立，则的值的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
52．（2023·陕西榆林·高三校考期中）已知数列中，其前项和为，且满足，数列的前项和为，若对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
53．（2023·陕西西安·高三校考阶段练习）首项为的等差数列，从第项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
54．（2023·北京·高三强基计划）设三个实数a，b，c组成等比数列，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．前三个答案都不对
55．（2023·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校考期中）设数列的前项和为，，且，若存在，使得成立，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
56．（2023·湖北荆州·高三公安县车胤中学校考阶段练习）已知数列通项公式为，若对任意，都有则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
07 实际应用中的数列问题
57．（2023·湖北·高二湖北省鄂州高中校联考期中）某人从2023年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的线数约为（ ）（单位：万元）
参考数据：
A．2.438B．19.9C．22.3D．24.3
58．（2023·河南南阳·高二统考期中）小李年初向银行贷款万元用于购房，购房贷款的年利率为，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分次等额还清，每年次，问每年应还（ ）万元.
A．B．C．D．
59．（2023·江西吉安·高三吉安三中校考阶段练习）某公司有10名股东，其中任何六名股东所持股份之和不少于总股份的一半，则下列选项错误的是（ ）
A．公司持股最少的5位股东所持股份之和可以等于总股份的
B．公司持股较多的5位股东所持股份均不少于总股份的
C．公司持股最大的股东所持股份不超过总股份的
D．公司持股较多的2位股东所持股份之和可以超过总股份的
60．（2023·河南·高二校联考期末）中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，二十大报告提出：尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．必须牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，站在人与自然和谐共生的高度谋划发展．某市为了改善当地生态环境，计划通过五年时间治理市区湖泊污染，并将其建造成环湖风光带，预计第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万元，则这五年的投入资金总额与旅游收入总额分别为（ ）．
A．781万元，60万元B．525万元，200万元
C．781万元，200万元D．1122万元，270万元
61．（2023·山东·高二山东师范大学附中校考期末）如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令为数列的前项和，则（ ）
A．8B．9C．10D．11
62．（2023·湖南岳阳·统考一模）核电站只需消耗很少的核燃料，就可以产生大量的电能，每千瓦时电能的成本比火电站要低20%以上.核电无污染，几乎是零排放，对于环境压力较大的中国来说，符合能源产业的发展方向，2021年10月26日，国务院发布《2030年前碳达峰行动方案》，提出要积极安全有序发展核电.但核电造福人类时，核电站的核泄漏核污染也时时威胁着人类，如2011年，日本大地震导致福岛第一核电站发生爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物是锶90，它每年的衰减率为2.47%.专家估计，要基本消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年，到那时，原有的锶90大约剩（ ）（参考数据）
A．B．C．D．
08 以数列为载体的情境题
63．（2023·山东淄博·高三统考期中）若项数为n的数列，满足：，我们称其为n项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列为项的“对称数列”，其中，，，是公差为的等差数列，数列的最小项等于，记数列的前项和为，若，则的值为 ．
64．（2023·上海·高三上海中学校考期中）给定一张的数表（如下表），
统计，，，中各数出现次数．若对任意，1，，n，均满足数k恰好出现次，则称之为阶自指表，举例来说，下表是一张4阶自指表．
对于如下的一张7阶自指表．记，N的所有可能值为 ．
65．（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）对于数列，由作通项得到的数列，称为数列的差分数列，已知数列为数列的差分数列，且是以1为首项以2为公差的等差数列，则 ．
66．（2023·广东·高三校联考阶段练习），为一个有序实数组，表示把A中每个-1都变为，0，每个0都变为，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，例如：，则．定义，，若，中有项为1，则的前项和为 ．
67．（2023·山东·高三校联考阶段练习）若项数为的数列满足：我们称其为项的“对称数列”．例如：数列为项的“对称数列”；数列为项的“对称数列”．设数列为项的“对称数列”，其中是公差为的等差数列，数列的最大项等于，记数列的前项和为，若，则 ．
09 数列的递推问题
68．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）如图，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．规则：1．每次只能移动1个金属片；2．较大的金属片不能放在较小的金属片上面．请你试着推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动 次？
69．（2023·河北唐山·高三开滦第二中学校考期中）数学的发展推动着科技的进步，技术的蓬勃发展得益于线性代数､群论等数学知识的应用.目前某区域市场中智能终端产品的制造仅能由公司和公司提供技术支持.据市场调研预测，商用初期，该区域市场中采用公司与公司技术的智能终端产品分别占比及.假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用公司技术的产品中有转而采用公司技术，采用公司技术的仅有转而采用公司技术.设第次技术更新后，该区域市场中采用公司与公司技术的智能终端产品占比分别为及，不考虑其他因素的影响.
(1)用表示，并求实数，使是等比数列.
(2)经过若干次技术更新后该区域市场采用公司技术的智能终端产品占比能否超过？若能，至少需要经过几次技术更新？若不能，请说明理由.（参考数据：）
70．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）甲、乙、丙三个小学生相互抛沙包，第一次由甲抛出，每次抛出时，抛沙包者等可能的将沙包抛给另外两个人中的任何一个，设第（）次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为，在丙手中的方法数为.
(1)求证：数列为等比数列，并求出的通项；
(2)求证：当n为偶数时，.
71．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）如图，已知曲线及曲线．从上的点作直线平行于轴，交曲线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点，点的横坐标构成数列．
(1)试求与之间的关系，并证明：；
(2)若，求的通项公式．
0
1
2
3
n
0
1
2
3
1
2
1
0
0
1
2
3
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