专题10 数列不等式的放缩问题+（7大核心考点）（讲义）-2024年高考数学二轮复习讲义（新教材新高考）

这是一份专题10 数列不等式的放缩问题+（7大核心考点）（讲义）-2024年高考数学二轮复习讲义（新教材新高考），文件包含专题10数列不等式的放缩问题7大核心考点讲义原卷版docx、专题10数列不等式的放缩问题7大核心考点讲义解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。

一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题10 数列不等式的放缩问题
【目录】
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc154171603" PAGEREF _Tc154171603 \h 1
\l "_Tc154171604" PAGEREF _Tc154171604 \h 2
\l "_Tc154171605" PAGEREF _Tc154171605 \h 3
\l "_Tc154171606" PAGEREF _Tc154171606 \h 4
\l "_Tc154171607" PAGEREF _Tc154171607 \h 10
\l "_Tc154171608" 考点一：先求和后放缩 PAGEREF _Tc154171608 \h 10
\l "_Tc154171609" 考点二：裂项放缩 PAGEREF _Tc154171609 \h 13
\l "_Tc154171610" 考点三：等比放缩 PAGEREF _Tc154171610 \h 16
\l "_Tc154171611" 考点四： 型不等式的证明 PAGEREF _Tc154171611 \h 18
\l "_Tc154171612" 考点五：型不等式的证明 PAGEREF _Tc154171612 \h 22
\l "_Tc154171613" 考点六：型不等式的证明 PAGEREF _Tc154171613 \h 25
\l "_Tc154171614" 考点七：型不等式的证明 PAGEREF _Tc154171614 \h 29
数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度.此类问题往往从通项公式入手，若需要放缩也是考虑对通项公式进行变形；在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向可裂项相消的数列与等比数列进行靠拢．

常见放缩公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）．
（14）．
（15）二项式定理
①由于，
于是
②，
；
，
（16）糖水不等式
若，则；若，则．
1．（2023•新高考Ⅱ）已知为等差数列，，记，为，的前项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：当时，．
【解析】（1）设等差数列的公差为，
，为的前项和，，，
则，即，解得，
故；
（2）证明：由（1）可知，，
，
当为偶数时，，
，
，
当为奇数时，，，
，
故原式得证．
2．（2022•新高考Ⅰ）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
【解析】（1）已知，是公差为的等差数列，
所以，整理得，①，
故当时，，②，
①②得：，
故，
化简得：，，，，；
所以，
故（首项符合通项）．
所以．
证明：（2）由于，
所以，
所以．
3．（2021•乙卷）设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前项和．证明：．
【解析】（1），，成等差数列，，
是首项为1的等比数列，设其公比为，
则，，
，
．
（2）证明：由（1）知，，
，
，①
，②
①②得，，
，
，
．
4．（2021•天津）已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列是公比大于0的等比数列，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，．
证明：是等比数列；
证明：．
【解析】证明：（1）由数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64，
可得，解得，
所以，；
由数列是公比大于0的等比数列，，，
可得，解得舍去），
所以，；
（2）证明：因为，，
所以，
则
，
所以，
又，
所以数列是以8为首项，4为公比的等比数列；
证明：设，
考虑，则，
所以，
则，
两式相减可得，，
所以，
则，
故．
5．（2021•新高考Ⅱ）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求使成立的的最小值．
【解析】（Ⅰ）数列是公差不为0的等差数列的前项和，若，．
根据等差数列的性质，，故，
根据可得，
整理得，可得不合题意），
故．
（Ⅱ），，
，
，即，
整理可得，
当或时，成立，
由于为正整数，
故的最小正值为7．
6．（2021•浙江）已知数列的前项和为，，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，记的前项和为，若对任意恒成立，
求实数的取值范围．
【解析】（Ⅰ）由 可得，
两式作差，可得：，
，
很明显，，
所以数列 是以为首项，为公比的等比数列，
其通项公式为：．
（Ⅱ）由，得，
，
，
两式作差可得：
，
则．
据此可得 恒成立，即 恒成立．
时不等式成立；
时，，由于时，故；
时，，而，故：；
综上可得，．
考点一：先求和后放缩
例1．（2023·广西玉林·校联考模拟预测）记为数列的前项和，已知，．
(1)证明：当时，数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：．
【解析】（1）证明：因为，，为数列的前项和，
当时，，
当时，由①，可得②，
①②可得，即，所以，，
又因为，则当时，数列是等比数列，其公比为，
即当时，，则，
不满足，所以，.
（2）证明：，
则
.
综上，对任意的，.
例2．（2023·全国·模拟预测）已知是数列的前项和，，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式．
(2)设，数列的前项和为，证明：．
【解析】（1）由成等比数列，
得，
所以．
整理，得，则．
又，
所以是以2为首项，3为公差的等差数列，
所以，即．
当时，，
所以．
当时，不符合上式．
故.
（2）由（1）可知，，
所以
，
所以，
故．
例3．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，且满足．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)若，数列的前n项和为，证明：．
【解析】（1）由得，则当时，有，
两式相减得，
整理得，即，
因此数列是以为公比的等比数列．
（2）由（1）及可得，
因此．
于是，
所以
，
由于，所以，
故．
例4．（2023·辽宁大连·高三校联考期中）已知为数列的前项和，，，记.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，记数列的前项和为，求证：.
【解析】（1）由，得，，
则，，，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，
，
.
（2），
，
，
当为奇数时，，
当为偶数时，，由，可知是递增数列，
，
综上，.
考点二：裂项放缩
例5．（2023·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知数列满足，数列的首项为2，且满足
(1)求和的通项公式
(2)记集合，若集合的元素个数为2，求实数的取值范围．
(3)设，证明：．
【解析】（1）由可得：
时，，
相减可得，故，
当时，也符合上式，故，
由可得，所以数列为公差为0的等差数列，且首项为2，
所以，则.
（2）由和可得，
记，则，
所以，
当时，，当时，，此时单调递减，
而,
由于集合M的元素个数为2，所以，故.
（3）由得，，
由于，
因此
.
例6．（2023·江苏苏州·高三统考期中）已知数列满足，，且．
(1)令，求；
(2)记的前n和为，求证：．
【解析】（1）因为，所以，
因为，所以，
因为，所以时，
，
也适合，
所以．
（2）因为，故，
又因为，则，可知，
所以，
而，所以，
所以，
所以，
所以．
例7．（2023·江西萍乡·高三统考期中）已知正项数列中，，前项和为，且__________.请在①②中任选一个条件填在题目横线上，再作答：①，②.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
【解析】（1）若选①: 由，得，
即，
因为为正项数列，所以，是公差为2的等差数列，
由，得；
若选②：，当时，，
两式作差得：，则，
两式作差得，
即，所以数列为等差数列，
时，，可得，
公差，则；
（2）由（1）知，，
又，
考点三：等比放缩
例8．（2023·山东青岛·高三山东省青岛第十九中学校考期中）数列是等差数列，数列是等比数列，满足：，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)数列和的公共项组成的数列记为，求的通项公式；
(3)记数列的前项和为，证明：
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由可得，易知，所以，解得；
又可得，可得；
由可得，即；
因此可得，；
所以数列和的通项公式为.
（2）数列和的公共项需满足，
可得，即是4的整数倍，
可知，由二项式定理可知若是4的倍数，则为正数，即；
所以可得，
即的通项公式为
（3）易知，显然对于都成立，
所以对于都成立，
即
，
即可得.
例9．（2023·河南·高三校联考期中）已知数列的前n项和为，且．
(1)求；
(2)若，记数列的前n项和为，求证：．
【解析】（1）当时，，解得；
当时，，，则，
因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即；
（2）由（1）知，
依题意，
因为，，则，即；
因为，
所以，
而，
故，即．
综上所述，．
例10．（2023·黑龙江·高三校联考阶段练习）已知数列的首项，是与的等差中项．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)证明：．
【解析】（1）由题设，又，
所以是首项、公比均为2的等比数列.
（2）由（1）知：，则，显然时成立，
当有，此时，
综上，，得证.
考点四： 型不等式的证明
例11．（2023·北京通州·高三统考期中）已知数列的各项均为正数，且满足（，且）.
(1)若；
（i）请写出一个满足条件的数列的前四项；
（ii）求证：存在，使得成立；
(2)设数列的前项和为，求证：.
【解析】（1）（i）∵即，
又，则，
∴满足条件的数列的前四项可以为：.
（ii）∵（，且），
∴，
，
，
，
累加得，则，
则，
∵，
∴，
不妨令，
故存在，使得成立；
（2）由（1）知：，
同理∵即，
∴，
，
，
∴，则
则，
，
，
，
，
累加得：，
故：.
例12．（2023·江苏盐城·高三统考期中）“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”，“大衍数列”来源于《乾坤谱》，用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.“大衍数列”的前几项分别是：0，2，4，8，12，18，24，…，且满足其中.
(1)求（用表示）；
(2)设数列满足：其中，是的前项的积，求证：，.
【解析】（1），
∴.
（2）由（1）知，，，
而也满足上式，故，
∴ 且，故且，即，
∴，则，
令且，则，即在上递减，
所以，即在上恒成立，故（当且仅当时取等号），
所以，，即，，证毕.
例13．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）设数列的前n项之积为，满足（）.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项之和为，证明：.
【解析】（1）∵数列的前n项之积为，满足（），
时，，解得.
∴时，，化为， 变形为，
又，∴，，
数列是首项为4公比为2的等比数列，∴.
（2）先证明左边：即证明，
由（1）可得：，解得，
又由，解得，
又，
所以，
再证明右边：.
∴，
下面证明，
即证明，
设，，
则，即证明，.
设，，，
则函数在上单调递增，∴，
即，，
∴.
∴.
例14．（2023·山西太原·高三统考期中）已知为单调递增的等比数列，，记，分别是数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
【解析】（1）由题意设的公比为q（），
则，
∴，
由，解得，∴；
（2）由（1）得，
①当（）时，
；
②当（）时，
；
综上，当时，．
考点五：型不等式的证明
例15．（2023·广东佛山·高一佛山一中校考期中）已知数列满足，且，
（1）求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）记，求；
（3）是否存在实数k，使得对任意都成立？若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为，所以，即，所以，所以是等差数列，公差为2， ，
，所以．
（2）由（1），
所以．
（3）假设存在实数k，使得对任意都成立，
因为，
所以，
不等式化为，
，
设，
设，则，，
，所以，所以是递增数列，
，
所以．
所以存在实数k，使得对任意都成立，且．
例16．（2023·福建厦门·高一厦门外国语学校阶段练习）已知数列的满足，且,记.
(1)求证：为等差数列，并求的通项公式；
(2)设，求的值；
(3)是否存在正实数，使得对任意都成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
【解析】(1) ,
所以是以为首项，2为公差的等差数列,
.
（2） ,
,
.
(3) 左边
,
由题意可知,对任意恒成立,
令 ,则由对钩函数的性质可知
在上单调递增，故，
综上可以，即正实数的取值范围为.
例17．（2023·广东深圳·高三红岭中学校考阶段练习）设数列满足，，令.
(1)试证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)是否存在常数，使得数列是等比数列？请说明理由.
(3)令，是否存在实数，使得对一切都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由，得，
即,故，而，
∴，即，
∴数列是以首项为，公差为1的等差数列，故．
（2）由（1），设，
若存在常数c，使是等比数列，则，
即，解得.
经检验，c=0复合题意，
所以，存在唯一的常数，使是等比数列.
（3）设，
则.
∵
∴，即数列是递减数列，故．
要使不等式对一切都成立，
只要，即，， 解得.
因此， 存在大于实数，使不等式对一切都成立．
考点六：型不等式的证明
例18．（2023·福建·高二福建师大附中校考期中）已知函数的最小值为0，其中．
(1)求的值；
(2)若对任意的，有成立，求实数的最小值；
(3)证明：．
【解析】（1）由函数，则其定义域为，且.
由，得:，又由，得:，
在单调递减，在单调递增，
；
（2）设，
则在恒成立等价于，
注意到，又，
①当时，由得.
在单减，单增，这与式矛盾；
②当时，在恒成立，符合，
的最小值为；
（3）由（2）知：令得：，
令得：
当时，(1)；
当时，，
，
，
将(1)(2)(3),,(n)式相加得：
不等式左边：
；
不等式右边：
；
所以.
例19．（2023·广东东莞·高三东莞市东莞中学校联考期中）已知数列是公比大于0的等比数列，，.数列满足：（）.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：是等比数列；
(3)证明：.
【解析】（1）设等比数列的公比为，则，
则，所以，
又.
（2）所以，
所以，且，
所以数列是首项为8，公比为的等比数列；
（3）由题意知，，
所以，
所以，
设，
则，
两式相减得，
所以，
所以.
例20．（2023·全国·高三专题练习）已知数列，为数列的前项和，且满足，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【解析】（1）对任意的，
当时，，两式相减．
整理得，
当时，，
也满足，从而．
（2）证明：证法一：因为，
所以，
．
从而；
证法二：因为，
所以，
，证毕.
考点七：型不等式的证明
例21．（2023·吉林·统考三模）已知函数．
（1）求的最大值；
（2）设，是曲线的一条切线，证明：曲线上的任意一点都不可能在直线的上方；
（3）求证：（其中为自然对数的底数，）．
【解析】（Ⅰ）的定义域为，，令，得．
当时，，∴在上是增函数，
当时，，∴在上是减函数，
故在处取得最大值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
设是曲线上的一点，
则在点处的切线方程为，
即，
令
则，
∵，在上是减函数，
∴在处取得最大值，即恒成立，
故曲线上的任意一点不可能在直线的上方．
（3）由（1）知在上恒成立，当且仅当时，等号成立，
故当且时，有，
又因为，所以
所以
例22．（2023·上海松江·高三上海市松江一中校考阶段练习）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
(3)求证：（，是自然对数的底数）．
【解析】（1）当时，，
，
由解得，由解得，
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）因当时，不等式恒成立，即恒成立，
设，只需即可，
由，
（i）当时，，
当时，，函数在上单调递减，
故成立；
（ii）当时，由，因，所以，，
①若，即时，在区间上，，则函数在上单调递增，在上无最大值，不满足条件；
②若，即时，函数在上单调递减，在区间上单调递增，同样在上无最大值，不满足条件；
（iii）当时，由，，，
，故函数在上单调递减，故成立，
综上所述，实数的取值范围是；
（3）据（2）知当时，在上恒成立，
令，
则，
当时，
，.
例23．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数.
(1)若在上单调递增，求的值；
(2)证明：（且）.
【解析】（1）函数，求导得，
由于函数在R上单调递增，则恒成立，
令，则，
当时，，当时，，不满足条件；
当时，，在R上单调递增，
又，即，不满足条件；
当时，令，得，
则当时，，单调递减，当时，，单调递增，
于是当时，取得最小值，
于是，即，
令，则，
当时，，单调递增；时，，单调递减，
则，由于恒成立，因此，则有，
所以单调递增时，的值为1.
（2）由（1）知，当时，，即有，当且仅当时取等号，即当时，，
因此当且时，
，
而当时，，
所以，
则，所以，.
考点要求
考题统计
考情分析
数列不等式
2023年II卷第18题，12分
2022年I卷第17题，10分
2021年乙卷第19题，12分
2021年II卷第17题，10分
2021年浙江卷第20题，15分
【命题预测】
预测2024年高考，多以解答题形式出现，具体估计为：
（1）导数压轴题第二问，利用导数证明数列不等式，难度较大．
（2）数列解答题第二问，难度中等偏上，属综合性问题．