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专题08 活用三角函数的图象与性质（6大核心考点）（讲义）-2024年高考数学二轮复习讲义（新教材新高考）
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这是一份专题08 活用三角函数的图象与性质（6大核心考点）（讲义）-2024年高考数学二轮复习讲义（新教材新高考），文件包含专题08活用三角函数的图象与性质6大核心考点讲义原卷版docx、专题08活用三角函数的图象与性质6大核心考点讲义解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共58页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题08 活用三角函数的图象与性质
【目录】
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc153909184" PAGEREF _Tc153909184 \h 1
\l "_Tc153909185" PAGEREF _Tc153909185 \h 2
\l "_Tc153909186" PAGEREF _Tc153909186 \h 3
\l "_Tc153909187" PAGEREF _Tc153909187 \h 5
\l "_Tc153909188" PAGEREF _Tc153909188 \h 17
\l "_Tc153909189" 考点一：齐次化模型 PAGEREF _Tc153909189 \h 17
\l "_Tc153909190" 考点二：辅助角与最值问题 PAGEREF _Tc153909190 \h 18
\l "_Tc153909191" 考点三：整体代换与二次函数模型 PAGEREF _Tc153909191 \h 21
\l "_Tc153909192" 考点四：绝对值与三角函数综合模型 PAGEREF _Tc153909192 \h 23
\l "_Tc153909193" 考点五：w的取值与范围问题 PAGEREF _Tc153909193 \h 28
\l "_Tc153909194" 考点六：三角函数的综合性质 PAGEREF _Tc153909194 \h 37
三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：
1、三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；
2、利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.
3、三角恒等变换的求值、化简是高考命题的热点，常与三角函数的图象、性质结合在一起综合考查，如果单独命题，多用选择、填空题中呈现，难度较低；如果三角恒等变换作为工具，将其与三角函数及解三角形相结合求解最值、范围问题，多以解答题为主，中等难度．
1、三角函数图象的变换
（1）将的图象变换为的图象主要有如下两种方法：
（2）平移变换
函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对作的变换；
（3）伸缩变换
①沿轴伸缩时，横坐标伸长或缩短为原来的（倍）（纵坐标不变）；
②沿轴伸缩时，纵坐标伸长或缩短为原来的（倍）（横坐标不变）．
（4）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移．
2、三角函数的单调性
（1）三角函数的单调区间
的单调递增区间是，
单调递减区间是；
的单调递增区间是，
单调递减区间是；
的单调递增区间是．
（2）三角函数的单调性有时也要结合具体的函数图象如结合，，
，的图象进行判断会很快得到正确答案．
3、求三角函数最值的基本思路
（1）将问题化为的形式，结合三角函数的图象和性质求解.
（2）将问题化为关于或的二次函数的形式，借助二次函数的图象和性质求解.
（3）利用导数判断单调性从而求解.
4、对称性及周期性常用结论
（1）对称与周期的关系
正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.
（2）与三角函数的奇偶性相关的结论
若为偶函数，则有；若为奇函数，则有.
若为偶函数，则有；若为奇函数，则有.
若为奇函数，则有．
5、已知三角函数的单调区间求参数取值范刪的三种方法
（1）子集法：求出原函数相应的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式（组）求解．
（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式（组）求解．
（3）周期性：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过个周期列不等式（组）求解.
1．（2023•甲卷）“”是“”的
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
【答案】
【解析】，可知，可得，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：．
2．（2023•新高考Ⅱ）已知为锐角，，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】，
则，
故，即，
为锐角，
，
．
故选：．
3．（2023•新高考Ⅰ）已知，，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】因为，，
所以，
所以，
则．
故选：．
4．（2022•新高考Ⅱ）若，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解法一：因为，
所以，
即，
所以，
所以，
所以，
所以，，
所以，
所以．
解法二：由题意可得，，
即，
所以，
故．
故选：．
5．（2023•天津）已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】：若，则，
令，，则，，显然不是对称轴，不符合题意；
：若，则，
令，，则，，
故是一条对称轴，符合题意；
，则，不符合题意；
，则，不符合题意．
故选：．
6．（2023•甲卷）已知为函数向左平移个单位所得函数，则与的交点个数为
A．1B．2C．3D．4
【答案】
【解析】把函数向
左平移个单位可得
函数的图象，
而直线经过点，且斜率为，
且直线还经过点，、
，，
，
，如图，
故与的交点个数为3．
故选：．
7．（2023•乙卷）已知函数在区间，单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】根据题意可知，
，取，，
又根据“五点法“可得，，
，，
，
．
故选：．
8．（2022•浙江）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】
【解析】把图象上所有的点向右平移个单位可得的图象．
故选：．
9．（2021•浙江）已知，，是互不相同的锐角，则在，，三个值中，大于的个数的最大值是
A．0B．1C．2D．3
【答案】
【解析】由基本不等式可得：，，，
三式相加，可得：，
很明显，， 不可能均大于．
取，，，
则，
则三式中大于 的个数的最大值为2，
故选：．
10．（2021•北京）函数是
A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为D．偶函数，且最大值为
【答案】
【解析】因为，
因为，
故函数为偶函数，
令，则，，
故是开口向下的二次函数，
所以当时，取得最大值，
故函数的最大值为．
综上所述，函数是偶函数，有最大值．
故选：．
11．（多选题）（2022•新高考Ⅱ）已知函数的图像关于点，中心对称，则
A．在区间单调递减
B．在区间，有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
【答案】
【解析】因为的图象关于点，对称，
所以，，
所以，
因为，
所以，
故，
令，解得，
故在单调递减，正确；
，，，，
根据函数的单调性，故函数在区间，只有一个极值点，故错误；
令，，得，，显然错误；
，
求导可得，，
令，即，解得或，
故函数在点处的切线斜率为，
故切线方程为，即，故正确．
直线显然与相切，故直线显然是曲线的切线，故正确．
故选：．
12．（2023•乙卷）若，，则 ．
【答案】．
【解析】，，
令，，设终边上一点的坐标，
则，
则．
故答案为：．
13．（2022•浙江）若，，则 ， ．
【答案】；．
【解析】，，
，
，
，
，
解得，，
．
故答案为：；．
14．（2023•新高考Ⅱ）已知函数，如图，，是直线与曲线的两个交点，若，则 ．
【答案】．
【解析】由题意：设，，，，
由的图象可知：
，故，
，则，
两式相减得：，
由图可知：，即，解得，
，
，，
又，，，
即，，，
当时，满足条件，
．
故答案为：．
15．（2022•乙卷）记函数，的最小正周期为．若，为的零点，则的最小值为 ．
【答案】3．
【解析】函数，的最小正周期为，
若，，则，
所以．
因为为的零点，所以，
故，，所以，，
因为，则的最小值为3．
故答案为：3．
16．（2021•甲卷）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数为 2 ．
【答案】2．
【解析】由图像可得，即周期为，
，，
，
观察图像可知当，
，，
，且，
时最小，且满足题意，
故答案为：2．
17．（2021•北京）若点关于轴的对称点为，，则的一个取值为 ．
【答案】（答案不唯一）．
【解析】因为与，关于轴对称，
故其横坐标相反，纵坐标相等，
即且，
由诱导公式，，
所以，，解得，，
则符合题意的值可以为．
故答案为：（答案不唯一）．
18．（2021•甲卷）已知函数的部分图像如图所示，则 ．
【答案】
【解析】由图可知，的最小正周期，
所以，因为，
所以由五点作图法可得，解得，
所以，
所以．
故答案为：．
19．（2021•上海）已知，存在实数，使得对任意，，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】在单位圆中分析，由题意可得的终边要落在图中阴影部分区域（其中，
所以，
因为对任意都成立，
所以，即，，
同时，所以的最小值为．
故答案为：．
20．（2023•北京）已知函数，，．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若在，上单调递增，且，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求、的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在，上单调递减．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（Ⅰ）因为函数，
所以，
又因为，所以．
（Ⅱ）若选①：；
因为，
所以在和时取得最大值1，这与在，上单调递增矛盾，所以、的值不存在．
若选②：；
因为在，上单调递增，且，
所以在时取得最小值，时取得最大值1，
所以的最小正周期为，计算，
又因为，所以，，
解得，；
又因为，所以；
若选③：在，上单调递减，因为在，上单调递增，且，
所以在时取得最小值，时取得最大值1，
所以的最小正周期为，所以，
又因为，所以，，
解得，；
又因为，所以．
考点一：齐次化模型
齐次分式：分子分母的正余弦次数相同，例如：
（一次显型齐次化）
或者（二次隐型齐次化）
这种类型题，分子分母同除以（一次显型）或者（二次隐型），构造成的代数式，这个思想在圆锥曲线里面关于斜率问题处理也经常用到.
例1．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，则
.
故选：C.
例2．（2023·海南·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A．0B．4C．D．0或4
【答案】D
【解析】由，
可得，
整理得或.
故选：D.
例3．（2023·陕西汉中·高三校联考阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】.
故选：B
例4．（2023·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）已知角的终边落在直线上，则的值为（ ）
A．B．C．±2D．
【答案】B
【解析】角的终边落在直线上，所以，
.
故选：B.
考点二：辅助角与最值问题
第一类：一次辅助角:=．（其中）
第二类：二次辅助角
例5．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）设，，且，则 .
【答案】
【解析】因为，
所以，即
又，，所以，
则可得，则故.
故答案为：.
例6．（2023·上海杨浦·高三复旦附中校考期中）已知函数，当取得最大值时， .
【答案】/
【解析】由函数，其中，
当取得最大值，则，解得，
此时.
故答案为：.
例7．（2023·上海青浦·高三校考期中）已知关于的方程 在实数范围内有解，则 的最小值为 .
【答案】9
【解析】由题意得，解得，
故可设，，其中，
则原方程化为，
即，其中，（不可能同时取0），
显然，，则，
则，因为，，
所以，此时，，，
，，即，，
，.
所以，即它的最小值为9，
故答案为：9.
例8．（2023·安徽·高三固镇县第一中学校联考期中）函数的值域为 ．
【答案】
【解析】设，
因为，则，
可知，
可得函数，
则对任意恒成立，
所以在上单调递增，且，
所以该函数的值域为.
故答案为：.
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知实数满足则的最小值为 .
【答案】
【解析】由于，令，
则.
故则的最小值为：.
故答案为：.
考点三：整体代换与二次函数模型
三角函数和二次函数交汇也是一种常见题型，我们将其分为三类，第一类是最简单的，就是，与之间的二次函数关系，第二类则有一点隐藏，就是与之间的关系，第三类则是与之间的关系.
例10．（2023·河南·高三校联考阶段练习）函数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意，函数，
令，则，当，即时，，
所以函数的最小值是.
故选：D
例11．（2023·河南许昌·高一校联考阶段练习）若函数在上的最小值为，则在上的最大值为（ ）
A．4B．5C．D．
【答案】D
【解析】利用同角三角函数平方关系可得，由可得，利用二次函数的性质即可得解.由题意，
由可得，
当即时，取得最小值，
，
当即时，取得最大值.
故选：D.
例12．（2023·江苏徐州·高三统考学业考试）已知函数的最大值为4，则正实数的值为（ ）
A．B．2C．或2D．2或
【答案】B
【解析】
.
令，则，，
开口向下，对称轴为，
当时，则，无解.
当时，则.
综上所述，的值为.
故选：B
例13．（2023·北京·高三强基计划）在中，的最大值是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【解析】根据题意，令所求代数式为M，则
，
等号当，且，即时取得．
因此所求代数式的最大值为2．
故选：C
例14．（2023·全国·高三校联考阶段练习）函数的最大值为（ ）
A．B．3
C．D．4
【答案】C
【解析】根据题意，设，
则，
则原函数可化为，，
所以当时，函数取最大值.
故选：C.
考点四：绝对值与三角函数综合模型
关于和，如图，将图像中轴上方部分保留，轴下方部分沿着轴翻上去后得到，故是最小正周期为的函数，同理是最小正周期为的函数；是将图像中轴右边的部分留下，左边的删除，再将轴右边图像作对称至左边，故不是周期函数.我们可以这样来表示：
，
例15．（2023·安徽铜陵·高三铜陵一中校联考阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为B．的最小值为
C．D．在上有解
【答案】D
【解析】，
是以为周期的函数，
当时，，
则，
，
∴函数的最小正周期为，函数的最小值为1，故AB错误，
由，故C错误；
由，∴在上有解，故D正确.
故选：D.
例16．（2023·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）已知，给出下述四个结论:
①是偶函数; ②在上为减函数;
③在上为增函数; ④的最大值为.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④B．①③④C．①②③D．①④
【答案】D
【解析】对于①，易得的定义域为，关于原点对称，
因为，所以是偶函数，故正确；
对于②和③，因为，
，
且，所以在不是减函数，在也不是增函数，故②，③错误；
对于④，当时，，
因为，所以，
所以，所以；
当时，，
因为，
所以，所以；
当时，；
当时，，
因为，
所以，所以，
所以，综上所述，当时，的最大值为，由于为偶函数，所以当时，的最大值也为，故的最大值为，故④正确；
故选：D
例17．（2023·福建·一模）关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；②在区间上是增函数；③的最大值为2；④的周期为．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②B．①④C．①③④D．②③④
【答案】B
【解析】对①，根据偶函数的定义可判断；对②，去绝对值并利用导数判断；对③，直接根据同角三角函数的基本关系判断；对④，利用排除法可排除选项.对①，函数的定义域为关于原点对称，且，为偶函数，故①正确；
对②，当时，，则，在不恒成立，在区间上是增函数错误，故②错误；
对③，若的最大值为2，则，显然不可能同时取到，故③错误；
利用排除法，可选排除选项ACD.
故选：B.
例18．（2023·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；
②在区间上单调；
③函数的最大值为M，最小值为m，则；
④若，则函数在上有4个零点．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①④B．①③C．②④D．①②③
【答案】A
【解析】由，可知为偶函数，①对.
由，得关于对称；
由，得的周期为；当时，
其中且；作出在上的图象，并根据的对称性及周期性作出的大致图象.
由图可知，在上单调递增，在上单调递减，所以在上不单调，②错；
的最大值，最小值，故，③错；
若，则在上有4个零点，④对，
故选：A.
例19．（2023·高一课时练习）关于函数，其中有下述四个结论：
①是偶函数； ②在区间上是严格增函数；
③在有3个零点； ④的最小正周期为．
其中所有正确结论的编号是（ ）．
A．①②B．②④C．①④D．①③
【答案】A
【解析】的定义域为，
，所以是偶函数，①正确.
当时，是严格增函数，②正确.
当时，，
所以在有无数个零点，则③错误.
，
所以不是的最小正周期，④错误.
综上所述，正确的为①②.
故选：A
考点五：w的取值与范围问题
1、在区间内没有零点
同理，在区间内没有零点
2、在区间内有个零点
同理在区间内有个零点
3、在区间内有个零点
同理在区间内有个零点
4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则．
5、已知单调区间，则.
例20．（2023·四川泸州·统考一模）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，因为，则，
因为函数在上存在最值，
则，解得，
当时，，
因为函数在上单调，
则，
所以 其中，解得，
所以，解得，
又因为，则．
所以，．
因此的取值范围是．
故选：D．
例21．（2023·四川成都·高三校考阶段练习）已知，记（）．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意知，
函数的单调递减区间为，
则或，
由，解得，
而，故需满足，即，此时不存在；
由，解得，
则需满足，即，即，
故，即，
故选：C
例22．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
当时，因为，则，
因为函数在上存在最值，
则，解得，
当时，，
因为函数在上单调，
则，
所以 其中，解得，
所以，解得，
又因为，则．
当时，；
当时，；
当时，．
又因为2，因此的取值范围是．
故选：B．
例23．（2023·北京·高三清华附中校考开学考试）已知函数在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为函数在上恰有4个不同的零点，
则方程在上恰有4个不同的解，
即方程在上恰有4个不同的解，
所以函数与函数在上恰有4个不同的交点，
因为函数，且在上单调递减，
所以函数函数在上单调递减，且，，
函数是由函数图象纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，
作出两个函数图象，如图：
要使函数与函数在上恰有4个不同的交点，
由图知：的周期满足，所以，
所以，即实数的取值范围为.
故选：B
例24．（2023·湖北·高一荆州中学校联考期中）已知在上的最小值为，则的解有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】当时，，而，显然不满足题意；
当时，因为，所以，
要使在上的最小值为，则有，所以，
此时在处取得最小值，即，
令，
因为，所以在上单调递减，
又在上单调递减，所以函数在上单调递减，
又因为，
由函数零点存在性定理可知，此时函数有唯一的零点，
也即当，函数在上的最小值为时，则的解只有一个；
当时，因为，所以，
要使在上的最小值为，则有，解得，
当时，则，结合余弦函数的图象可知，
函数在上的最小值为，解得，满足题意；
当时，则，此时在处取得最小值，即，
从而将问题转化为与的图像有多少个交点，
因为，所以在上单调递增，
又，，
则与的大致图像如下，
所以与的图像有唯一交点，
即当，函数在上的最小值为时，则的解只有一个；
综上可知，的解有3个，
故选：C.
例25．（2023·全国·校联考一模）已知函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，，其中，解得：，
则，要想保证函数在恰有三个零点，
满足①，，令，解得：；
或要满足②，，令，解得：；
经检验，满足题意，其他情况均不满足条件，
综上：的取值范围是.
故选：C.
例26．（2023·广东广州·高一广东实验中学校考阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的得到函数的图象.若在上的最大值为，则的取值个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象．
再将横坐标缩短为原来的得到函数的图象，
由上，得，
当，即时，则，求得，
当，即时，由题意可得，
作出函数与的图象如图：
由图可知，此时函数与的图象在上有唯一交点，
则有唯一解，
综上，的取值个数为2．
故选：B．
例27．（2023·辽宁·高三校联考期末）设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为为任意实数，故函数的图象可以任意平移，从而研究函数在区间上的零点问题，即研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，
令，得，则它在轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为，，，，，，
则它们相邻两个零点之间的距离分别为，，，，，
故相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，
所以要使函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于，相邻五个零点之间的距离大于，
即，解得.
故选：C
考点六：三角函数的综合性质
例28．（多选题）（2023·黑龙江大庆·高一铁人中学校考期末）已知函数则下列说法正确的是（ ）
A．的值域是[0，1]B．是以为最小正周期的周期函数
C．在区间上单调递增D．的对称轴方程为)
【答案】AD
【解析】显然，画出函数在的图象，如图所示：
A. 根据图像可知，的值域是，正确；
B. 是以为最小正周期的周期函数，错误；
C. 在区间上有增有减，错误；
D. 由图可知的对称轴方程为)，正确；
故选：AD.
例29．（多选题）（2023·辽宁丹东·高三校联考阶段练习）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于点对称
C．函数图象的一条对称轴是
D．若，，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于A，因为的最小正周期为，
而向右平移单位可得，
故函数的最小正周期为，故A正确；
对于B，在的图象上取一点，
其关于点对称的点不在的图象上，
所以函数的图象不关于点对称，故B不正确；
对于C，因为，
所以函数图象的一条对称轴是，故C正确；
对于D，因为，所以，
因为由A知，函数的最小正周期为，所以，故D正确.
故选：ACD.
例30．（多选题）（2023·河南开封·统考一模）函数的图象向左平移个单位长度后与原图象关于轴对称，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．的一个周期是
C．是偶函数D．在上单调递减
【答案】ABD
【解析】函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，
由题意可得，即，
故，故，由于，故,
故，
对于A，，A正确；
对于B，，
即的一个周期是，B正确；
对于C，，
不妨取，此时，此时函数不是偶函数，
即不是偶函数，C错误；
对于D，当时，，，
由于在上单调递减，故在上单调递减，D正确，
故选：ABD
例31．（多选题）（2023·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期中）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．在上为增函数
C．点是函数的一个对称中心D．方程仅有5个实数解
【答案】BC
【解析】函数的定义域为，由为奇函数，得，即，
由为偶函数，得，即，则，
即，于是，函数是周期为的周期函数，
对于A，当时，，，A错误；
对于B，在上单调递增，由，知图象关于点对称，
则在上单调递增，即函数在上单调递增，因此在上单调递增，B正确；
对于C，由及，得，即，
因此函数图象关于点对称，C正确；
对于D，当时，，由函数图象关于点对称，
知当时，，则当时，，
由，知函数图象关于直线对称，则当时，，
于是当时，，而函数的周期是，因此函数在R上的值域为，
方程，即，因此的根即为函数与图象交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数与的部分图象，如图，
观图知，与图象在上有且只有3个公共点，而当时，，即函数与图象在无公共点，所以方程仅有3个实数解，D错误.
故选：BC
例32．（多选题）（2023·辽宁·高三校联考阶段练习）已知函数，若函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为3
B．的图象关于点对称
C．直线是曲线的一条切线
D．若关于x的方程在区间上有2023个零点，则的最小值为
【答案】BCD
【解析】由题意可知的最大值为1，最小值为，
所以有解得，
因为，，所以，
又，所以，，
所以函数的解析式为，即的最大值为1，故A项错误；
令，解得，所以当时，的图象关于点对称，故B项正确；
设切点为，
由，可得，
切线方程为，
所以可得，所以，满足题意；
此时切点为，切线为，故C项正确；
令，得，此时或，
由函数周期为，且一个周期内有两个零点，
所以可得，故D项正确．
故选：BCD．
考点要求
考题统计
考情分析
同角三角函数基本关系式
2023年甲卷第7题，5分
2023年乙卷第14题，5分
2021年I卷第6题，5分
【命题预测】
2024年高考将重点考查：①同角三角函数基本关系及诱导公式，同时要注意三角函数定义的复习，题型仍为选择题或填空题，难度为基础题或中档题．②三角恒等变换，同时要注意公式的变形及应用，以及最值问题，题型仍为选择题或填空题，难度为基础题或中档题．③三角函数的图像与性质及三角函数变换，特别是这些知识点的组合考查是考查的热点，题型仍为选择题或填空题，难度可以为基础题或中档题，也可以是压轴题．
三角恒等变换
2023年II卷第7题，5分
2023年I卷第8题，5分
2022年II卷第6题，5分
2022年浙江卷第13题，6分
2021年甲卷第9题，5分
三角函数的图像与性质
2023年天津卷第5题，5分
2023年甲卷第10题，5分
2023年乙卷第6题，5分
2023年I卷第15题，5分
2023年II卷第16题，5分
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题08 活用三角函数的图象与性质
【目录】
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc153909184" PAGEREF _Tc153909184 \h 1
\l "_Tc153909185" PAGEREF _Tc153909185 \h 2
\l "_Tc153909186" PAGEREF _Tc153909186 \h 3
\l "_Tc153909187" PAGEREF _Tc153909187 \h 5
\l "_Tc153909188" PAGEREF _Tc153909188 \h 17
\l "_Tc153909189" 考点一：齐次化模型 PAGEREF _Tc153909189 \h 17
\l "_Tc153909190" 考点二：辅助角与最值问题 PAGEREF _Tc153909190 \h 18
\l "_Tc153909191" 考点三：整体代换与二次函数模型 PAGEREF _Tc153909191 \h 21
\l "_Tc153909192" 考点四：绝对值与三角函数综合模型 PAGEREF _Tc153909192 \h 23
\l "_Tc153909193" 考点五：w的取值与范围问题 PAGEREF _Tc153909193 \h 28
\l "_Tc153909194" 考点六：三角函数的综合性质 PAGEREF _Tc153909194 \h 37
三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：
1、三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；
2、利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.
3、三角恒等变换的求值、化简是高考命题的热点，常与三角函数的图象、性质结合在一起综合考查，如果单独命题，多用选择、填空题中呈现，难度较低；如果三角恒等变换作为工具，将其与三角函数及解三角形相结合求解最值、范围问题，多以解答题为主，中等难度．
1、三角函数图象的变换
（1）将的图象变换为的图象主要有如下两种方法：
（2）平移变换
函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对作的变换；
（3）伸缩变换
①沿轴伸缩时，横坐标伸长或缩短为原来的（倍）（纵坐标不变）；
②沿轴伸缩时，纵坐标伸长或缩短为原来的（倍）（横坐标不变）．
（4）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移．
2、三角函数的单调性
（1）三角函数的单调区间
的单调递增区间是，
单调递减区间是；
的单调递增区间是，
单调递减区间是；
的单调递增区间是．
（2）三角函数的单调性有时也要结合具体的函数图象如结合，，
，的图象进行判断会很快得到正确答案．
3、求三角函数最值的基本思路
（1）将问题化为的形式，结合三角函数的图象和性质求解.
（2）将问题化为关于或的二次函数的形式，借助二次函数的图象和性质求解.
（3）利用导数判断单调性从而求解.
4、对称性及周期性常用结论
（1）对称与周期的关系
正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.
（2）与三角函数的奇偶性相关的结论
若为偶函数，则有；若为奇函数，则有.
若为偶函数，则有；若为奇函数，则有.
若为奇函数，则有．
5、已知三角函数的单调区间求参数取值范刪的三种方法
（1）子集法：求出原函数相应的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式（组）求解．
（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式（组）求解．
（3）周期性：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过个周期列不等式（组）求解.
1．（2023•甲卷）“”是“”的
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
【答案】
【解析】，可知，可得，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：．
2．（2023•新高考Ⅱ）已知为锐角，，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】，
则，
故，即，
为锐角，
，
．
故选：．
3．（2023•新高考Ⅰ）已知，，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】因为，，
所以，
所以，
则．
故选：．
4．（2022•新高考Ⅱ）若，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解法一：因为，
所以，
即，
所以，
所以，
所以，
所以，，
所以，
所以．
解法二：由题意可得，，
即，
所以，
故．
故选：．
5．（2023•天津）已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】：若，则，
令，，则，，显然不是对称轴，不符合题意；
：若，则，
令，，则，，
故是一条对称轴，符合题意；
，则，不符合题意；
，则，不符合题意．
故选：．
6．（2023•甲卷）已知为函数向左平移个单位所得函数，则与的交点个数为
A．1B．2C．3D．4
【答案】
【解析】把函数向
左平移个单位可得
函数的图象，
而直线经过点，且斜率为，
且直线还经过点，、
，，
，
，如图，
故与的交点个数为3．
故选：．
7．（2023•乙卷）已知函数在区间，单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】根据题意可知，
，取，，
又根据“五点法“可得，，
，，
，
．
故选：．
8．（2022•浙江）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】
【解析】把图象上所有的点向右平移个单位可得的图象．
故选：．
9．（2021•浙江）已知，，是互不相同的锐角，则在，，三个值中，大于的个数的最大值是
A．0B．1C．2D．3
【答案】
【解析】由基本不等式可得：，，，
三式相加，可得：，
很明显，， 不可能均大于．
取，，，
则，
则三式中大于 的个数的最大值为2，
故选：．
10．（2021•北京）函数是
A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为D．偶函数，且最大值为
【答案】
【解析】因为，
因为，
故函数为偶函数，
令，则，，
故是开口向下的二次函数，
所以当时，取得最大值，
故函数的最大值为．
综上所述，函数是偶函数，有最大值．
故选：．
11．（多选题）（2022•新高考Ⅱ）已知函数的图像关于点，中心对称，则
A．在区间单调递减
B．在区间，有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
【答案】
【解析】因为的图象关于点，对称，
所以，，
所以，
因为，
所以，
故，
令，解得，
故在单调递减，正确；
，，，，
根据函数的单调性，故函数在区间，只有一个极值点，故错误；
令，，得，，显然错误；
，
求导可得，，
令，即，解得或，
故函数在点处的切线斜率为，
故切线方程为，即，故正确．
直线显然与相切，故直线显然是曲线的切线，故正确．
故选：．
12．（2023•乙卷）若，，则 ．
【答案】．
【解析】，，
令，，设终边上一点的坐标，
则，
则．
故答案为：．
13．（2022•浙江）若，，则 ， ．
【答案】；．
【解析】，，
，
，
，
，
解得，，
．
故答案为：；．
14．（2023•新高考Ⅱ）已知函数，如图，，是直线与曲线的两个交点，若，则 ．
【答案】．
【解析】由题意：设，，，，
由的图象可知：
，故，
，则，
两式相减得：，
由图可知：，即，解得，
，
，，
又，，，
即，，，
当时，满足条件，
．
故答案为：．
15．（2022•乙卷）记函数，的最小正周期为．若，为的零点，则的最小值为 ．
【答案】3．
【解析】函数，的最小正周期为，
若，，则，
所以．
因为为的零点，所以，
故，，所以，，
因为，则的最小值为3．
故答案为：3．
16．（2021•甲卷）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数为 2 ．
【答案】2．
【解析】由图像可得，即周期为，
，，
，
观察图像可知当，
，，
，且，
时最小，且满足题意，
故答案为：2．
17．（2021•北京）若点关于轴的对称点为，，则的一个取值为 ．
【答案】（答案不唯一）．
【解析】因为与，关于轴对称，
故其横坐标相反，纵坐标相等，
即且，
由诱导公式，，
所以，，解得，，
则符合题意的值可以为．
故答案为：（答案不唯一）．
18．（2021•甲卷）已知函数的部分图像如图所示，则 ．
【答案】
【解析】由图可知，的最小正周期，
所以，因为，
所以由五点作图法可得，解得，
所以，
所以．
故答案为：．
19．（2021•上海）已知，存在实数，使得对任意，，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】在单位圆中分析，由题意可得的终边要落在图中阴影部分区域（其中，
所以，
因为对任意都成立，
所以，即，，
同时，所以的最小值为．
故答案为：．
20．（2023•北京）已知函数，，．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若在，上单调递增，且，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求、的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在，上单调递减．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（Ⅰ）因为函数，
所以，
又因为，所以．
（Ⅱ）若选①：；
因为，
所以在和时取得最大值1，这与在，上单调递增矛盾，所以、的值不存在．
若选②：；
因为在，上单调递增，且，
所以在时取得最小值，时取得最大值1，
所以的最小正周期为，计算，
又因为，所以，，
解得，；
又因为，所以；
若选③：在，上单调递减，因为在，上单调递增，且，
所以在时取得最小值，时取得最大值1，
所以的最小正周期为，所以，
又因为，所以，，
解得，；
又因为，所以．
考点一：齐次化模型
齐次分式：分子分母的正余弦次数相同，例如：
（一次显型齐次化）
或者（二次隐型齐次化）
这种类型题，分子分母同除以（一次显型）或者（二次隐型），构造成的代数式，这个思想在圆锥曲线里面关于斜率问题处理也经常用到.
例1．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，则
.
故选：C.
例2．（2023·海南·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A．0B．4C．D．0或4
【答案】D
【解析】由，
可得，
整理得或.
故选：D.
例3．（2023·陕西汉中·高三校联考阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】.
故选：B
例4．（2023·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）已知角的终边落在直线上，则的值为（ ）
A．B．C．±2D．
【答案】B
【解析】角的终边落在直线上，所以，
.
故选：B.
考点二：辅助角与最值问题
第一类：一次辅助角:=．（其中）
第二类：二次辅助角
例5．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）设，，且，则 .
【答案】
【解析】因为，
所以，即
又，，所以，
则可得，则故.
故答案为：.
例6．（2023·上海杨浦·高三复旦附中校考期中）已知函数，当取得最大值时， .
【答案】/
【解析】由函数，其中，
当取得最大值，则，解得，
此时.
故答案为：.
例7．（2023·上海青浦·高三校考期中）已知关于的方程 在实数范围内有解，则 的最小值为 .
【答案】9
【解析】由题意得，解得，
故可设，，其中，
则原方程化为，
即，其中，（不可能同时取0），
显然，，则，
则，因为，，
所以，此时，，，
，，即，，
，.
所以，即它的最小值为9，
故答案为：9.
例8．（2023·安徽·高三固镇县第一中学校联考期中）函数的值域为 ．
【答案】
【解析】设，
因为，则，
可知，
可得函数，
则对任意恒成立，
所以在上单调递增，且，
所以该函数的值域为.
故答案为：.
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知实数满足则的最小值为 .
【答案】
【解析】由于，令，
则.
故则的最小值为：.
故答案为：.
考点三：整体代换与二次函数模型
三角函数和二次函数交汇也是一种常见题型，我们将其分为三类，第一类是最简单的，就是，与之间的二次函数关系，第二类则有一点隐藏，就是与之间的关系，第三类则是与之间的关系.
例10．（2023·河南·高三校联考阶段练习）函数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意，函数，
令，则，当，即时，，
所以函数的最小值是.
故选：D
例11．（2023·河南许昌·高一校联考阶段练习）若函数在上的最小值为，则在上的最大值为（ ）
A．4B．5C．D．
【答案】D
【解析】利用同角三角函数平方关系可得，由可得，利用二次函数的性质即可得解.由题意，
由可得，
当即时，取得最小值，
，
当即时，取得最大值.
故选：D.
例12．（2023·江苏徐州·高三统考学业考试）已知函数的最大值为4，则正实数的值为（ ）
A．B．2C．或2D．2或
【答案】B
【解析】
.
令，则，，
开口向下，对称轴为，
当时，则，无解.
当时，则.
综上所述，的值为.
故选：B
例13．（2023·北京·高三强基计划）在中，的最大值是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【解析】根据题意，令所求代数式为M，则
，
等号当，且，即时取得．
因此所求代数式的最大值为2．
故选：C
例14．（2023·全国·高三校联考阶段练习）函数的最大值为（ ）
A．B．3
C．D．4
【答案】C
【解析】根据题意，设，
则，
则原函数可化为，，
所以当时，函数取最大值.
故选：C.
考点四：绝对值与三角函数综合模型
关于和，如图，将图像中轴上方部分保留，轴下方部分沿着轴翻上去后得到，故是最小正周期为的函数，同理是最小正周期为的函数；是将图像中轴右边的部分留下，左边的删除，再将轴右边图像作对称至左边，故不是周期函数.我们可以这样来表示：
，
例15．（2023·安徽铜陵·高三铜陵一中校联考阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为B．的最小值为
C．D．在上有解
【答案】D
【解析】，
是以为周期的函数，
当时，，
则，
，
∴函数的最小正周期为，函数的最小值为1，故AB错误，
由，故C错误；
由，∴在上有解，故D正确.
故选：D.
例16．（2023·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）已知，给出下述四个结论:
①是偶函数; ②在上为减函数;
③在上为增函数; ④的最大值为.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④B．①③④C．①②③D．①④
【答案】D
【解析】对于①，易得的定义域为，关于原点对称，
因为，所以是偶函数，故正确；
对于②和③，因为，
，
且，所以在不是减函数，在也不是增函数，故②，③错误；
对于④，当时，，
因为，所以，
所以，所以；
当时，，
因为，
所以，所以；
当时，；
当时，，
因为，
所以，所以，
所以，综上所述，当时，的最大值为，由于为偶函数，所以当时，的最大值也为，故的最大值为，故④正确；
故选：D
例17．（2023·福建·一模）关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；②在区间上是增函数；③的最大值为2；④的周期为．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②B．①④C．①③④D．②③④
【答案】B
【解析】对①，根据偶函数的定义可判断；对②，去绝对值并利用导数判断；对③，直接根据同角三角函数的基本关系判断；对④，利用排除法可排除选项.对①，函数的定义域为关于原点对称，且，为偶函数，故①正确；
对②，当时，，则，在不恒成立，在区间上是增函数错误，故②错误；
对③，若的最大值为2，则，显然不可能同时取到，故③错误；
利用排除法，可选排除选项ACD.
故选：B.
例18．（2023·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；
②在区间上单调；
③函数的最大值为M，最小值为m，则；
④若，则函数在上有4个零点．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①④B．①③C．②④D．①②③
【答案】A
【解析】由，可知为偶函数，①对.
由，得关于对称；
由，得的周期为；当时，
其中且；作出在上的图象，并根据的对称性及周期性作出的大致图象.
由图可知，在上单调递增，在上单调递减，所以在上不单调，②错；
的最大值，最小值，故，③错；
若，则在上有4个零点，④对，
故选：A.
例19．（2023·高一课时练习）关于函数，其中有下述四个结论：
①是偶函数； ②在区间上是严格增函数；
③在有3个零点； ④的最小正周期为．
其中所有正确结论的编号是（ ）．
A．①②B．②④C．①④D．①③
【答案】A
【解析】的定义域为，
，所以是偶函数，①正确.
当时，是严格增函数，②正确.
当时，，
所以在有无数个零点，则③错误.
，
所以不是的最小正周期，④错误.
综上所述，正确的为①②.
故选：A
考点五：w的取值与范围问题
1、在区间内没有零点
同理，在区间内没有零点
2、在区间内有个零点
同理在区间内有个零点
3、在区间内有个零点
同理在区间内有个零点
4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则．
5、已知单调区间，则.
例20．（2023·四川泸州·统考一模）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，因为，则，
因为函数在上存在最值，
则，解得，
当时，，
因为函数在上单调，
则，
所以 其中，解得，
所以，解得，
又因为，则．
所以，．
因此的取值范围是．
故选：D．
例21．（2023·四川成都·高三校考阶段练习）已知，记（）．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意知，
函数的单调递减区间为，
则或，
由，解得，
而，故需满足，即，此时不存在；
由，解得，
则需满足，即，即，
故，即，
故选：C
例22．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
当时，因为，则，
因为函数在上存在最值，
则，解得，
当时，，
因为函数在上单调，
则，
所以 其中，解得，
所以，解得，
又因为，则．
当时，；
当时，；
当时，．
又因为2，因此的取值范围是．
故选：B．
例23．（2023·北京·高三清华附中校考开学考试）已知函数在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为函数在上恰有4个不同的零点，
则方程在上恰有4个不同的解，
即方程在上恰有4个不同的解，
所以函数与函数在上恰有4个不同的交点，
因为函数，且在上单调递减，
所以函数函数在上单调递减，且，，
函数是由函数图象纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，
作出两个函数图象，如图：
要使函数与函数在上恰有4个不同的交点，
由图知：的周期满足，所以，
所以，即实数的取值范围为.
故选：B
例24．（2023·湖北·高一荆州中学校联考期中）已知在上的最小值为，则的解有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】当时，，而，显然不满足题意；
当时，因为，所以，
要使在上的最小值为，则有，所以，
此时在处取得最小值，即，
令，
因为，所以在上单调递减，
又在上单调递减，所以函数在上单调递减，
又因为，
由函数零点存在性定理可知，此时函数有唯一的零点，
也即当，函数在上的最小值为时，则的解只有一个；
当时，因为，所以，
要使在上的最小值为，则有，解得，
当时，则，结合余弦函数的图象可知，
函数在上的最小值为，解得，满足题意；
当时，则，此时在处取得最小值，即，
从而将问题转化为与的图像有多少个交点，
因为，所以在上单调递增，
又，，
则与的大致图像如下，
所以与的图像有唯一交点，
即当，函数在上的最小值为时，则的解只有一个；
综上可知，的解有3个，
故选：C.
例25．（2023·全国·校联考一模）已知函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，，其中，解得：，
则，要想保证函数在恰有三个零点，
满足①，，令，解得：；
或要满足②，，令，解得：；
经检验，满足题意，其他情况均不满足条件，
综上：的取值范围是.
故选：C.
例26．（2023·广东广州·高一广东实验中学校考阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的得到函数的图象.若在上的最大值为，则的取值个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象．
再将横坐标缩短为原来的得到函数的图象，
由上，得，
当，即时，则，求得，
当，即时，由题意可得，
作出函数与的图象如图：
由图可知，此时函数与的图象在上有唯一交点，
则有唯一解，
综上，的取值个数为2．
故选：B．
例27．（2023·辽宁·高三校联考期末）设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为为任意实数，故函数的图象可以任意平移，从而研究函数在区间上的零点问题，即研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，
令，得，则它在轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为，，，，，，
则它们相邻两个零点之间的距离分别为，，，，，
故相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，
所以要使函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于，相邻五个零点之间的距离大于，
即，解得.
故选：C
考点六：三角函数的综合性质
例28．（多选题）（2023·黑龙江大庆·高一铁人中学校考期末）已知函数则下列说法正确的是（ ）
A．的值域是[0，1]B．是以为最小正周期的周期函数
C．在区间上单调递增D．的对称轴方程为)
【答案】AD
【解析】显然，画出函数在的图象，如图所示：
A. 根据图像可知，的值域是，正确；
B. 是以为最小正周期的周期函数，错误；
C. 在区间上有增有减，错误；
D. 由图可知的对称轴方程为)，正确；
故选：AD.
例29．（多选题）（2023·辽宁丹东·高三校联考阶段练习）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于点对称
C．函数图象的一条对称轴是
D．若，，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于A，因为的最小正周期为，
而向右平移单位可得，
故函数的最小正周期为，故A正确；
对于B，在的图象上取一点，
其关于点对称的点不在的图象上，
所以函数的图象不关于点对称，故B不正确；
对于C，因为，
所以函数图象的一条对称轴是，故C正确；
对于D，因为，所以，
因为由A知，函数的最小正周期为，所以，故D正确.
故选：ACD.
例30．（多选题）（2023·河南开封·统考一模）函数的图象向左平移个单位长度后与原图象关于轴对称，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．的一个周期是
C．是偶函数D．在上单调递减
【答案】ABD
【解析】函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，
由题意可得，即，
故，故，由于，故,
故，
对于A，，A正确；
对于B，，
即的一个周期是，B正确；
对于C，，
不妨取，此时，此时函数不是偶函数，
即不是偶函数，C错误；
对于D，当时，，，
由于在上单调递减，故在上单调递减，D正确，
故选：ABD
例31．（多选题）（2023·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期中）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．在上为增函数
C．点是函数的一个对称中心D．方程仅有5个实数解
【答案】BC
【解析】函数的定义域为，由为奇函数，得，即，
由为偶函数，得，即，则，
即，于是，函数是周期为的周期函数，
对于A，当时，，，A错误；
对于B，在上单调递增，由，知图象关于点对称，
则在上单调递增，即函数在上单调递增，因此在上单调递增，B正确；
对于C，由及，得，即，
因此函数图象关于点对称，C正确；
对于D，当时，，由函数图象关于点对称，
知当时，，则当时，，
由，知函数图象关于直线对称，则当时，，
于是当时，，而函数的周期是，因此函数在R上的值域为，
方程，即，因此的根即为函数与图象交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数与的部分图象，如图，
观图知，与图象在上有且只有3个公共点，而当时，，即函数与图象在无公共点，所以方程仅有3个实数解，D错误.
故选：BC
例32．（多选题）（2023·辽宁·高三校联考阶段练习）已知函数，若函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为3
B．的图象关于点对称
C．直线是曲线的一条切线
D．若关于x的方程在区间上有2023个零点，则的最小值为
【答案】BCD
【解析】由题意可知的最大值为1，最小值为，
所以有解得，
因为，，所以，
又，所以，，
所以函数的解析式为，即的最大值为1，故A项错误；
令，解得，所以当时，的图象关于点对称，故B项正确；
设切点为，
由，可得，
切线方程为，
所以可得，所以，满足题意；
此时切点为，切线为，故C项正确；
令，得，此时或，
由函数周期为，且一个周期内有两个零点，
所以可得，故D项正确．
故选：BCD．
考点要求
考题统计
考情分析
同角三角函数基本关系式
2023年甲卷第7题，5分
2023年乙卷第14题，5分
2021年I卷第6题，5分
【命题预测】
2024年高考将重点考查：①同角三角函数基本关系及诱导公式，同时要注意三角函数定义的复习，题型仍为选择题或填空题，难度为基础题或中档题．②三角恒等变换，同时要注意公式的变形及应用，以及最值问题，题型仍为选择题或填空题，难度为基础题或中档题．③三角函数的图像与性质及三角函数变换，特别是这些知识点的组合考查是考查的热点，题型仍为选择题或填空题，难度可以为基础题或中档题，也可以是压轴题．
三角恒等变换
2023年II卷第7题，5分
2023年I卷第8题，5分
2022年II卷第6题，5分
2022年浙江卷第13题，6分
2021年甲卷第9题，5分
三角函数的图像与性质
2023年天津卷第5题，5分
2023年甲卷第10题，5分
2023年乙卷第6题，5分
2023年I卷第15题，5分
2023年II卷第16题，5分
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