【二轮复习】高考数学 10 数列的通项、求和及综合应用（重难点练习）（新高考专用）.zip

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\l "_Tc21305" 【题型1 等差、等比数列的基本量的求解】 PAGEREF _Tc21305 \h 3
\l "_Tc31878" 【题型2 等差、等比数列的判定与证明】 PAGEREF _Tc31878 \h 4
\l "_Tc16388" 【题型3 数列通项公式的求解】 PAGEREF _Tc16388 \h 5
\l "_Tc15626" 【题型4 等差、等比数列的综合问题】 PAGEREF _Tc15626 \h 6
\l "_Tc7786" 【题型5 数列性质的综合问题】 PAGEREF _Tc7786 \h 7
\l "_Tc9250" 【题型6 数列求和】 PAGEREF _Tc9250 \h 8
\l "_Tc15332" 【题型7 数列问题的实际应用】 PAGEREF _Tc15332 \h 9
\l "_Tc18060" 【题型8 数列不等式问题】 PAGEREF _Tc18060 \h 10
\l "_Tc2746" 【题型9 以数列为载体的新定义或情境题】 PAGEREF _Tc2746 \h 12
数列是高考的热点内容，命题形式多种多样，大小均有，属于高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，小题重点考查等差数列、等比数列的基础知识、性质以及数列的递推关系，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；解答题的难度中等或稍难，往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合，与不等式结合时“放缩”思想及方法尤为重要，需要灵活求解.
【知识点1 判断数列类型的技巧方法】
1.证明数列是等差数列的主要方法：
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数.即作差法，将关于an-1的an代入an-an-1，在化简得到定值.
(2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立.
2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论：
(1)通项公式：an=pn+q（p,q为常数）是等差数列.
(2)前n项和公式：Sn=An2+Bn（A,B为常数）是等差数列.
问题的最终判定还是利用定义.
3.证明数列是等比数列的主要方法：
(1)定义法：（常数）为等比数列；
(2)中项法：为等比数列；
(3)通项公式法：（k，q为常数）为等比数列；
证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可；在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n=1的情形进行验证.
【知识点2 数列通项公式的求解策略】
1.含，的式子求通项的方法：
在处理含，的式子时，一般情况下利用公式，消去，进而求出的通项公式；但是有些题目虽然要求的通项公式，但是并不便于运用，这时可以考虑先消去，得到关于的递推公式，求出后再求解．
2.形如的递推关系式求通项的方法：
遇到形如的递推关系式，可利用累加法求的通项公式，遇到形如的递推关系式，可利用累乘法求的通项公式，注意在使用上述方法求通项公式时，要对第一项是否满足进行检验．
3.构造数列求通项的方法：
遇到下列递推关系式，我们通过构造新数列，将它们转化为熟悉的等差数列、等比数列，从而求解该数列的通项公式：
(1)形如（，），可变形为，则是以为首项，以为公比的等比数列，由此可以求出；
(2)形如（，），此类问题可两边同时除以，得，设，从而变成，从而将问题转化为第(1)个问题；
(3)形如，可以考虑两边同时除以，转化为的形式，设，则有，从而将问题转化为第(1)个问题．
【知识点3 数列的单调性与最值问题的解题策略】
1.判断数列单调性的方法
(1)比较法（作差或作商）；
(2)函数化（要注意扩展定义域）．
2.求数列最值的方法
(1)利用数列的单调性；
(2)设最大值项为，解方程组，再与首项比较大小（以最大值项为例，最小值项同理）．
【知识点4 数列求和的几种方法】
1.公式法：
公式法是数列求和的最基本的方法，也是数列求和的基础；其他一些数列的求和可以转化为等差或等比数列的求和，然后利用等差或等比数列的求和公式进行求解.注意利用等比数列求和公式时，当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论．
2.裂项相消法求和：
用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：，，裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同．
3.错位相减法求和：
用错位相减法求和时的注意点：
(1)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“”的表达式；
(2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况讨论．
4.分组（并项）法求和：
分组（并项）法求和的常见类型：
(1)若，且，为等差或等比数列，可采用分组（并项）法求的前项和；
(2)若通项公式为，其中数列，是等比数列或等差数列，可采用分组（并项）法求和.
【题型1 等差、等比数列的基本量的求解】
【例1】（2023·江西新余·统考二模）记Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，若a2=S3，a1a3=S4，则数列an的公差为（ ）
A．-2B．-1C．2D．4
【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）记Sn为等差数列an的前n项和，已知a2=1，S4=8．若Sn-2an=6，则n=（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式1-2】（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）已知等比数列an的前n项和为Sn,a1+a3=30,S4=120，则其公比q=（ ）
A．1B．2C．3D．1或3
【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列an满足2a2a5=a32，若lg12a1+lg12a2+⋯+lg12a10=55，则a1=（ ）
A．12B．32C．2D．52
【题型2 等差、等比数列的判定与证明】
【例2】（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，a2=2，且对于任意n≥2，n∈N*，Sn+1+Sn-1=2Sn+1恒成立，则（ ）
A．an是等差数列B．an是等比数列
C．S9=81D．S10=91
【变式2-1】（2023·江苏淮安·统考模拟预测）设数列an的前n项和为Sn.记命题p：“数列an为等比数列”，命题q：“Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列”，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式2-2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知数列an满足a1=23，且an+1=2anan+1.
(1)求证：数列1an-1是等比数列；
(2)若1a1+1a2+1a3+⋯+1an<100，求满足条件的最大整数n.
【变式2-3】（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）设数列an的前n项和为Sn，已知Sn+2+3Sn=4Sn+1-2an，a1=1，a2=3．
(1)证明：数列an+1-2an是等差数列；
(2)记(an+1)bn=n+2n2+n，Tn为数列bn的前n项和，求Tn．
【题型3 数列通项公式的求解】
【例3】（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知等差数列an的公差为2，且a1,a2,a4成等比数列．
(1)求数列an的前n项和Sn；
(2)若数列bn的首项b1=1,bn+bn+1=(2)an，求数列b2n的通项公式．
【变式3-1】（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，S2=1，an+1=12+12nan．
(1)求数列an的通项公式；
(2)证明：Sn<2．
【变式3-2】（2023·山东·山东校联考模拟预测）已知数列an前n项和为Sn，且对任意的正整数n,n与Sn的等差中项为an.
(1)求数列an的通项公式；
(2)证明：n2-13【变式3-3】（2023·广西南宁·校考模拟预测）数列an满足2a2k+1=a2k-1+a2k+3，a2k+2a2k=q（k∈N*,q为正常数），且a2=2a1=2，a32=a2⋅a6，a1+a2+a3=a5.
(1)求数列an的通项公式；
(2)求数列an的前n项和Sn.
【题型4 等差、等比数列的综合问题】
【例4】（2023·四川德阳·统考一模）已知首项为12的等比数列an的前n项和为Sn，且-S2,S4,3S3成等差数列.
(1)求数列an的通项公式；
(2)求数列Sn+1Sn的最大项.
【变式4-1】（2023·四川南充·统考一模）已知数列an是首项为2的等比数列,且a4是6a2和a3的等差中项．
(1)求an的通项公式；
(2)若数列an的公比q>0,设数列bn满足bn=1lg2an⋅lg2an+1,求bn的前2023项和T2023．
【变式4-2】（2023·广东·东莞市东华高级中学校联考一模）已知数列an为等差数列，数列bn为等比数列，b2-b1=2，b3-b2=6.
(1)求数列bn的通项公式；
(2)设数列an的前n项和为Sn，若S6=b3，S12=b4，求Sn.
【变式4-3】（2023·全国·模拟预测）已知公差不为0的等差数列an和等比数列bn中，a1=1，b1=2，a3+b2=-1，a5+b3=3.
(1)求数列an，bn的通项公式；
(2)若Tn为数列1anan+1的前n项和，求使Tn+nb3≤0成立的n的取值范围.
【题型5 数列性质的综合问题】
【例5】（2023·四川雅安·统考一模）已知数列an是等差数列，数列bn是等比数列，若a1+a5+a9=9,b2b5b8=33，则a2+a81+b2b8=（ ）
A．2B．3C．32D．33
【变式5-1】（2023·上海·统考模拟预测）已知数列an的各项均为实数，Sn为其前n项和，若对任意k>2022，都有Sk>Sk+1，则下列说法正确的是（ ）
A．a1,a3,a5,⋯,a2n-1为等差数列，a2,a4,a6,⋯,a2n为等比数列
B．a1,a3,a5,⋯,a2n-1为等比数列，a2,a4,a6,⋯,a2n为等差数列
C．a1,a2,a3,⋯,a2022为等差数列，a2022,a2023,a2024,⋯,an为等比数列
D．a1,a2,a3,⋯,a2022为等比数列，a2022,a2023,a2024,⋯,an为等差数列
【变式5-2】（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考一模）设等差数列an的公差为d，共前n项和为Sn，已知S16>0，S17<0，则下列结论不正确的是（ ）.
A．a1>0，d<0B．S8与S9均为Sn的最大值
C．a8+a9>0D．a9<0
【变式5-3】（2023·山东潍坊·山东校考模拟预测）设等比数列an 的公比为q ，其前n 项和为Sn ，前n 项积为Tn ，并满足条件a1>1 ，a2019a2020>1 ，a2019-1a2020-1<0，下列结论正确的是（ ）
A．S2019C．T2020 是数列Tn中的最大值 D．数列Tn无最大值
【题型6 数列求和】
【例6】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知等差数列an的首项a1≠0，公差为d，Sn为an的前n项和，Snan为等差数列．
(1)求a1与d的关系；
(2)若a1=1，Tn为数列1anan+1的前n项和，求使得Tn<79成立的n的最大值．
【变式6-1】（2023·河北·模拟预测）已知函数fx满足fx+f1-x=2，若数列an满足：an=f(0)+f1n+⋯+fn-1n+f(1).
(1)求数列an的通项公式；
(2)若数列bn满足b1=23，bn=1an⋅an+1（n≥2），数列bn的前n项和为Sn，若Sn<λan+1对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.
【变式6-2】（2023·全国·模拟预测）已知数列an是各项均为正数的等比数列，且a1=4,a2+18是a1与a3的等差中项．数列bn满足bn+1-bn=an，且b1=1．
(1)求数列an，bn的通项公式；
(2)记cn=lg2bn+1（其中，符号x表示不超过x的最大整数），求数列bn⋅cn的前n项和Sn．
【变式6-3】（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知等差数列an的首项为1，公差为2．正项数列bn的前n项和为Sn，且2Sn=bn2+bn．
(1)求数列an和数列bn的通项公式；
(2)若cn=an,n为奇数2bn,n为偶数，求数列cn的前2n项和．
【题型7 数列问题的实际应用】
【例7】（2023·广东潮州·统考模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为a斤，设fx=10x+1,x>11-5x,0A．-5B．7C．13D．26
【变式7-1】（2023·陕西榆林·统考三模）现有17匹善于奔驰的马，它们从同一个起点出发，测试它们一日可行的路程．已知第i（i=1，2，…，16）匹马的日行路程是第i+1匹马日行路程的1.05倍，且第16匹马的日行路程为315里，则这17匹马的日行路程之和约为（取1.0517=2.292）（ ）
A．7750里B．7752里
C．7754里D．7756里
【变式7-2】（2023·上海金山·统考一模）近两年，直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点.某直播平台第1年初的启动资金为500万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达40%，每年年底把除运营成本a万元，再将剩余资金继续投入直播平合.
(1)若a=100，在第3年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？
(2)每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第6年年底㧅除运营成本后资金达到3000万元？（结果精确到0.1万元）
【变式7-3】（2023·湖南郴州·统考三模）“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念，掌握好这两个概念，对于顺利解决有关金融中的数学问题以及理解各种不同的算法都是十分有益的.所谓“现值”是指在n期末的金额，把它扣除利息后，折合成现时的值，而“终值”是指n期后的本利和.它们计算的基点分别是存期的起点和终点.例如，在复利计息的情况下，设本金为A，每期利率为r，期数为n，到期末的本利和为S，则S=A(1+r)n其中，S称为n期末的终值，A称为n期后终值S的现值，即n期后的S元现在的价值为A=S(1+r)n.
现有如下问题：小明想买一座公寓有如下两个方案
方案一：一次性付全款25万元；
方案二：分期付款，每年初付款3万元，第十年年初付完；
(1)已知一年期存款的年利率为2.5%，试讨论两种方案哪一种更好？
(2)若小明把房子租出去，第一年年初需交纳租金2万元，此后每年初涨租金1000元，参照第（1））问中的存款年利率2.5%，预计第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值.（精确到百元）
参考数据：(1+2.5%)10≈1.28
【题型8 数列不等式问题】
【例8】（2023·全国·校联考模拟预测）已知数列{an}中，a1=5，且2an+1=an+2，Sn为其前n项的和．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求满足不等式|Sn-2n-6|<12023的最小正整数n的值；
(3)设bm=(m-3)2+λ2，Cn=nλ(43)n-1(an-23)，其中λ>0，若对任意m，n∈N*，总有bm-cn>73成立，求λ的取值范围．
【变式8-1】（2023·海南·海南华侨中学校考模拟预测）数列an中，a1=49，对任意正整数n都有3n+9⋅n+12an+1=n+23an.
(1)求an的通项公式；
(2)设an的前n项和为Sn，证明：
①an<13n⋅n+1；
②Sn<54-2n+54⋅3n.
【变式8-2】（2023·天津和平·耀华中学校考二模）已知等差数列an的前n项和为Sn，a1=1，S4=10，数列bn满足：b1=3，bn+1=2bn-1n∈N*．
(1)证明：bn-1是等比数列；
(2)证明：S2n+1⋅bn>2Sn⋅bn+1；
(3)设数列cn满足：cn=an+1an2an+22,n为奇数a2nbn,n为偶数．证明：k=12nck<94．
【变式8-3】（2023·广西南宁·校考模拟预测）函数fx=ax2+bx+c满足f0=0，fx=f-1-x，且与直线y=-2x-2相切.
(1)求实数a，b，c的值；
(2)已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且点an,4Sn在函数fx的图象上，若不等式Sn+8>(-1)n⋅λan对于任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.
【题型9 以数列为载体的新定义或情境题】
【例9】（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）若项数为NN≥3的数列AN:a1,a2,⋯,aN满足：a1=1,ai∈N*i=2,3,⋯,N，且存在M∈2,3,⋯,N-1，使得an+1-an∈1,2,1≤n≤M-1-1,-2,M≤n≤N-1，则称数列AN具有性质P.
(1)①若N=3，写出所有具有性质P的数列A3；
②若N=4,a4=3，写出一个具有性质P的数列A4；
(2)若N=2024，数列A2024具有性质P，求A2024的最大项的最小值；
(3)已知数列AN:a1,a2,⋯,aN,BN:b1,b2,⋯,bN均具有性质P，且对任意i,j∈1,2,⋯,N，当i≠j时，都有ai≠aj,bi≠bj．记集合T1=a1,a2,⋯,aN，T2=b1,b2,⋯,bN，求T1∩T2中元素个数的最小值.
【变式9-1】（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知有限数列an，从数列an中选取第i1项、第i2项、⋯、第im项（i1(1)判断下面数列an的两个子列是否为完全数列，并说明由；
数列①：3，5，7，9，11；数列②：2，4，8，16．
(2)数列an的子列bk长度为m，且bk为完全数列，证明：m的最大值为6；
(3)数列an的子列bk长度m=5，且bk为完全数列，求1b1+1b2+1b3+1b4+1b5的最大值．
【变式9-2】（2023·北京朝阳·统考一模）已知有穷数列A:a1,a2,⋯,aNN∈N*,N≥3满足ai∈-1,0,1i=1,2,⋯,N．给定正整数m，若存在正整数s，ts≠t，使得对任意的k∈0,1,2,⋯,m-1，都有as+k=at+k，则称数列A是m-连续等项数列．
(1)判断数列A:-1,1,0,1,0,1,-1是否为3-连续等项数列？是否为4-连续等项数列？说明理由；
(2)若项数为N的任意数列A都是2-连续等项数列，求N的最小值；
(3)若数列A:a1,a2,⋯,aN不是4-连续等项数列，而数列A1:a1,a2,⋯,aN,-1，数列A2:a1,a2,⋯,aN,0与数列A3:a1,a2,⋯,aN,1都是4-连续等项数列，且a3=0，求aN的值．
【变式9-3】（2023·全国·郑州中学校考模拟预测）若一个数列的奇数项为公差为正的等差数列，偶数项为公比为正的等比数列，且公差公比相同，则称数列为“摇摆数列”，其表示为an=a1+n-12d,n=2k-1a2qn-22,n=2k，k∈N*，a2=q，若数列{an}(n∈N*)为“摇摆数列”且a1=1，a1+a2=a3，a2a3=20
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn=nan，求数列bn的前2n项和T2n．（注：i=1ni2=n(n+1)(2n+1)6）
1．（2023·北京·统考高考真题）已知数列an满足an+1=14an-63+6(n=1,2,3,⋯)，则（ ）
A．当a1=3时，an为递减数列，且存在常数M≤0，使得an>M恒成立
B．当a1=5时，an为递增数列，且存在常数M≤6，使得anC．当a1=7时，an为递减数列，且存在常数M>6，使得an>M恒成立
D．当a1=9时，an为递增数列，且存在常数M>0，使得an2．（2023·全国·统考高考真题）记Sn为数列an的前n项和，设甲：an为等差数列；乙：{Snn}为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3．（2023·全国·统考高考真题）设等比数列an的各项均为正数，前n项和Sn，若a1=1，S5=5S3-4，则S4=（ ）
A．158B．658C．15D．40
4．（2023·北京·统考高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列an，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1=1,a5=12,a9=192，则a7= ；数列an所有项的和为 ．
5．（2022·北京·统考高考真题）已知数列an各项均为正数，其前n项和Sn满足an⋅Sn=9(n=1,2,⋯)．给出下列四个结论：
①an的第2项小于3； ②an为等比数列；
③an为递减数列； ④an中存在小于1100的项．
其中所有正确结论的序号是 ．
6．（2023·北京·统考高考真题）已知数列an,bn的项数均为m(m>2)，且an,bn∈{1,2,⋯,m}, an,bn的前n项和分别为An,Bn，并规定A0=B0=0．对于k∈0,1,2,⋯,m，定义rk=maxi∣Bi≤Ak,i∈{0,1,2,⋯,m}，其中，maxM表示数集M中最大的数.
(1)若a1=2,a2=1,a3=3,b1=1,b2=3,b3=3，求r0,r1,r2,r3的值；
(2)若a1≥b1，且2rj≤rj+1+rj-1,j=1,2,⋯,m-1,，求rn；
(3)证明：存在p,q,s,t∈0,1,2,⋯,m，满足p>q,s>t, 使得Ap+Bt=Aq+Bs．
7．（2023·全国·统考高考真题）设Sn为数列an的前n项和，已知a2=1,2Sn=nan．
(1)求an的通项公式；
(2)求数列an+12n的前n项和Tn．
8．（2023·天津·统考高考真题）已知an是等差数列，a2+a5=16,a5-a3=4．
(1)求an的通项公式和i=2n-12n-1ain∈N*．
(2)设bn是等比数列，且对任意的k∈N*，当2k-1≤n≤2k-1时，则bk（Ⅰ）当k≥2时，求证：2k-1（Ⅱ）求bn的通项公式及前n项和．
9．（2023·全国·统考高考真题）已知an为等差数列，bn=an-6,n为奇数2an,n为偶数，记Sn，Tn分别为数列an，bn的前n项和，S4=32，T3=16．
(1)求an的通项公式；
(2)证明：当n>5时，Tn>Sn．
10．（2022·北京·统考高考真题）已知Q:a1,a2,⋯,ak为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的n∈{1,2,⋯,m}，在Q中存在ai,ai+1,ai+2,⋯,ai+j(j≥0)，使得ai+ai+1+ai+2+⋯+ai+j=n，则称Q为m-连续可表数列．
(1)判断Q:2,1,4是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；
(2)若Q:a1,a2,⋯,ak为8-连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(3)若Q:a1,a2,⋯,ak为20-连续可表数列，且a1+a2+⋯+ak<20，求证：k≥7．
11．（2022·全国·统考高考真题）记Sn为数列an的前n项和．已知2Snn+n=2an+1．
(1)证明：an是等差数列；
(2)若a4,a7,a9成等比数列，求Sn的最小值．
12．（2022·天津·统考高考真题）设an是等差数列，bn是等比数列，且a1=b1=a2-b2=a3-b3=1．
(1)求an与bn的通项公式；
(2)设an的前n项和为Sn，求证：Sn+1+an+1bn=Sn+1bn+1-Snbn；
(3)求k=12nak+1-(-1)kakbk．