模块07 圆锥曲线（测试）-2024年高考数学二轮复习测试（新教材新高考）

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。

模块七 圆锥曲线（测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线是双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可知，所以.
故选：D.
2．若拋物线上一点到焦点的距离为1，则点的横坐标是（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】A
【解析】化为标准形式为，故焦点坐标为，准线方程为，
由焦半径可得，解得.
故选：A
3．若动点在上移动，则点与点连线的中点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设PQ的中点为，
则，解得，
即，又点P在曲线上，
所以，即，
所以PQ的中点的轨迹方程为.
故选：A
4．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，则，
因为，所以为的中点，
所以，
故直线的斜率.
故选：D
5．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，，依题意，由椭圆及双曲线的定义得：
，，
由，
解得，而，所以双曲线的离心率．
故选：A．
6．已知是：上一点，过点作圆：的两条切线，切点分别为A，B，则当直线AB与平行时，直线AB的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为以为直径的圆的方程为，
又圆：，两圆方程相减可得两切点所在直线AB的方程为，
由，可得，即得直线AB的方程为.
故选：C.
7．已知双曲线的左右焦点分别为，，P为双曲线在第一象限上的一点，若，则（ ）
A．B．C．14D．15
【答案】C
【解析】依题意，椭圆长半轴长，短半轴长，半焦距，则，
在中，，
即有，解得，则，即是等腰三角形，
.
故选：C
8．椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆上总存在点，使得过点能作椭圆的两条相互垂直的切线，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据题意可知椭圆的蒙日圆方程为，圆心为原点，半径为，
圆的圆心为，半径为，
则圆与必有交点才符合题意，
即两圆圆心距，
则.
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知双曲线的两个焦点分别为，且满足条件，可以解得双曲线的方程为，则条件可以是（ ）
A．实轴长为4B．双曲线为等轴双曲线
C．离心率为D．渐近线方程为
【答案】ABD
【解析】设该双曲线标准方程为，则.
对于A选项，若实轴长为4，则，，符合题意；
对于B选项，若该双曲线为等轴双曲线，则，又，，
可解得，符合题意；
对于C选项，由双曲线的离心率大于1知，不合题意；
对于D选项，若渐近线方程为，则，结合，可解得，符合题意，
故选：ABD.
10．已知圆，，则（ ）
A．直线的方程为
B．过点作圆的切线有且仅有条
C．两圆相交，且公共弦长为
D．圆上到直线的距离为的点共有个
【答案】AB
【解析】由题知，，
则直线的方程为，所以A正确；
因为，圆半径为，
过点作圆的切线有两条，所以B正确；
又，
公共弦所在直线为，
圆心到的距离为，
所以公共弦长为，所以C错误；
圆心到直线的距离为，
所以圆上到直线距离为的点有个，所以D错误．
故选：AB
11．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点，则下列说法正确的有（ ）
A．当时，
B．
C．若直线的倾斜角分别为，则
D．若点关于轴的对称点为点，则直线必恒过定点
【答案】ACD
【解析】设，.
对于选项A：当时，抛物线方程为，准线方程为：，点.
当时，过点的直线方程为.
联立方程组，整理得：，
则.
所以由抛物线的定义可得：，故选项A正确；
对于选项B：当时，直线为轴，此时直线和抛物线只有一个交点，故选项B不正确；
对于选项C：由可得：点，准线方程为，点.
则直线.
联立方程组，整理得：，
则.
因为，
所以
所以，故选项C正确；
对于选项D：因为点关于轴的对称点为点，
，
所以直线与的倾斜角相同，即三点共线.
所以直线必恒过定点，故选项D正确.
故选：ACD.
12．双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知分别为双曲线的左，右焦点，过右支上一点作双曲线的切线交轴于点，交轴于点，则（ ）
A．平面上点的最小值为
B．直线的方程为
C．过点作，垂足为，则（为坐标原点）
D．四边形面积的最小值为4
【答案】ABD
【解析】对于A，由双曲线定义得，且，
则，
所以的最小值为.故A正确；
对于B，设直线的方程为，，
联立方程组，消去整理得，，
，化简整理得，解得，
可得直线的方程为，即，故B正确；
对于C，由双曲线的光学性质可知，平分，延长与的延长线交于点，
则垂直平分，即，为的中点，
又是中点，所以，故C错误；
对于D，由直线的方程为，令，得，则，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以四边形面积的最小值为4，故D项正确.
故选：ABD.
.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知圆，过作圆的切线，则直线的倾斜角为 ．
【答案】（或写为）
【解析】因为，所以，点在圆上，直线的斜率为，
由圆的几何性质可知，，则直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，则，故.
即直线的倾斜角为（或）.
故答案为：（或写为）.
14．已知椭圆的右顶点、上顶点分别为A，B，直线与直线相交于点D，且点D到x轴的距离为a，则C的离心率为 .
【答案】/
【解析】设直线与x轴的交点为E，如下图所示：
则，，，即,，
易知，则，所以，
即，所以.
故答案为：.
15．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过左焦点作直线与双曲线交于A，B两点（B在第一象限），若线段的中垂线经过点，且点到直线的距离为，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【解析】
设双曲线的半焦距为c，，，根据题意得，
又，，设的中点为，
在中，，，，
则，，根据，
可知，.
故答案为：.
16．已知双曲线：的焦距为，过双曲线上任意一点作直线，分别平行于两条渐近线，且与两条渐近线分别交于点，．若四边形的面积为，则双曲线的方程为 ．
【答案】
【解析】因为双曲线的焦距为，所以．
双曲线渐近线方程为，即，
设，分别为点到和的距离，
则到两条渐近线的距离之积
，
又，
，
所以，
又
所以．
所以．
所以．
因为，所以，．
所以双曲线的方程为．
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
已知点,直线及圆．
(1)若直线与圆相切,求的值．
(2)求过点的圆的切线方程．
【解析】（1）圆心坐标,半径,
若直线与圆相切,
则圆心到直线的距离,解得或.
所以或.
（2）圆心坐标,半径,
当直线的斜率不存在时,直线方程为,
由圆心到直线的距离知,直线与圆相切．
当直线的斜率存在时,设方程,即.
由题意知,解得,
即直线方程为,即.
综上所述,过点的圆的切线方程为或．
18．（12分）
设椭圆经过点，且其左焦点坐标为.
(1)求椭圆的方程；
(2)对角线互相垂直的四边形的四个顶点都在上，且两条对角线均过的右焦点，求的最小值.
【解析】（1）因为椭圆的左焦点坐标为，
所以右焦点坐标为.
又椭圆经过点，
所以.
所以椭圆的方程为.
（2）①当直线中有一条直线的斜率不存在时，.
②当直线的斜率存在且不为0时，
设直线的方程，
由，得，
则，
.
设直线的方程为，同理得，
所以，
设，则，
则，
所以时，有最小值.
综上，的最小值是.
19．（12分）
已知F是抛物线E：的焦点，是抛物线E上一点，与点F不重合，点F关于点M的对称点为P，且．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)若过点的直线与抛物线E交于A，B两点，求的最大值．
【解析】（1）∵，点N与点F不重合，∴，∴．
∵点F关于点M的对称点为P，
∴，（中点坐标公式）．
∴，得，
∴抛物线E的标准方程为．
（2）由（1）知，
易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，代入，整理得，，
，
设，则．
∵，
∴，
当时，取得最大值，为．
20．（12分）
在直角坐标系中，抛物线与直线交于两点．
(1)若点的横坐标为4，求抛物线在点处的切线方程；
(2)探究轴上是否存在点，使得当变动时，总有？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由已知，得，因为，所以，斜率，
因此，切线方程为，即．
（2）存在符合题意的点，理由如下：
设点为符合题意的点，，直线的斜率分别为．
联立方程，得，
因为，则，可得，
从而
，
因为不恒为0，可知当且仅当时，恒有，
则直线与直线的倾斜角互补，故，
所以点符合题意．
21．（12分）
已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且，的一条渐近线与直线：垂直.
(1)求的标准方程；
(2)点为上一动点，直线，分别交于不同的两点，（均异于点），且，，问：是否为定值？若为定值，求出该定值，请说明理由.
【解析】（1）因为，所以，
因为双曲线的渐近线与直线：垂直，
所以，②
又，③
解得，，
所以双曲线的方程为.
（2）设，则，，
设，，
所以，，
因为，所以，所以，
同理可得，所以，
直线的方程为，
联立双曲线的方程可得，
所以，所以，所以，
因为，即，所以
同理，
，
所以是定值，定值为.
22．（12分）
设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点、.当直线垂直于轴时，.
(1)求抛物线的标准方程.
(2)已知点，直线、分别与抛物线交于点、.求证：直线过定点.
【解析】（1）由题意，当直线垂直于轴时，直线的方程为，
联立可得，则，所以，即，