模块05 解三角形与平面向量（测试）-2024年高考数学二轮复习测试（新教材新高考）

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。

模块五 解三角形与平面向量（测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，，若，则向量在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，，
，，
解得，，
向量在上的投影向量为．
故选：B．
2．在中，点D，E分别是，的中点，记，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可知，，．
两式相减，得，所以．
故选：D．
3．在中，角所对的边分别为，已知成等差数列，，则的面积为（ ）
A．3B．C．12D．16
【答案】B
【解析】因为成等差数列，可得，
又因为，
由余弦定理得：，
整理得，即，
所以的面积为.
故选：B.
4．在△中，角的对边分别是，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以．
因为，所以，所以．
因为，所以，则．
故选：B
5．在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则此三角形的解的情况是（ ）
A．有一解B．有两解
C．无解D．有解但解的个数不确定
【答案】A
【解析】由，得，
又 ，，故只能为锐角，即，
故该三角形只有一解．
故选：A.
6．已知平面向量，均为单位向量，且，，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意平面向量，均为单位向量，且，
建立如图所示平面直角坐标系，设，
设，由，
所以点在以原点为圆心，半径为的圆上，
表示以原点为圆心，
半径为的圆上的点与点的距离，
所以，根据圆的几何性质可知：的最大值是，
其中是点与原点的距离.
故选：C
7．在中，内角、、对应边分别为、、，已知，且角的平分线交于点，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，，
由正弦定理可得，
因为、，则，所以，，可得，
因为角的平分线交于点，，
由，即，
所以，，所以，，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为.
故选：A.
8．已知在所在平面内，，、分别为线段、的中点，直线与相交于点，若，则（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．的最大值为
D．的最大值为
【答案】D
【解析】
，且为线段的中点，
所以,
则,,
设,
则，
且和共线，，
所以，.
故为线段的中点,且,
所以,
且,若，
则,
即,
故,当且仅当时，等号成立；
,当的最大时, 即最小时，
此时，
.
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量为
【答案】BCD
【解析】易知，显然，故A错误；
易知：，
故B正确；
易知，故C正确；
在上的投影向量，故D正确.
故选：BCD
10．在中，内角所对的边分别为，下列与有关的结论，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则是等腰直角三角形
C．若是锐角三角形，则
D．若，，分别表示，的面积，则
【答案】ACD
【解析】对于A中，因为，设外接圆的半径为,可得，
又由，所以A正确；
对于B中，因为，由正弦定理得，即，
因为，可得或，即或，
所以是等腰三角形或直角三角形，所以B不正确；
对于C中，由是锐角三角形，可得，即，
因为是锐角三角形，可得，
又因为在为单调递减函数，所以，所以C正确；
对于D中，如图所示，设的中点为，的中点为，
因为，即，
可得，即，所以点是上靠近的三等分点，
所以点到的距离等于到的，
又由到的距离为点到的距离的倍，
所以到的距离等于点到距离的，
由三角形的面积公式，可得，即，所以D正确.
故选：ACD.
11．如图，已知的内接四边形中，，下列说法正确的是（ ）
A．四边形的面积为
B．该外接圆的半径为
C．
D．过作交于点，则
【答案】ABC
【解析】对于A，连接AC，
在中，，，
由于，所以，故，解得，
所以，，所以，
故，
，
故四边形ABCD的面积为，A正确；
对于B，设外接圆半径为R，则，
故该外接圆的直径为，半径为，B正确；
对于C，连接BD，过点O作于点G，过点B作于点E，
则由垂径定理得：，由于，所以，
即，解得，所以，所以，
且，所以，即在向量上的投影长为1，
且与反向，故，C正确；
对于D，由C选项可知：，故，且，
因为，由对称性可知：DO为的平分线，故，
由A选项可知：，显然为锐角，
故，，
所以，
所以，D错误.
故选：ABC
12．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的取值范围是
C．若为边上中点，且，则的最小值为
D．若面积为1，则三条高的乘积的平方的最大值为
【答案】ACD
【解析】对于A项，由得
，即，
因为，则，
若显然不符题意，或者也不符合题意，
所以，即，所以，故A正确；
对于B项，，
因为，所以，所以，
所以，即的取值范围是，故B错误；
对于C项，由余弦定理知，
又为边上中点，所以，
所以，所以，所以，
当且仅当时，取得等号，所以，所以，故C正确；
对于D项，不妨设三边上的高分别，则，
又，所以，所以，
根据余弦定理知，所以，
当且仅当时，取得等号，故D正确.
故选：ACD
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在圆的内接四边形中，，，，，则 ．
【答案】3
【解析】连接，如图：
在中，因为，，
由余弦定理，得，即
又因为，所以，
在中，因为，，，
由余弦定理，得，
即，解得：．
故答案为：.
14．某校数学建模社团对山西省朔州市的应县木塔的高度进行测量.如图，该校数学建模社团成员在应县木塔旁水平地面上的处测得其顶点的仰角分别是和，且测得，米，则该校数学建模社团测得应县木塔的高度 米.
【答案】70
【解析】设米，则米，米.
在中，，由余弦定理可得，
即，即，即，解得或（舍去）.
故答案为：.
15．在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.设，，试用，表示为 ，若，的面积为，则的最小值为 .
【答案】 6
【解析】如图所示，中，，
是边的中点，是线段的中点，则，
，
即；
由的面积为，得，
所以
，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为6.
故答案为：；6
16．如图，在圆内接四边形中，，，．若为的中点，则的值为 ．
【答案】
【解析】由余弦定理知，所以，
由正弦定理得，所以为圆的直径，
所以，所以，从而，
又，所以为等边三角形；
以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴建立如下图所示的
平面直角坐标系：则，，，，，
故．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
已知平面向量，，，且与的夹角为.
(1)求；
(2)若与垂直，求的值
【解析】（1），且与的夹角为，
，
（2）与垂直，
，
即，
即，解得：.
18．（12分）
已知向量，，函数．
(1)若，求的值；
(2)若为锐角三角形，且，求的取值范围．
【解析】（1）∵，∴，则；
；
（2）
，
由，得，
∵，∴，∴，即,
因为锐角三角形，可得，解得，
∴，故的取值范围为．
19．（12分）
在中，内角所对边的长分别为，．
(1)若，求．
(2)若为边上的一点，且，求．
【解析】（1）由余弦定理，得，即．
因为，所以，
即，解得，（舍去），
将代入中得．
由正弦定理，得，即，
所以．
（2）由（1）知，．
因为，
所以，
所以
，
因为，所以，
所以，解得，
又，代入可得.
20．（12分）
在中，内角所对的边分别为，且．
(1)求角A的大小；
(2)若点为的中点，点满足，点为与的交点，求的余弦值．
【解析】（1）由已知得，
即．
由正弦定理得．
因为在中，，所以．
因为，所以．
（2）设，所以，
因为为的中点，所以，
又，
由（1）知，，，
故，，
故．
，
，
所以，
所以的余弦值为．
21．（12分）
在中，，且边上的中线长为1.
(1)若，求的面积；
(2)若，求的长.
【解析】（1）由题可知，
由勾股定理得，，所以是直角三角形，
又，所以，
又边上中线，
所以，，，
所以.
（2）方法一：由题可知，
设，则，
在中，由正弦定理得，即，
在中，由正弦定理得，即，
所以，则，①
在和中，由余弦定理得
所以，②
在中，由余弦定理得，
即，即，③
将代入得，④
由①④得，即，即，
即，即，
因为，所以，则，所以.
故的长为2.
方法二：作的角平分线，交与，
设，则，
在和中，由正弦定理可得，
又，所以，
所以.
由题可知，所以，
在和中，，
所以，所以，
则，即，即，
所以（舍）或.
在和中，由余弦定理得
所以，
则，解得.
故的长为2.
方法三：延长到，使，连接，
由题可知，
设，则，
在和中，，
所以，所以，则，
所以，
即，即，
所以（舍）或.
在和中，由余弦定理得
所以，
则，解得.
故的长为2.
22．（12分）
在中，内角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若为的中点，在上存在点，使得，求的值.
【解析】（1）由，而，
所以，则，且，
若，即，则，
所以；
若，即，则，显然不成立；
综上，.
（2）如下图示， 若且，
则，同理，
所以，
则，
由（1）易知，且，
所以，整理得，
综上，，，
所以，即，
，即，
故.