2024年新高考数学一轮复习达标检测第04讲基本不等式（教师版）

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A．B．C．1D．
【分析】由，然后利用基本不等式即可求解．
【解答】解：因为，则，
当且仅当即时取等号，
故选：．
2．已知，，且，则的最小值为
A．100B．81C．36D．9
【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解的最小值．
【解答】解：，，且，
由基本不等式可得，当且仅当即，时取等号，
解可得，即的最小值36．
故选：．
3．如图，矩形花园的边靠在墙上，另外三边是由篱笆围成的．若该矩形花园的面积为4平方米，墙足够长，则围成该花园所需要篱笆的
A．最大长度为8米B．最大长度为米
C．最小长度为8米D．最小长度为米
【分析】根据已知条件建立关于篱笆长度的关系式，然后结合基本不等式即可求解．
【解答】解：设米，米，则，
所以围成矩形花园所需要的篱笆长度为，
当且仅当，即时取等号．
故选：．
4．坐标满足，且，，则的最小值为
A．9B．6C．8D．
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：由题意可得，，
则，
当且仅当且即，时取等号，此时取得最小值9
故选：．
5．已知实数，满足，且，则的最小值为
A．21B．24C．25D．27
【分析】根据题意，将变形可得，据此可得，设，则有，，结合基本不等式性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，实数，满足，变形可得，则有，
则，
设，则有，，
又由，
则有，即的最小值为27，此时，即；
故选：．
6．已知实数、，，则的最大值为
A．B．C．D．6
【分析】直接利用关系式的恒等变换的应用和基本不等式的应用求出结果．
【解答】解：由于，
所以，
故：，（当且仅当时，等号成立）．
故选：．
7．在中，点为线段上任一点（不含端点），若，则的最小值为
A．1B．8C．2D．4
【分析】由向量共线定理可得，然后利用1的代换，结合基本不等式即可求解．
【解答】解：由于点在线段上，由向量共线定理可得，
则，
故选：．
8．已知，，，若不等式对已知的，及任意实数恒成立，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【分析】先结合基本不等式求出的范围；再根据不等式恒成立结合二次函数即可求解
【解答】解：，
当且仅当时等号成立，
，
即，
．
故选：．
9．《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3．设为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点作于点，则下列推理正确的是
①由图1和图2面积相等可得；②由可得；
③由可得；④由可得．
A．①②③④B．①②④C．②③④D．①③
【分析】根据题意求出，，，然后可判断②③④对，根据面积相等，可判断①对．
【解答】解：由图1和图2面积相等，可得，①对；
由题意知图3面积为，，
，
图3设正方形边长为，由三角形相似，，解之得，则；
可以化简判断②③④对，
故选：．
10．（多选）若正实数，满足，则下列说法正确的是
A．有最大值B．有最大值
C．有最小值2D．有最大值
【分析】由已知结合基本不等式及其变形形式分别检验各选项即可判断．
【解答】解：因为正实数，满足，
由基本不等式可得，当且仅当时取等号，故正确；
因为，当且仅当时取等号，
所以的最大值为，故正确；
，即有最小值4，故错误；
，结合可知有最小值，当且仅当时取等号，故错误；
故选：．
11．（多选）设正实数、满足，则下列说法正确的是
A．的最小值为B．的最大值为
C．的最小值为2D．的最小值为2
【分析】，，，利用“乘1法”可得：，再利用基本不等式的性质可得其最小值．利用基本不等式的性质进而判断出的正误．
【解答】解：，，，则，当且仅当时成立．
，解得．
，，．
，当且仅当时取等号．
综上可得：正确．
故选：．
12．已知，则的最小值为 ．
【分析】由，然后结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为，
则，
当且仅当即时取等号，
故答案为：5
13．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度（单位：随时间（单位：的变化关系为，则经过 后池水中药品的浓度达到最大．
【分析】利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：，当且仅当时取等号．
因此经过后池水中药品的浓度达到最大．
故答案为：2．
14．已知正实数，满足，则的最小值为 ．
【分析】直接利用关系式的变换和不等式的性质的应用求出结果．
【解答】解：已知正实数，满足，
整理得：，
所以，
所以（当且仅当等号成立）
故的最小值为2．
故答案为：2
15．已知，则的最小值为 ．
【分析】根据题意，由基本不等式的性质分析可得，进而可得，据此由基本不等式的性质分析可得的最小值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，，则有，当且仅当时等号成立，
则原式，
又由，则，
则有，当且仅当，即时等号成立，
综合可得：的最小值为4，当且仅当时等号成立
故答案为：4．
16．若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
【分析】先利用乘1法，配凑基本不等式的应用条件求的最小值，然后由恒成立，可得，解不等式可求．
【解答】解：正实数，满足，
则．
当且仅当且，即，时取等号，此时取得最小值16，
因为不等式恒成立，
则，
解可得．
故答案为：
17．已知．
（1）求的最大值；
（2）求的最小值．
【分析】（1）由，可知，即可求解；
（2），结合二次函数的性质可求．
【解答】解：（1），
所以，当且仅当即，时取等号，
则的最大值为；
（2），
结合二次函数的性质可知，当时，函数取得最小值．
18．有一批材料，可以建成长为240米的围墙如图，如果用材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地，中间用同样材料隔成三个相等面积的矩形，怎样围法才可取得最大的面积？并求此面积．
【分析】结合已知条件，利用基本不等式即可求解面积的最大值及取得的条件．
【解答】解：设每个小矩形的长为，宽为，依题意可知，
，
当且仅当取等号，
所以时，当面积相等的小矩形的长为30时，矩形面积最大，
19．若，，且．
（1）求的最小值；
（2）是否存在、，使得？并说明理由．
【分析】根据基本不等式求解的值域，然后求解（1）（2）．
【解答】解：（1）由，得，当且仅当时成立，
所以，当且仅当时成立，
所以的最小值为4．
（2）由（1）知，当且仅当，时成立，
因为，不同时成立，
所以，不存在，使成立．
20．已知，均为正实数，且．
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【分析】由已知结合基本不等式即可求解最小值；
结合中最小值的求解及含绝对值不等式的求法即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）因为，且，得，
所以（当且仅当，时取等号）．
所以，所以成立．
故的最小值为1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知对任意的，恒成立，
或或，
，或，或．
故实数的取值范围为，．
21．已知正实数，满足．
（1）求的最小值．
（2）证明：．
【分析】（1）由已知可得，，展开后利用基本不等式可求；
（2）由，展开后结合基本不等式可求范围，然后由即可证明．
【解答】解：（1）正实数，满足，
，
当且仅当且即，时取得最小值；
（2）证明：，
，
，
（当且仅当时取等号）
[B组]—强基必备
1．已知正数，满足，且，则的最大值为
A．B．C．2D．4
【分析】根据题意，分析可得，由基本不等式的性质求出的最小值，即可得的最小值，据此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，正数，满足，
则，
又由，
当且仅当时等号成立，
则，即的最小值为，
若，则的最大值为；
故选：．
2．已知正数，满足，若恒成立，则实数的取值范围是 ．
【分析】首先对关系式进行恒等变换，进一步整理得，最后利用基本不等式的应用求出结果．
【解答】解：已知正数，满足，
所以，
所以：
则：，
，
，
，
，
，
要使恒成立，只需满足即可，
故．
故答案为：．