第04讲 基本不等式 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 （学生版+教师版）

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第4讲   基本不等式思维导图  知识梳理1．基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. 2．算术平均数与几何平均数设a＞0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)． 核心素养分析理解基本不等式。结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题。重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养. 题型归纳题型1    利用基本不等式求最值【例1-1】（2019·济南模拟）（1）已知，求的最大值；（2）已知，是正实数，且，求的最小值．【分析】（1）由题意可得，然后结合基本不等式即可求解；（2）由题意可得，然后结合基本不等式可求．【解答】解：（1）因为，则，当且仅当即时取等号，此时取得最大值；（2），是正实数，且，则，当且仅当且即，时取等号，此时取得最小值．【例1-2】（2019·辽宁模拟）已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．【分析】利用消元法消元，再利用基本不等式.【解答】　法一：(换元消元法)由已知得x＋3y＝9－xy，因为x>0，y>0，所以x＋3y≥2，所以3xy≤2，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0.令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，得t≥6，即x＋3y的最小值为6.法二：(代入消元法)由x＋3y＋xy＝9，得x＝，所以x＋3y＝＋3y＝＝＝＝3(1＋y)＋－6≥2 －6＝12－6＝6.即x＋3y的最小值为6.【例1-3】（2019·合肥调研）已知a>b>0，那么a2＋的最小值为________．【解答】　由a>b>0，得a－b>0，∴b(a－b)≤2＝.∴a2＋≥a2＋≥2 ＝4，当且仅当b＝a－b且a2＝，即a＝，b＝时取等号．∴a2＋的最小值为4.【跟踪训练1-1】（2020春•湖北期中）已知，则的最小值为　  　．【分析】由题意可得，，然后利用基本不等式即可求解．【解答】解：因为，所以，则，当且仅当即时取等号，故答案为：7．【跟踪训练1-2】（2020•韶关二模）已知，，且，则的最小值是　　A．7 B．8 C．9 D．10【分析】根据题意，分析可得，结合基本不等式的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，若，，且，则，当且仅当时，等号成立，故的最小值是9；故选：．  【名师指导】1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值．3.通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．4.两次利用基本不等式求最值的注意点当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性． 题型2    利用基本不等式解决实际问题【例2-1】（2019秋•罗田县期中）小王从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为和，其全程的平均时速为，则　　A． B． C． D．【分析】根据题意，设甲地到乙地的距离为，分析可得用、表示，结合基本不等式的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，设甲地到乙地的距离为，又由从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为和，则小王一共用了，则，又由，则，则，又由，则有，故选：．【例2-2】（2019春•南昌县校级月考）某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份　　A．甲食堂的营业额较高 B．乙食堂的营业额较高 C．甲乙两食堂的营业额相同 D．不能确定甲，乙哪个食堂的营业额较高【分析】首先利用题意得出两个食堂的营业额为等差和等比数列，进一步利用不等式的关系式求出结果．【解答】解：设甲乙两食堂1月份的营业额均为，甲乙两食堂9月份的营业额均为，由题意可得，甲食堂的营业额构成等差数列，乙食堂的营业额构成等比数列，则5月份甲食堂的营业额，乙食堂的营业额，因为，所以由基本不等式，故本年5月份甲食堂的营业额较高．故选：．【跟踪训练2-1】（2019秋•金安区校级月考）近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周猪肉价格分别为元斤、元斤，家庭主妇甲和乙买猪肉的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤猪肉，家庭主妇乙每周买50元钱的猪肉，试比较谁购买方式更实惠（两次平均价格低视为实惠）　 　（在横线上填甲或乙即可）．【分析】求出甲乙的平均单价，得出结论．【解答】解：甲购买产品的平均单价为：，乙购买产品的平均单价为：，由算术平均数调和平均数，故答案为：乙．又两次购买的单价不同，，乙的购买方式的平均单价较小．故答案为：乙．【名师指导】有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解． 题型3    基本不等式的综合应用【例3-1】（2020春•吉林月考）在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为　　A． B． C． D．【分析】由已知结合向量共线定理可得，然后利用基本不等式可求．【解答】解：因为为线段上的一点，且，根据共线定理可知，，因为，，所以，则，当且仅当且时取等号，故选：．【例3-2】（2020春•广陵区校级期中）已知直线过圆的圆心，则的最小值为　　A．3 B． C．6 D．【分析】直线过圆的圆心，可得．再利用“乘1法”及其基本不等式的性质即可得出．【解答】解：直线过圆的圆心，，即．则，当且仅当时成立．故选：．【例3-3】（2020•山东模拟）若，，则实数的取值范围为　     　．【分析】由已知不等式恒成立转化为求解最值，结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为，则，当且仅当即时取等号，因为，所以，故答案为：，【跟踪训练3-1】（2020春•沙坪坝区校级月考）已知向量，且向量与向量平行，则的最大值为　　A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先由向量平行的坐标表示可得，，然后结合基本不等式可求．【解答】解：由题意可得，，所以，当且仅当时取等号，解可得，，故的最大值为：2故选：．【跟踪训练3-2】（2020•淮南一模）已知函数，满足，均为正实数），则的最小值为　    　【分析】由已知可得，即可得到，再由基本不等式即可求解．【解答】解：由，可得，因为，，所以，即有，则，当且仅当，时取等号，此时取得最大值，故答案为：【名师指导】利用基本不等式解题的策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．