高考数学(理数)一轮复习：课时达标检测04《函数及其表示》(教师版)

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对点练(一) 函数的定义域
1．下列函数中，与函数y＝eq \f(1,\r(3,x))的定义域相同的函数为( )
A．y＝eq \f(1,sin x)B．y＝eq \f(ln x,x)
C．y＝xexD．y＝eq \f(sin x,x)
解析：选D 函数y＝eq \f(1,\r(3,x))的定义域为{x|x≠0}；y＝eq \f(1,sin x)的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}；
y＝eq \f(ln x,x)的定义域为{x|x>0}；y＝xex的定义域为R；y＝eq \f(sin x,x)的定义域为{x|x≠0}．故选D.
2．函数f(x)＝eq \f(\r(－x2－3x＋4),lgx＋1)的定义域为( )
A．(－1,0)∪(0,1]B．(－1,1]
C．(－4，－1]D．(－4,0)∪(0,1]
解析：选A 要使函数f(x)有意义，
应有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2－3x＋4≥0，,x＋1>0，,x＋1≠1，))解得－13．已知函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝f(2x)＋eq \r(8－2x)的定义域为( )
A．[0,1]B．[0,2]
C．[1,2]D．[1,3]
解析：选A 由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤2x≤2，,8－2x≥0，))解得0≤x≤1.故选A.
4．设函数f(x)＝lg(1－x)，则函数f[f(x)]的定义域为( )
A．(－9，＋∞)B．(－9,1)
C．[－9，＋∞)D．[－9,1)
解析：选B f[f(x)]＝f[lg(1－x)]＝lg[1－lg(1－x)]，其定义域为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x>0，,1－lg1－x>0))的解集，
解得－95．函数y＝ln(x2－x－m)的定义域为R，则m的范围是________．
解析：由条件知，x2－x－m>0对x∈R恒成立，即Δ＝1＋4m<0，∴m<－eq \f(1,4).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,4)))
对点练(二) 函数的表示方法
1．设函数f(x)满足feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－x,1＋x)))＝1＋x，则f(x)的解析式为( )
A.eq \f(2,1＋x)B.eq \f(2,1＋x2)
C.eq \f(1－x2,1＋x2)D.eq \f(1－x,1＋x)
解析：选A 令eq \f(1－x,1＋x)＝t，则x＝eq \f(1－t,1＋t)，代入f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－x,1＋x)))＝1＋x，
得f(t)＝1＋eq \f(1－t,1＋t)＝eq \f(2,1＋t)，故选A.
2．如果f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x,1－x)，则当x≠0且x≠1时，f(x)＝( )
A.eq \f(1,x)B.eq \f(1,x－1)
C.eq \f(1,1－x)D.eq \f(1,x)－1
解析：选B 令eq \f(1,x)＝t，得x＝eq \f(1,t)，∴f(t)＝eq \f(\f(1,t),1－\f(1,t))＝eq \f(1,t－1)，∴f(x)＝eq \f(1,x－1).
3．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________.
解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b
＝ax＋5a＋b，即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＋5a＝17，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝7，))∴f(x)＝2x＋7.
答案：2x＋7
4．若函数f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则函数g(x)的解析式为_____________．
解析：令x＋2＝t，则x＝t－2.因为f(x)＝2x＋3, g(x＋2)＝f(x)＝2x＋3，
所以g(t)＝2(t－2)＋3＝2t－1.故函数g(x)的解析式为g(x)＝2x－1.
答案：g(x)＝2x－1
对点练(三) 分段函数
1．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs\f(πx,2)，x≤0，,fx－1＋1，x>0，))则f(2)＝( )
A.eq \f(1,2)B．－eq \f(1,2)
C．－3D．3
解析：选D f(2)＝f(1)＋1＝f(0)＋2＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)×0))＋2＝1＋2＝3.故选D.
2．设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(x)，0＜x＜1，,2x－1，x≥1.))若f(a)＝f(a＋1)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＝( )
A．2B．4
C．6D．8
解析：选C 当0＜a＜1时，a＋1＞1，f(a)＝eq \r(a)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，∵f(a)＝f(a＋1)，∴eq \r(a)＝2a，解得a＝eq \f(1,4)或a＝0(舍去)．∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＝f(4)＝2×(4－1)＝6.当a≥1时，a＋1≥2，∴f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，∴2(a－1)＝2a，无解．综上，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＝6.
3．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－lg23－x，x<2，,2x－2－1，x≥2.))若f(2－a)＝1，则f(a)＝( )
A．－2B．－1
C．1D．2
解析：选A 当2－a≥2，即a≤0时，f(2－a)＝22－a－2－1＝1，解得a＝－1，
则f(a)＝f(－1)＝－lg2[3－(－1)]＝－2；当2－a<2，即a>0时，f(2－a)＝－lg2[3－(2－a)]＝1，解得a＝－eq \f(1,2)，舍去．综上，f(a)＝－2.故选A.
4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋x，x≥0，,－3x，x<0.))若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞)B．(2，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析：选D 根据题意，当a>0时，f(a)－f(－a)>0，即a2＋a－[－3(－a)]>0，
∴a2－2a>0，解得a>2；当a<0时，f(a)－f(－a)<0，即－3a－[(－a)2＋(－a)]<0，∴a2＋2a>0，解得a<－2.综上，实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．故选D.
5．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2ax，x≥2，,2x＋1，x<2，))若f(f(1))>3a2，则a的取值范围是________．
解析：由题知，f(1)＝2＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝32＋6a，若f(f(1))>3a2，则9＋6a>3a2，
即a2－2a－3<0，解得－1答案：(－1,3)
[大题综合练——迁移贯通]
1．(1)已知f(2x＋1)＝4x2＋2x＋1，求f(x)的解析式；
(2)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求f(x)的解析式．
解：(1)令t＝2x＋1，则x＝eq \f(1,2)(t－1)，
所以f(t)＝4eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)t－1))2＋2×eq \f(1,2)(t－1)＋1＝(t－1)2＋(t－1)＋1＝t2－t＋1，
即f(x)＝x2－x＋1.
(2)当x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，①
以－x代替x得2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②
由①②消去f(－x)，得f(x)＝eq \f(2,3)lg(x＋1)＋eq \f(1,3)lg(1－x)，x∈(－1,1)．
2．已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝－2f(x＋1)，且f(x)在区间[0,1]上有解析式f(x)＝x2.
(1)求f(－1)，f(1.5)；
(2)写出f(x)在区间[－2,2]上的解析式．
解：(1)由题意知f(－1)＝－2f(－1＋1)＝－2f(0)＝0，
f(1.5)＝f(1＋0.5)＝－eq \f(1,2)f(0.5)＝－eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＝－eq \f(1,8).
(2)当x∈[0,1]时，f(x)＝x2；
当x∈(1,2]时，x－1∈(0,1]，f(x)＝－eq \f(1,2)f(x－1)＝－eq \f(1,2)(x－1)2；
当x∈[－1,0)时，x＋1∈[0,1)，f(x)＝－2f(x＋1)＝－2(x＋1)2；
当x∈[－2，－1)时，x＋1∈[－1,0)，f(x)＝－2f(x＋1)＝－2×[－2(x＋1＋1)2]＝4(x＋2)2.
所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x＋22，x∈[－2，－1，,－2x＋12，x∈[－1，0，,x2，x∈[0，1]，,－\f(1,2)x－12，x∈1，2].))
3.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)满足下列关系：y＝eq \f(x2,200)＋mx＋n(m，n是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)的关系图．
(1)求出y关于x的函数解析式；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．
解：(1)由题意及函数图象，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(402,200)＋40m＋n＝8.4，,\f(602,200)＋60m＋n＝18.6，))解得m＝eq \f(1,100)，n＝0，
所以y＝eq \f(x2,200)＋eq \f(x,100)(x≥0)．
(2)令eq \f(x2,200)＋eq \f(x,100)≤25.2，得－72≤x≤70.
∵x≥0，∴0≤x≤70.
故行驶的最大速度是70千米/时．