2024年新高考数学一轮复习达标检测第42讲利用空间向量求空间角和距离（学生版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习达标检测第42讲利用空间向量求空间角和距离（学生版），共5页。
1．在长方体中，，，分别为棱，，的中点，，则异面直线与所成角的大小为
A．B．C．D．
2．已知正四棱柱中，，，则直线和所成的角的余弦值为
A．B．C．D．
3．在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为
A．B．C．D．
4．如图示，三棱锥的底面是等腰直角三角形，，且，，则与面所成角的正弦值等于
A．B．C．D．
5．在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）中，，，分别为和的中点，当和所成角的余弦值为时，与平面所成角的正弦值为
A．B．C．或D．
6．在三棱锥中，面面，，，，是的中点．设，若，，则二面角的余弦值的范围为
A．B．C．D．
7．如图，四棱柱中，底面是正方形，各侧棱都相等，记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则
A．B．C．D．
8．如图，在三棱柱中，，，，，，点，分别在棱和棱上，且，，则二面角的正切值为 ．
9．在正方体中，和平面所成角的正弦值为 ．
10．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，，平面平面，是的中点，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值是 ．
11．已知正方体的棱长为2，点，分别是棱，的中点，则二面角的余弦值为 ．若动点在正方形（包括边界）内运动，且平面，则线段的长度范围是 ．
12.如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
(1)证明：MN∥平面PAB；
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
13．已知在四棱锥P­ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB∥CD，AB＝2，DC＝4，E为PC的中点，PD＝PC，BC＝2eq \r(2).
(1)求证：BE∥平面PAD；
(2)若PB与平面ABCD所成角为45°，点P在平面ABCD上的射影为O，问：BC上是否存在一点F，使平面POF与平面PAB所成的角为60°？若存在，试求点F的位置；若不存在，请说明理由．
14.如图，四棱锥P­ABCD的底面是平行四边形，且PD⊥AB.
(1)从下列两个条件中任选一个条件证明：AB⊥平面PAD.
①O是AD的中点，且BO＝CO；②AC＝BD.
(2)在(1)条件下，若AD＝2AB＝4，PA＝PD，点M在侧棱PD上，且PD＝3MD，二面角P­BC­D的大小为eq \f(π,4)，求直线BP与平面MAC所成角的正弦值．
15．如图，边长为2的等边所在平面与菱形所在平面互相垂直，，为线段的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离．
[B组]—强基必备
1.已知四棱锥P­ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝eq \r(3)，BC＝2AD＝2，E为CD的中点，PB⊥AE.
(1)证明：平面PBD⊥平面ABCD；
(2)若PB＝PD，PC与平面ABCD所成的角为eq \f(π,4)，试问“在侧面PCD内是否存在一点N，使得BN⊥平面PCD？”若存在，求出点N到平面ABCD的距离；若不存在，请说明理由．