第43讲 利用空间向量求空间角和距离（讲） 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 （学生版+教师版）

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思维导图
知识梳理
1．异面直线所成角
设异面直线a，b所成的角为θ，则cs θ＝eq \f(|a·b|,|a||b|)， 其中a，b分别是直线a，b的方向向量．
2．直线与平面所成角
如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则sin φ＝|cs〈a，n〉|＝eq \f(|a·n|,|a||n|)
3．二面角
(1)若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量eq \(AB,\s\up7(―→))与eq \(CD,\s\up7(―→))的夹角，如图(1)．
(2)平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α ­l ­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cs φ|＝|cs θ|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|)，如图(2)(3)．
4．利用空间向量求距离
(1)两点间的距离
设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22＋z1－z22).
(2)点到平面的距离
如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为|eq \(BO,\s\up7(―→))|＝eq \f(|\(AB,\s\up7(―→))·n|,|n|).
题型归纳
题型1 异面直线所成的角
【例1-1】（2020•济南模拟）已知直角梯形中，，，，将直角梯形（及其内部）以所在直线为轴顺时针旋转，形成如图所示的几何体，其中为的中点．
（1）求证：；
（2）求异面直线与所成角的大小．
【例1-2】（2020•北京模拟）在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，，为中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值．
【跟踪训练1-1】（2020•运城三模）如图，四边形为平行四边形，且，点，为平面外两点，且，．
（1）证明：；
（2）若，求异面直线与所成角的余弦值．
【名师指导】
用向量法求异面直线所成角的一般步骤
(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；
(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
(4)两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值．
题型2 直线与平面所成的角
【例2-1】（2020•海南）如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为．
（1）证明：平面；
（2）已知，为上的点，，求与平面所成角的正弦值．
【例2-2】（2020•北京）如图，在正方体中，为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
【跟踪训练2-1】（2020•山东）如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为．
（1）证明：平面；
（2）已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值．
【名师指导】
利用向量求线面角的2种方法
(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．
(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线与平面所成的角．
题型3 二面角
【例3-1】（2020•江苏）在三棱锥中，已知，，为的中点，平面，，为中点．
（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）若点在上，满足，设二面角的大小为，求的值．
【例3-2】（2020•新课标Ⅰ）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【跟踪训练3-1】（2020•新课标Ⅲ）如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．
（1）证明：点在平面内；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
【跟踪训练3-2】（2019•天津）如图，平面，，，，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长．
【跟踪训练3-3】（2019•新课标Ⅰ）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
【名师指导】
利用空间向量计算二面角大小的常用方法
(1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．
(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．
题型4 求空间距离
【例4-1】（2019•新课标Ⅰ）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点．
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离．
【跟踪训练4-1】（2020•梅州二模）如图，中，，，，分别是，的中点，将沿折起，连结，，得到多面体．
（1）证明：在多面体中，；
（2）在多面体中，当时，求点到平面的距离．
【名师指导】
求点面距一般有以下三种方法
(1)作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离．
(2)等体积法．
(3)向量法．其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便．