2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第44讲直线的倾斜角斜率与直线的方程（学生版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第44讲直线的倾斜角斜率与直线的方程（学生版），共5页。试卷主要包含了直线的倾斜角，斜率公式，直线方程的五种形式等内容，欢迎下载使用。

知识梳理
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
2．斜率公式
(1)定义式：直线l的倾斜角为αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)))，则斜率k＝tan α.
(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率 k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
3．直线方程的五种形式

题型归纳
题型1 直线的倾斜角与斜率
【例1-1】直线xcsα﹣y﹣4＝0的倾斜角的取值范围是（ ）
A．[0，π）B．
C．D．
【例1-2】已知点A（﹣2，﹣3）和点B（﹣1，0）是平面直角坐标系中的定点，直线y＝kx+1与线段AB始终相交，则实数k的取值范围是（ ）
A．[1，2]B．[﹣2，1]C．[﹣2，﹣1]D．[，1]
【跟踪训练1-1】过点A（2，1），B（m，3）的直线的倾斜角α的范围是，则实数m的取值范围是（ ）
A．0＜m≤2B．0＜m＜4
C．2≤m＜4D．0＜m＜2或2＜m＜4
【跟踪训练1-2】已知直线l过点P（1，0）且与线段y＝2（﹣2≤x≤2）有交点，设直线l的斜率为k，则k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣]∪[2，+∞）B．[﹣，2]
C．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）D．（﹣，2）
【名师指导】
题型2 直线的方程
【例2-1】已知直线l经过点P（﹣1，2），且倾斜角为135°，则直线l的方程为（ ）
A．x+y﹣3＝0B．x+y﹣1＝0C．x﹣y+1＝0D．x﹣y+3＝0
【例2-2】（多选）已知直线l过点P（2，4），在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的方程可能为（ ）
A．x﹣y+2＝0B．x+y﹣6＝0C．x＝2D．2x﹣y＝0
【例2-3】已知A（3，2），B（﹣2，3），C（4，5），则△ABC的BC边上的中线所在的直线方程为（ ）
A．x+y+1＝0B．x+y﹣1＝0C．x+y﹣5＝0D．x﹣y﹣5＝0
【例2-4】过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．x﹣y+1＝0B．x+y﹣3＝0
C．2x﹣y＝0或x+y﹣3＝0D．2x﹣y＝0或x﹣y+1＝0
【跟踪训练2-1】如果直线x﹣4y+b＝0的纵截距为正，且与两坐标轴围成的三角形的面积为8，则b＝ ．
【跟踪训练2-2】在y轴上的截距为﹣6，且与y轴相交成30°角的直线方程是 ．
【跟踪训练2-3】一条直线经过点，并且它的倾斜角等于直线倾斜角的2倍，则这条直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【名师指导】
1．求解直线方程的2种方法
2．谨防3种失误
(1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在．
(2)应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0.
(3)应用一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时注意讨论B是否为0.
题型3 直线方程的综合问题
【例3-1】△ABC中，A（0，1），AB边上的高CD所在直线的方程为x+2y﹣4＝0，AC边上的中线BE所在直线的方程为2x+y﹣3＝0．
（1）求直线AB的方程；
（2）求直线BC的方程；
（3）求△BDE的面积．
【跟踪训练3-1】已知△ABC的三个顶点坐标为A（﹣3，1），B（3，﹣3），C（1，7）．
（1）求BC边的中线所在直线方程的一般式方程；
（2）求△ABC的面积．
【名师指导】
与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含垂直于x轴的直线
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0
平面内所有直线都适用
数形结合法
作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定
函数图象法
根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可
直接法
根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程
待定系数法
①设所求直线方程的某种形式；
②由条件建立所求参数的方程(组)；
③解这个方程(组)求出参数；
④把参数的值代入所设直线方程