高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板06 三角函数 (解析版)

模板一、三角函数性质的应用

1.模板解决思路

三角函数的定义城、值城及相关性质已有结论，因此与它们相关的函数，关键是搞清楚这些函数的复合方式，然后利用复合函数的方法解决相关性质，

2.模板解决步骤

①第一步由求出函数名整体相应的范围

②第二步由三角函数的性质,得出关于自变量的方程或不等式(组).

③第三步解方程或不等式( 组)，得相应的值或取值范围，

知识点1.正弦函数、余弦函数的性质

(1)定义域:R.值域:[-1,1].

(2 )周期性

正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，最小正周期是2.

(3)奇偶性

正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.

(4 )单调性

正弦函数在每一个闭区间（）都是增函数，其值从-1增大到1，早每一个闭区间（）上都是减函数。其值从1减到-1.

余弦函数在每一个闭区间（）上都是增函数，其值从-1增大到1.在每一个闭区间（）上都是减函数，其值从1减到-1

(5)最大值与最小值

正弦函数当且仅当时取得最大值1,

当且仅当时取得最小值-1;

余弦函数当且仅当时取得最大值1,

当且仅当时取得最小值-1.

(6)对称轴

正弦曲线的对称轴:

余弦曲线的对称轴:

(7)对称中心

正弦曲线的对称中心

余弦曲线的对称中心

例题1

（2020高三上·杭州期末）已知函数 的最小正周期为 . 

（Ⅰ）求函数 的单调递增区间；

（Ⅱ）在锐角 中，若 ，求 的值.

【答案】 解：（Ⅰ）因为    

，

因为 的最小正周期为 ，所以 ，即 .

所以 ，

因为 ， ，

即 ， ，

所以 的单调递增区间为 ， .

（Ⅱ）由 ，得 ，

即 ，

所以 ，又 ，∴ ，

∴

【解析】（1）利用三角恒等变换化函数 解析式利，利用周期公式求出的值，利用余弦函数的单调性即可求解；
（2）由正弦、余弦定理求得B的值，即可计算得解  的值。

例题2

（2021·普陀模拟）设函数 .   

（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期；   

（2）设A，B，C为 的三个内角， ，且C为锐角， ，a=4，求c边的长.   

【答案】 （1）解：     

=

所以 ；当 时，

即 时，
（2）解：由 得， ； 

所以 ，C为锐角，故 ；

，所以b=5

所以由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=21

故 .

【解析】（1）利用两角和的余弦公式结合二倍角的余弦公式，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的最小正周期公式，从而求出函数的最小正周期，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的最大值。
（2）利用函数的解析式结合代入法和已知条件，从而得出 ，因为角C为锐角，再利用同角三角函数基本关系式，得出 ，再利用三角形面积公式结合已知条件，从而求出b的值，再利用余弦定理，从而求出c的值。

模板二、由函数图像求解析式

1.模板解决思路

求解析式就是求其中参数的值，根根各参数的几何意义,结合图象，先后求出各参数的值直即可，一-般先求A ,b ,然后求，最后求.

2.模板解决步骤

①第一步求A,b.先确定函数的最大值M和最小值m，则

②第二步求.相邻的最高点与最低点之间的距离为,相邻的两个最高点之间的距离为T，再根据，确定

③第三步求q. 常用的方法有:

a.代人法:把图象上的一个已知点代人(此时已知)或代入图象与直线y=b的交点求解

b.五点法:确定值时,往往以寻找“五点法”中的一个点为突破口.“第一点"(即图象 上升时与x轴的交点)时=0;

“第二点”(即图象的“峰点”)时= ;

“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时=π;

“第四点”(即图象的“谷点”)时= ;

“第五点”时 =2π.另外,要特别注意已知条件中所给的的范围.

函数的物理意义

物理学中，简谐运动的图象所对应的函数解析式有如下形式:

,其中A>0,>0.

A就是这个简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离;

这个简谐运动的周期是，这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间;

这个简谐运动的频率由公式=给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;

称为相位;

x=0时的相位称为初相

例题1

（2021·上虞模拟）已知函数 在一个周期内的图象如图所示. 

（1）求f（x）的解析式；   

（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到函数 的图象，求 在 上的单调递增区间.   

【答案】 （1）由图可得函数f（x）的最小正周期为 ， 

所以， ，

，则 ，

，则 ， ，则 ，所以， ，

因为 ，所以， ，所以， ；
（2）由题意可得 ， 

令 ， ，得 ， ，

记 ，则 .

因此，函数 在 上的增区间是 、 .

【解析】(1)由图象即可得出函数的周期，再由周期公式求出的值，再由点的坐标代入计算出  ， 结合正弦函数的性质即可得出以及A=2，由此即可得出函数的解析式。
(2)利用函数平移的性质得出函数g(x)的解析式，再由正弦函数的单调性，结合整体思想即可求出函数的单调增区间。

例题2

（2019高三上·汉中月考）已知函数 的图象经过点（0,1），函数 的部分图象如图所示. 

（1）求 ， 的解析式；   

（2）求 的图象的对称中心与 的单调递增区间.   

【答案】 （1）解：由图可知， 的最小正周期 ，  

则 ，即 .

将 代入 ，得 .

又 ，所以 ，

所以 ， .
（2）解：令 ，  

得 ，

所以 的图象的对称中心为 .

令 ，

得 ，

所以 的单调递增区间为 .

【解析】（1）根据 的图像求得 的周期，进而求得 的值，也即求得 的解析式，利用点 求得 的值，也即求得 的解析式.（2）根据余弦型三角函数的对称中心和单调递增区间的求法，求得 的对称中心和单调递增区间.