甘肃省2023-2024学年七年级下学期月考数学试题（含解析）

这是一份甘肃省2023-2024学年七年级下学期月考数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了二章，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列图形中，有关角的说法正确的是（ ）
A．∠1与∠2是同位角B．∠3与∠4是内错角
C．∠3与∠5是对顶角D．∠4与∠5相等
3．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（4x﹣3y）（﹣3y﹣4x）B．（2x2﹣y2）（2x2＋y2）
C．（a＋b﹣c）（﹣c﹣b＋a）D．（﹣x＋y）（x﹣y）
4．绘图员画图时经常使用丁字尺，丁字尺分尺头、尺身两部分，尺头的里边和尺身的上边应平直，并且一般互相垂直，也有把尺头和尺身用螺栓连接起来，可以转动尺头，使它和尺身成一定的角度．用丁字尺画平行线的方法如下面的三个图所示．画直线时要按住尺身，推移丁字尺时必须使尺头靠紧图画板的边框．请你说明：利用丁字尺画平行线的理论依据是什么？
A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行D．两直线平行，同位角相等
5．若，则等于（ ）
A．2022B．2021C．D．2024
6．如图，在下列条件中，不能判定直线与平行的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图（1），在中，，边绕点按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转的过程中（图（2）），当（ ）时，．
A．42°B．138°C．42°或138°D．42°或128°
8．已知，那么的值为（ ）．
A．5B．1C．10D．2
9．一副三角板摆放如图所示，斜边FD与直角边AC相交于点E，点D在直角边BC上，且FDAB，∠B＝30°，则∠ADB的度数是（ ）
A．95°B．105°C．115°D．125°
10．观察下列运算
我们发现规律：（为正整数）：利用这个公式计算：（ ）
A．32022﹣1B．C．D．
11．如图，∥，有图中α，β，γ三角之间的关系是（ ）
A．α+β-γ=180°，B．α-β+γ=180°
C．α+β-γ=360°，D．α+β+γ=360°
12．如图，已知AB//CD，M为平行线之间一点，连接AM，CM，N为AB上方一点，连接AN，CN，E为NA延长线上一点，若AM，CM分别平分∠BAE，∠DCN，则∠M与∠N的数量关系为（ ）
A．∠M﹣∠N＝90°B．2∠M﹣∠N＝180°
C．∠M+∠N＝180°D．∠M+2∠N＝180°
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13．若，则 ．
14．张雷同学从A地出发沿北偏东60°的方向行驶到B地，再由B地沿南偏西35°的方向行驶到C地，则∠ABC＝ 度．
15．若，则数M的末位数字是 ．
16．如图，已知，直线分别与，相交于，两点，现把一块含角的直角三角尺按如图所示的位置摆放．若，则 ．
17．如图，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长满足a+b=10，ab=20，则阴影部分的面积为 ．
18．已知，平分，，，则 ．
19．将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，…，第n次对折后得到的图形面积为，请根据图2化简， ．
20．如图，在四边形BCEF中，BF∥AD∥CE，S△ABC＝3，则△DEF的面积是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共60分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．先化简，再求值：，其中．
22．回答下列问题
(1)填空：
(2)若，则 ；
(3)若，求的值．
23．阅读材料：
例题：已知a2+4b2﹣2a﹣4b+2＝0，求a，b的值．
解：∵a2+4b2﹣2a﹣4b+2＝0，
∴a2﹣2a+1+4b2﹣4b+1＝0，
∴（a﹣1）2+（2b﹣1）2＝0，
∴a﹣1＝0，2b﹣1＝0，
∴a＝1，b＝．
参照上面材料，解决下列问题：
（1）已知x2+y2+8x﹣12y+52＝0，求x，y的值；
（2）已知2x2+4y2+4xy﹣2x+1＝0，求x+y的值．
24．已知：如图，直线，直线MN交EF，PO于点A，B，直线HQ交EF，PO于点D，C，DG与OP交于点G，若，，．
（1）求证：；
（2）请直接写出的度数．
25．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题：
(1)图2所表示的数学等式为___________；
(2)利用（1）得到的结论，解决问题：若，求的值；
(3)如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，三点在同一直线上，连接，若两正方形的边长满足，求阴影部分面积．
26．如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如：∠1＝120°，|∠1﹣∠2|＝90°，则∠1和∠2互为垂角．(本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角)
(1)如图1所示，O为直线AB上一点，∠AOC＝90°，∠EOD＝90°，则∠AOD垂角为 和 ；
(2)如果一个角的垂角等于这个角的补角的 ，求这个角的度数；
(3)如图2所示，O为直线AB上一点，∠AOC＝90°，∠BOD＝30°，且射线OC绕点O以9°/s的速度逆时针旋转，射线OD绕点O以6°/s的速度顺时针旋转，两条射线OC、OD同时运动，运动时间为ts(0＜t＜20)，试求当t为何值时，和互为垂角．
27．配方法是数学中重要的一种思想方法． 它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）①已知29是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式 ；
②若可配方成（m、n为常数），则 ；
探究问题：
（2）①已知，则 ；
②已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出符合条件的一个k值，并说明理由．
拓展结论：
（3）已知实数x、y满足，求的最值．
参考答案与解析
1．C
【分析】
本题考查了幂的运算以及合并同类项；根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项进行计算即可求解．
【解答】解：A． ，故该选项不正确，不符合题意；
B． ，故该选项不正确，不符合题意；
C． ，故该选项正确，符合题意；
D． ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C
2．C
【分析】根据同位角、内错角、对顶角的定义判断即可求解．
【解答】A、∠1与∠2不是同位角，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、∠1与∠4不是内错角，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、∠3与∠5是对顶角，原说法正确，故此选项符合题意；
D、∠4与∠5不相等，原说法错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查同位角、内错角、对顶角的定义，解题的关键是熟练掌握三线八角的定义及其区分．
3．D
【分析】根据平方差公式的定义进行分析解答即可，两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式．
【解答】解：A、原式＝（−3y＋4x）（−3y−4x），可以运用平方差公式，故本选项错误；
B、符合两个数的和与这两个数差的积的形式，可以运用平方差公式，故本选项错误；
C、可以把−c＋a看做一个整体，故原式＝（−c＋a＋b）（−c＋a−b），可以运用平方差公式，故本选项错误；
D、不能整理为两个数的和与这两个数差的积的形式，所以不可以运用平方差公式，故本选项正确．
故选：D．
【点拨】本题主要考查平方差公式的定义，关键在于逐项分析，找到不符合平方差公式定义的选项．
4．A
【分析】根据平行线的判定条件即可得到答案.
【解答】解：由题意可知：画直线时要按住尺身，推移丁字尺时必须使尺头靠紧图画板的边框
由此可见画直线时，是保持着一定的角度进行的即根据同位角相等，两直线平行来画平行直线的，
故选A.
【点拨】本题主要考查了平行线的判定条件，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的判定条件.
5．D
【分析】本题考查了根据已知代数式的值求新代数式的值．将变形为，，代入即可求解．
【解答】解：∵，
∴，，
∴
．
故选：D．
6．C
【分析】直接用平行线的判定直接判断．
【解答】解：、，∴ab，不符合题意；
B、，∴ab，不符合题意；
C、与既不是直线，被任何一条直线所截的一组同位角，内错角，
，不能得到ab，
符合题意；
D、，∴ab，不符合题意；
故选：C．
【点拨】此题主要考查平行线的判定：（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
7．C
【分析】结合旋转的过程可知，因为位置的改变，与∠ A可能构成内错角，也有可能构成同旁内角，所以需分两种情况加以计算即可．
【解答】解：如图（2），
当∠ACB'=42°时，
∵，
∴∠ACB'=∠A．
∴CB'∥AB．
如图（2），
当∠ACB'=138°时，
∵∠A=42°，
∴
∴CB'∥AB．
综上可得，当或时，CB'∥AB．
故选：C
【点拨】本题考查了平行线的判定、分类讨论的数学思想等知识点，根据CB'在旋转过程中的不同位置，进行分类讨论是解题的关键．
8．B
【分析】
根据幂的乘方和积的乘方逆用得出，再进行变形即可求解．
【解答】
解：∵，
∴，即 ，
∴，即 ，
∴，
∴，
故选B．
【点拨】本题主要考查幂的乘方及积的乘方的逆用，熟练掌握幂的乘方及积的乘方是解题的关键．
9．B
【分析】由题意可知∠ADF＝45°，则由平行线的性质可得∠B+∠BDF＝180°，求得∠BDF＝150°，从而可求∠ADB的度数．
【解答】解：由题意得∠ADF＝45°，
∵，∠B＝30°，
∴∠B+∠BDF＝180°，
∴∠BDF＝180°﹣∠B＝150°，
∴∠ADB＝∠BDF﹣∠ADF＝105°．
故选：B
【点拨】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
10．D
【分析】
本题考查了多项式乘法中的规律性问题．
根据运算规律，代入，，整理后即可求解．
【解答】解：∵，
当，时，，
∴，
故选：．
11．A
【分析】过E作EF∥AB∥CD，由平行线的质可得∠α+∠AEF=180°，∠ECD=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之间的关系．
【解答】解：过点E作EF∥AB，
∴∠α+∠AEF=180°，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FEC=∠ECD，
∵∠β=∠AEF+∠FED，又∠γ=∠ECD，
∴∠α+∠β-∠γ=180°．
故选：A．
【点拨】本题考查了平行线的性质，根据题意正确作出辅助线是解题的关键．
12．B
【分析】过点M作MO//AB，过点N作NP//AB，则MO//AB//CD//NP，根据平行线的性质可得∠AMC＝∠1+∠2，∠CNE＝2∠2﹣∠3，∠3＝180°﹣2∠1，即可得出结论．
【解答】解：过点M作MO//AB，过点N作NP//AB，
∵AB//CD，
∴MO//AB//CD//NP，
∴∠AMO＝∠1，∠OMC＝∠MCD，
∵AM，CM分别平分∠BAE，∠DCN，
∴∠BAE＝2∠1，∠NCD＝2∠2，∠2＝∠MCD，
∴∠AMC＝∠MCD+∠1＝∠1+∠2，
∵CD//NP，
∴∠PNC＝∠NCD＝2∠2，
∴∠CNE＝2∠2﹣∠3，
∵NP//AB，
∴∠3＝∠NAB＝180°﹣2∠1，
∴∠CNE＝2∠2﹣（180°﹣2∠1）＝2（∠1+∠2）﹣180°＝2∠AMC﹣180°，
∴2∠AMC﹣∠CNE＝180°，
故选：B．
【点拨】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，正确的添加辅助线是解题的关键．
13．
【分析】
本题考查非负性，以及逆用积的乘方运算．根据绝对值的非负性，求出的值，再进行计算即可．
【解答】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
14．25
【分析】根据题意作出图形即可判断求解．
【解答】解：如图所示，
∵AD∥BE，∠1＝60°，
∴∠ABE＝∠DAB＝60°，
又∵∠CBE＝35°，
∴∠ABC＝60°﹣35°＝25°．
故答案为：25．
【点拨】此题主要考查方位角的计算，涉及了平行线的有关性质，解题的关键是根据题意作出图形，即可进行求解．
15．6
【分析】将原式转化成，再结合平方差公式解题即可．
【解答】解：
，
∵，，，，，，，；
∴尾数是2，4，8，6，……四个一循环，
∵，
∴232的末位数字是6，
∴的末位数是6．
故答案为：6．
【点拨】本题考查平方差公式、尾数特征等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
16．
【分析】先由邻补角性质得∠3=50°，再根据平行线的性质，得到∠BDC=50°，又根据∠ADB=30°，即可由∠2=∠BDC-∠ADB求解．
【解答】解：如图，
∵∠1=130°，
∴∠3=50°，
又∵l1l2，
∴∠BDC=50°，
又∵∠ADB=30°，
∴∠2=∠BDC-∠ADB=50°-30°=20°，
故答案为：20°．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
17．20
【分析】根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去空白的面积，列式化简，再把a+b=10，ab=20代入计算即可．
【解答】解：∵大小两个正方形边长分别为a、b，
∴阴影部分的面积S=a2+b2a2（a+b）ba2b2ab；
∵a+b=10，ab=20，
∴Sa2b2ab
（a+b）2ab
10220
=20．
故答案为：20．
【点拨】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式及正方形和三角形的面积计算是解题的关键．
18．##30度
【分析】作于，作于，则，设，则，，再根据角平分线的定义可得，设，则，然后根据平行线的性质可得，，，，从而可得，代入可求出的值，由此即可得．
【解答】解：如图，作于，作于，
则，
设，则，，
平分，
，
设，则，
，
，，
，
，，
，，
又，
，
解得，
则，
故答案为：．
【点拨】本题考查了平行公理推论、平行线的性质等知识点，通过作辅助线，构造平行线是解题关键．
19．
【分析】
本题考查图形的变化．根据翻折变换表示出所得图形的面积，再根据各部分图形的面积之和等于正方形的面积减去剩下部分的面积进行计算即可得解．
【解答】
解：由题意可知，，
，
，
，
，
所以，，
故答案为：．
20．6
【分析】根据题意利用平行线间距离即所有垂线段的长度相等，可以求得S△ADF=S△ABD，S△ADE=S△ACD，S△CEF=S△BCE，利用面积相等把S△DEF转化为已知△ABC的面积，即可求解．
【解答】解：∵BF∥AD∥CE，
∴S△ADF=S△ABD，S△ADE=S△ACD，S△CEF=S△BCE，
∴S△AEF=S△CEF-S△ACE=S△BCE-S△ACE=S△ABC，
S△DEF=S△ADF+S△ADE+S△AEF=S△ABD+S△ACD+S△ABC=S△ABC+S△ABC=2S△ABC=2×3=6，
故答案为：6．
【点拨】本题考查平行线的推论，注意掌握平行线间距离即所有垂线段的长度相等并利用三角形面积相等，把S△DEF转化为已知△ABC的面积．
21．，1．
【分析】先计算除法与乘法，然后合并同类项即可把代数式化简，最后代入数值计算即可．
【解答】解：
，
当时，原式．
【点拨】本题考查整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键.
22．(1)2；2
(2)23
(3)7
【分析】（1）将和展开，观察与的差异即可得到结果；
（2）将等式两边同时平方，得到，移项计算即可求得的值；
（3）将等式两边同除a得：，移项得，再将等式两边平方整理即可求得结果．
【解答】（1）解：，
，
，
；
故答案为：2；2
（2）解：，
，
；
故答案为：23
（3）解： 时方程不成立，
，
，
两边同除a得：，
移项得：，
．
【点拨】本题考查了完全平方公式的变形，解决本题的关键是能灵活运用完全平方公式．
23．（1）x＝﹣4，y＝6；（2）
【分析】（1）先变形出完全平方公式，利用完全平方数的非负性即可得出解；
（2）先变形出完全平方公式，利用完全平方数的非负性即可得出解.
【解答】解：（1）∵x2+y2+8x﹣12y+52＝0，
∴（x2+8x+16）+（y2﹣12y+36）＝0，
∴（x+4）2+（y﹣6）2＝0，
∴x+4＝0，y﹣6＝0，
解得，x＝﹣4，y＝6，
故答案为：x＝﹣4，y＝6；
（2）2x2+4y2+4xy﹣2x+1＝0，
（x2+4y2+4xy）+（x2﹣2x+1）＝0，
（x+2y）2+（x﹣1）2＝0，
则 ，
解得
x+y＝1﹣＝，
故答案为：．
【点拨】本题考查了完全平方公式的变形以及完全平方数的非负性的应用，掌握完全平方数的非负性是解题的关键.
24．（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据可得，，再根据内错角相等两直线平行即可得证；
（2）根据两直线平行的性质可得，从而可得，再由即可求解．
【解答】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
，
∵，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了平行线的判定及性质，解题的关键是掌握平行线的判定及性质，利用数形结合的思想进行求解．
25．(1)；
(2)
(3)
【分析】
本题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积．
（1）根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，另一种是大正方形的面积，可得等式；
（2）利用（1）中的乘法公式，进行变形得出答案即可；
（3）利用正方形的面积正方形的面积三角形的面积三角形的面积求解．
【解答】（1）
解：由图可得，大正方形的面积可以表示，
也可以表示为，
∴；
故答案为：；
（2）
解：由（1）可得：
；
（3）
解：
．
26．(1)∠COD，∠AOE
(2)18°或126°
(3)2s或14s
【分析】（1）根据互为垂角的定义即可求解；
（2）利用题中的“一个角的垂角等于这个角的补角的”作为等量关系列方程求解；
( 3 )根据所有角都是指大于0且小于180°的角，可分0＜t＜5，5＜t＜10，10＜t＜20三种情况讨论，并建立相应的方程求解后可得符合题意的t的值．
【解答】（1）∵∠AOC＝90°，∠EOD＝90°，
∴∠AOD﹣∠COD＝90°，∠AOD﹣∠AOE＝90°，
∴AOD的垂角是∠COD和∠AOE；
故答案为：∠COD，∠AOE；
（2）设这个角的度数为x度，则
①当0＜x＜90时，它的垂角是(90+x)度，根据题意得：
90+x＝( 180﹣x )，
解得：x＝18；
②当90＜x＜180时，它的垂角是(x﹣90)度，根据题意得：
x﹣90＝(180﹣x)，
解得：x＝126，
∴这个角的度数为18°或126°；
（3）分三种情况：
①当0＜t＜5时，∠AOC＝(90﹣9t)°，∠AOD＝(150+6t)°，
∴(150+6t)﹣(90﹣9t)＝90，
解得t＝2；
②当5＜t＜10时，∠AOC＝(90﹣9t )°，∠AOD＝(210﹣6t)°，
∴(210﹣6t)﹣(90﹣9t)＝90，
解得t＝﹣10(舍去)；
③当10＜t＜20时，∠AOC＝(9t﹣90)°，∠AOD＝(210﹣6t)°，
∴( 210﹣6t)﹣(9t﹣90)＝90，
解得：t＝14．
综上所述：t的值为2s或14s时，∠AOC和∠AOD互为垂角．
【点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用和新定义以及角的有关计算等知识，解此题的关键是理解题意，能准确从图中找出角之间的关系，并利用方程模型计算出结果．
27．（1）①；②；
（2）①；②详见解析
（3）
【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键．
（1）①把29分为两个整数的平方即可；
5原式利用完全平方公式配方后，确定出与的值，即可求出的值；
（2）①已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，即可求出的值；
②根据为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可；
（3）由已知等式表示出，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最大值即可．
【解答】解：（1）①根据题意得：；
故答案为：；
②根据题意得：，
，，
∴；
故答案为：；
（2）①∵，
∴，
∴，
，，
，，
解得：，，
∴；
故答案为：；
②当时，为“完美数”，理由如下：
，
，是整数，
，也是整数，
是一个“完美数”；
（3），
，即，
，
，
∵，
∴，
∴
∴当时，最大，最大值为．