甘肃省定西市2023-2024学年九年级上册11月月考数学试题（含解析）

这是一份甘肃省定西市2023-2024学年九年级上册11月月考数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了抛物线与轴的交点个数是等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知点、点关于原点对称，则的值为（ ）
A．3B．C．D．1
3．把抛物线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线是（ ）
A．B．
C．D．
4．三角形两边长分别为3和6，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是（ ）
A．11B．13C．11或13D．不能确定
5．如图，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（ ）．
A．AB⊥CDB．∠AOB=4∠ACD
C．D．PO=PD
6．用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是（ ）
A．（x﹣1）2=4B．（x+1）2=4C．（x﹣1）2=16D．（x+1）2=16
7．如图，是的外接圆，已知，则的大小为( )
A．B．C．D．
8．抛物线与轴的交点个数是（ ）
A．无交点B．有且只有一个交点C．有两个不同的交点D．无法确定
9．某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．B．C．D．
10．点A、B、C、D、E、F为圆O的六等分点，动点P从圆心O出发，沿O—C—D—O的路线作匀速运动．设运动时间为x秒，的度数为y度，则下列图象中表示y与x之间函数关系的是( )

A．B．
C． D．
二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．一元二次方程的根是 ．
12．二次函数的最小值为 ．
13．以和3为两根，且二次项系数为1的关于x的一元二次方程为 ．
14．已知的直径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是 ．
15．四边形是的内接四边形，且，则 度．
16．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a值为 ．
17．边长为3的等边三角形内接于，则的半径为 ．
18．二次函数的图象如图所示，给出下列说法：； ； ；；当时，． 其中正确的序号是 ．

三．解答题（一）（本大题共5小题，共28分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：
20．解方程．
(1)
(2)
21．如图，在边长为单位的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
(1)画出关于坐标原点的中心对称三角形，并写出写的坐标．
(2)算出的面积．
22．如图，在中，是的直径，与交于点，求的度数．

23．如图所示，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥侧面，求围成的圆锥的高．

四．解答题（二）（本大题共5小题，共38分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
24．如图，石拱桥的桥拱是以O为圆心，为半径的圆弧，若石拱桥的高度为2米，跨度米，求桥拱的半径．
25．如图，是的切线，为切点，．

(1)求的度数；
(2)当时，求的半径．
26．如图，矩形中，，，点M以的速度从点B向点C运动，点N以的速度从点C向点D运动．两点同时出发，设运动开始第t秒钟时，五边形的面积为．
(1)写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
(2)当运动多少秒时五边形的面积最小?并求出最小面积．
27．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，若∠BAC=∠CAM，过点C作直线l垂直于射线AM，垂足为点D．
（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若直线l与AB的延长线相交于点E，⊙O的半径为3，并且∠CAB=30°，求CE的长．
28．如图，已知抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大，若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．A
【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．据此即可求解．
【详解】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．B
【分析】由关于原点对称的两个点的坐标之间的关系直接得出、的值即可．
【详解】解：点、点关于原点对称，
，，
．
故选：B．
【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的两个点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．
3．D
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数“上加下减，左加右减”的平移规律是解题的关键．
【详解】解：把抛物线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线是，
故选D．
4．B
【详解】试题分析：分解因式得：，可得或，解得：，，
当时，三边长为2，3，6，不能构成三角形，舍去；
当时，三边长分别为3，4，6，此时三角形周长为3+4+6=13．故选B．
考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系．
5．D
【分析】根据垂径定理及圆周角定理可直接解答．
【详解】解：∵P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，
∴AB⊥CD，，
∵OA=OB，即△AOB是等腰三角形，
∴∠AOB=2∠AOP．
∵∠AOP=2∠ACD，
∴∠AOB=2∠AOP=2×2∠ACD=4∠ACD．
故选：D．
【点睛】本题考查垂径定理和圆周角定理，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键．
6．A
【详解】移项，得：x2－2x＝3，配方，得：x2－2x＋1＝3＋1，即(x－1)2＝4.
7．D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理；根据等边对等角先求出的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数，再根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：，，
，
，
．
故选：D．
8．C
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题．把二次函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据的取值情况来进行判断．
【详解】解：∵，
∴抛物线与x轴有两个不同的交点，
故选：C．
9．B
【分析】此题考查了一元二次方程的应用．设每月的平均增长率为x，根据“三月份的营业额为48万元”，即可得出方程．
【详解】解：设每月的平均增长率为x，
∴由题意可得：．
故选：B．
10．C
【分析】此题考查了动点问题的函数图象，用到的知识点是圆周角、圆内的角及函数图象．根据图象分别求出当动点P在上、在上、在上运动时，的变化情况即可得出表示y与x之间函数关系最恰当的图象．
【详解】解：如图：
当动点P在上运动时，逐渐减小；
当动点P在上运动时，不变；
当动点P在上运动时，逐渐增大．
则表示y与x之间函数关系最恰当的是C；
故选：C．
11．，
【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，把方程左边因式分解得，解之即可求出方程的根，熟练掌握因式分解法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
∴，，
故答案为：，．
12．3
【分析】本题考查了二次函数的最值．根据二次函数的性质，即可得到函数的最小值．
【详解】解：在二次函数中，
∵，
∴当时，函数有最小值3；
故答案为：3．
13．
【分析】本题考查根与系数的关系．根据根与系数的关系，求出一次项的系数和常数项，即可．
【详解】解：设一元二次方程为，
∵和3为方程的两个根，
∴，
∴，
∴方程为：．
故答案为：．
14．相交
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，求出的半径，与圆心到直线的距离进行比较即可得出位置关系，解题的关键能根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系来判断直线与圆的位置关系．
【详解】解：∵的直径为，
∴的半径为，
∵，
∴直线与相交．
15．
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，设分别为，根据圆内接四边形的对角互补列出方程，解方程即可求出，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
【详解】解：设分别为，
则，
解得，
∴，
∴，
故答案为．
16．
【分析】把代入原方程，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是0，
∴且，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
17．
【分析】本题考查了正多边形和圆的计算．作于D点，连接，构造直角三角形利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得的长即可．
【详解】解：作于D点，连接，
∵等边三角形内接于，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴的半径为．
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，根据图象的开口可确定，再结合对称轴，可确定，根据图象与轴的交点位置，可确定，根据图象与轴的交点个数可确定，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质、以及二次函数的图象的特点．
【详解】解：∵图象开口向下，
∴ ，
∵，
∴，
∴，，
∵抛物线交轴正半轴，
∴，
∴，故正确；
∵当时，，
∴，故正确；
∵图象和轴交于两点，
∴，故正确；
由图象可知，当时，，故正确；
所以正确的序号是，
故答案为：．
19．
【分析】此题考查了实数的运算，根据二次根式、零指数幂、负整指数幂、绝对值运算法则分别化简，再相加减即可求出结果，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式，
，
．
20．(1)，；
(2)，．
【分析】本题考查了解一元二次方程．
（1）根据公式法法解一元二次方程即可求解；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：，
∵，，，
∴，
，
∴，；
（2）解：，
整理得，
，
解得：，．
21．(1)作图见解析，；
(2)．
【分析】（）根据关于原点对称的点坐标特征，横、纵坐标各互为相反数，找到点的对称点，连接即可得到；
（）利用割补法求三角形的面积即可；
本题考查了作中心对称图形，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：根据关于原点对称的点坐标特征，横、纵坐标各互为相反数，由找到点的对称点，连接即可得到，即为所求；
（2）解：的面积为．
22．
【分析】本题考查了三角形内角和定理，圆周角定理．先根据三角形内角和定理求出的度数，再由圆周角定理即可求解．
【详解】解：在中，，
是的直径，与交于点，
∴．
23．圆锥的高为．
【分析】本题考查了圆锥的计算，重点考查了扇形的弧长公式．求出扇形的弧长，除以即为圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可．
【详解】解：扇形的弧长，
圆锥的底面半径为，
故圆锥的高为：．
24．桥拱所在圆的半径长为4米．
【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识．设半径为r，则，跨度是米，根据垂径定理可得米，在中，根据勾股定理列方程，即可解得答案．
【详解】解：如图，作圆O的半径，使于点D，
设半径为r，
∵拱高为2米，
∴，
∵跨度是米，根据垂径定理可得米，
在中，根据勾股定理可得，
，
解得，
∴桥拱所在圆的半径长为4米．
25．(1)；
(2)的半径为．
【分析】本题考查了切线长定理，三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质．
（1）根据等腰三角形等边对等角可得，根据圆切线的性质可得，从而得到，求得是等边三角形，据此求解即可；
（2）根据切线长定理得到，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
（2）解：连接，

∵是的切线，
∴平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的半径为．
26．(1)；
(2)当秒时，S有最小值．
【分析】本题考查了二次函数的应用．
（1）先表示出第t秒钟时的长，根据三角形的面积公式即可得到的面积的函数关系式，再用矩形的面积减去的面积即可得到结果；
（2）先把配方为顶点式，再根据二次函数的性质即可求得结果．
【详解】（1）解：第t秒钟时，，故，，
故．
∵．
∴；
（2）解：，
∵，
∴当秒时，S有最小值．
27．（1）直线CD与⊙O相切（2）
【分析】（1）要证明过圆上已知点的直线是圆的切线时，只需连接圆心和这点，再证过已知点的半径垂直于这条直线即可．因此，连接CO，根据∠OCA=∠CAM，证明OC∥AD，再根据CD⊥AD，得OC⊥CD，从而证明CD是⊙O的切线．
（2）由题意得∠COE=2∠CAB=60°，则在Rt△COE中应用正切函数定义即可求解．
【详解】解：（1）直线CD与⊙O相切．理由如下：
连接OC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA．
∵∠BAC=∠CAM，
∴∠OCA=∠CAM．
∴OC∥AD．
∵CD⊥AD ，
∴OC⊥CD．
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CD与⊙O相切．
（2）∵∠CAB=30°，
∴∠COE=2∠CAB=60°．
∴在Rt△COE中，OC=3，CE=OC·tan60°=．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，正切的定义，等腰三角形的性质等知识，证明切线是解题的关键．
28．(1)
(2)当点D坐标为（2，1）时，此时△DCA的面积最大，最大值为4
【分析】（1）根据题意设出抛物线的交点式，用待定系数法求解即可；
（2）根据题意作出相关辅助线，用待定系数法求得直线AC解析式为 ，因为点D在抛物线上，所以可设其坐标为（x，），点E在直线AC上则设点E坐标为（x，），由图形可知S△DCA＝S△DCE+S△DAE，将相关坐标及线段的长度代入求解，再根据二次函数的性质即可得出△DCA面积的最大值．
【详解】（1）解：设该抛物线解析式为y＝a（x﹣4）（x﹣1），
将点C（0，﹣2）坐标代入解析式得：﹣2＝a（0﹣4）（0﹣1），
解得，
∴该抛物线的解析式为：；
（2）解：如图，

设存在点D在抛物线上，连接AD、CD，过点D作DE⊥x轴且与直线AC交于点E，
设直线AC表达式为：y＝kx+b（k≠0），将A（4，0），C（0，﹣2）代入其表达式得：
，
∴
∴直线AC的解析式为，
设点D坐标为（x，），则点E坐标为（x，），
∴，
∴，
∵，
∴当x＝2时，△DCA的面积有最大值，最大值为4，
∴当点D坐标为（2，1）时，此时△DCA的面积最大，最大值为4．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的综合，一次函数与几何综合等等，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．