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    2024年陕西省西安市高考数学三模试卷(理科)(含解析)
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    2024年陕西省西安市高考数学三模试卷(理科)(含解析)

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    这是一份2024年陕西省西安市高考数学三模试卷(理科)(含解析),共16页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.已知集合A={(x,y)|y=2x−1},B={(x,y)|y=x2},则A∩B=( )
    A. ⌀B. {1}C. {(1,1)}D. {(1,−1)}
    2.已知复数z=2+3i3−2i,则z−=( )
    A. −iB. iC. 1+iD. 1−i
    3.已知a=lg89,b=0.57,c=lg0.810,则( )
    A. c4.学校为了调查学生在课外读物方面的支出(单位:元)情况,抽取了一个容量为n的样本,并将得到的数据分成[10,20),[20,30),[30,40),[40,50]四组,绘制成如图所示的频率分布直方图,其中支出在[40,50]的同学有24人,则n=( )
    A. 80B. 60C. 100D. 50
    5.已知双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与抛物线C:y2=−16x有相同的焦点F,点F到双曲线E的一条渐近线的距离为2,则E的离心率为( )
    A. 2B. 2C. 3D. 2 33
    6.执行如图所示的程序框图,若输出的y的值为4,则输入的x的可能值有( )
    A. 1个
    B. 2个
    C. 3个
    D. 4个
    7.十二生肖是十二地支的形象化代表,即子(鼠)、丑(牛)、寅(虎)、卯(兔)、辰(龙)、巳(蛇)、午(马)、未(羊)、申(猴)、酉(鸡)、戌(狗)、亥(猪),每一个人的出生年份对应了十二种动物中的一种,即自己的属相.现有印着十二生肖图案的毛绒蛙娃各一个,小张同学的属相为马,小李同学的属相为羊,现在这两位同学从这十二个毛绒娃娃中各随机取一个(不放回),则这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃的概率是( )
    A. 1144B. 1132C. 166D. 133
    8.圆C:x2+y2−2x−4y+3=0被直线l:ax+y−1−a=0截得的弦长的最小值为( )
    A. 1B. 2C. 2D. 3
    9.将函数f(x)=sin(3x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度后得到函数g(x)的图象,若直线x=π6是g(x)的图象的一条对称轴,则( )
    A. f(x)为奇函数B. g(x)为偶函数
    C. f(x)在[π12,π3]上单调递减D. g(x)在[−π15,π9]上单调递增
    10.已知某圆柱的底面直径与某圆锥的底面半径相等,且它们的表面积也相等,圆锥的底面积是圆锥侧面积的一半,则此圆锥与圆柱的体积之比为( )
    A. 8:5 3B. 4:5 3C. 2 3:5D. 4:11 3
    11.已知数列{an}的首项a1=2,an+1=an+6 an+2+9,则a27=( )
    A. 7268B. 5068C. 6398D. 4028
    12.在正方体ABCD−A1B1C1D1中,E,F分别为线段A1B1,AB的中点,O为四棱锥E−C1D1DC的外接球的球心,点M,N分别是直线DD1,EF上的动点,记直线OC与MN所成角为θ,则当θ最小时,tanθ=( )
    A. 2 2111B. 4 23C. 11 205205D. 11 2142
    二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
    13.已知向量a=(1,2),b=(2m,m−3),若a⊥b,则m=______.
    14.已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=xex+1,则f(x)的图象在点(−1,f(−1))处的切线斜率为______.
    15.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若a3=3,S3=39,则a7=______.
    16.已知(x22−x−12)n的展开式中第9项是常数项,则展开式中x5的系数为 (1) ;展开式中系数的绝对值最大的项的系数为 (2) .
    三、解答题:本题共7小题,共82分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    17.(本小题12分)
    在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2bcsC.sin(A+π4)=cs(B−C).
    (1)求A;
    (2)若a=2 2,求△ABC的面积.
    18.(本小题12分)
    每个国家对退休年龄都有不一样的规定,从2018年开始,我国关于延迟退休的话题一直在网上热议,为了了解市民对“延迟退休”的态度,现从某地市民中随机选取100人进行调查,调查情况如表:
    (1)从赞成“延迟退休”的人中任选1人,此人年龄在[35,45)的概率为15,求出表格中m,n的值;
    (2)若从年龄在[45,55)的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样,从中抽取10人参与某项调查,然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会,记这4人中赞成“延迟退休”的人数为X,求X的分布列及数学期望.
    19.(本小题12分)
    如图,在四棱锥P−ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC的中点,PA=PD=4,BC=12AD=2,CD= 3.
    (1)证明:平面BQM⊥平面PAD.
    (2)求二面角M−BQ−A的大小.
    20.(本小题12分)
    已知函数f(x)=(mx−m−1)lnx+x−3e.
    (1)当m=0时,求f(x)的最值;
    (2)当m>0时,若f(x)的两个零点分别为x1,x2(x121.(本小题12分)
    已知F1(−1,0),F2(1,0)点D是圆O:x2+y2=4上一动点,动点E满足F2E=2F2D,点P在直线EF1上,且DP⊥EF2.
    (1)求点P的轨迹C的标准方程;
    (2)已知点Q在直线l:x−4=0上,过点Q作曲线C的两条切线,切点分别为M,N,记点M,N到直线OQ的距离分别为d1,d2,求|MN|d1+d2的最大值,并求出此时Q点的坐标.
    22.(本小题10分)
    在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=4ty=4t2,(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ( 3csθ−2sinθ)=2.
    (1)写出曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程;
    (2)若射线OA:θ=α(0<α<π2,ρ≥0)与曲线C2相交于点A,将OA逆时针旋转90°后,与曲线C1相交于点B,且|OB|=2 3|OA|,求a的值.
    23.(本小题12分)
    已知函数f(x)=|x+2|+|2x−3|.
    (1)求不等式f(x)>6的解集;
    (2)若函数f(x)的最小值为m,正实数a,b满足a2+b29=m,证明:1a+3b≥4 77.
    答案和解析
    1.【答案】C
    【解析】【分析】
    本题主要考查了集合的基本运算,考查了运算求解能力与推理论证能力,是基础题.解方程组y=2x−1y=x2,即可求出A∩B中点的坐标,从而求出A∩B.
    【解答】
    解:由y=2x−1y=x2,可得x=1y=1,
    ∴A∩B={(1,1)},
    故选:C.
    2.【答案】A
    【解析】解:∵z=2+3i3−2i=(2+3i)(3+2i)(3−2i)(3+2i)=13i13=i,
    ∴z−=−i.
    故选:A.
    利用复数代数形式的乘除运算化简,再由共轭复数的概念得答案.
    本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.
    3.【答案】D
    【解析】解:因为lg89>lg88=1,0<0.57<0.50=1,lg0.810所以c故选:D.
    利用指数函数、对数函数的单调性直接求解.
    本题考查三个数的大小的判断,考查指数与对数函数的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查逻辑推理的核心素养,是基础题.
    4.【答案】A
    【解析】解:本题考查频率分布直方图,考查数据处理能力.
    由频率分布直方图可得,支出在[40,50]的频率为1−(0.01+0.024+0.036)×10=0.3.
    根据题意得24n=0.3,解得n=80.
    故选:A.
    根据频率直方图求出[40,50]的频率,然后求出总人数.
    本题考查通过频率直方图估算总人数,属于基础题.
    5.【答案】D
    【解析】解:由题意知抛物线C:y2=−16x的焦点为F(−4,0),所以c=4.
    又因为点F到双曲线E的一条渐近线的距离为2,所以b=2,
    从而a= c2−b2=2 3,ca=42 3=2 33.
    故选:D.
    根据条件可知焦点坐标为(−4,0),得到c,结合焦点到渐近线距离得到b,从而求出a,得到e的值
    本题考查双曲线的离心率,考查运算求解能力.
    6.【答案】C
    【解析】解:由题意可得:y=e4−2x,x4,0若输出的y的值为4,则x≤0x4=4,或0解得x=− 2,或x=2−ln2,或x=e2,
    所以输入的x的可能值有3个.
    故选:C.
    由题意可得:y=e4−2x,x4,0本题主要考查了程序框图的应用,考查了运算求解能力,属于基础题.
    7.【答案】B
    【解析】解:十二生肖是十二地支的形象化代表,
    即子(鼠)、丑(牛)、寅(虎)、卯(兔)、辰(龙)、巳(蛇)、午(马)、未(羊)、申(猴)、酉(鸡)、戌(狗)、亥(猪),
    每一个人的出生年份对应了十二种动物中的一种,即自己的属相.
    现有印着十二生肖图案的毛绒蛙娃各一个,小张同学的属相为马,小李同学的属相为羊,
    现在这两位同学从这十二个毛绒娃娃中各随机取一个(不放回),
    基本事件总数n=12×11=132,
    这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃包含的基本事件个数m=1×1=1,
    则这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃的概率p=mn=1132.
    故选:B.
    现在这两位同学从这十二个毛绒娃娃中各随机取一个(不放回),基本事件总数n=12×11=132,这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃包含的基本事件个数m=1×1=1,由此能求出这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃的概率.
    本题考查概率的求法,考查古典概型等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
    8.【答案】B
    【解析】解:由x2+y2−2x−4y+3=0,得(x−1)2+(y−2)2=2,
    则圆心坐标为C(1,2),半径为 2.
    直线ax+y−1−a=0即a(x−1)+y−1=0,过定点P(1,1),
    当过圆心与定点的直线与直线l垂直时,弦长最短,
    此时|CP|= (1−1)2+(2−1)2=1,则弦长为2 2−1=2.
    故选:B.
    由圆的方程求出圆心坐标与半径,再求出直线l所过定点,求出圆心到定点的距离,利用垂径定理求最小弦长.
    本题考查直线与圆位置关系的应用,训练了利用垂径定理求弦长,是基础题.
    9.【答案】C
    【解析】【分析】
    本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,三角函数关系式的平移变换的应用,正弦型函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于中等题.
    直接利用三角函数关系式的平移变换的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果.
    【解答】
    解:函数f(x)=sin(3x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度后得到函数g(x)=sin(3x+3π4+φ)的图象,由于直线x=π6是g(x)的图象的一条对称轴,
    故3×π6+3π4+φ=kπ+π2(k∈Z),整理得φ=kπ−3π4(k∈Z),
    当k=1时,φ=π4,所以f(x)=sin(3x+π4).g(x)=sin(3x+π)=−sin3x.
    故选项A、B错误.
    对于选项C:π2+2kπ≤3x+π4≤2kπ+3π2(k∈Z),解得:π12+23kπ≤x≤23kπ+5π12(k∈Z),当k=0时,函数的单调递减区间为[π12,5π12],
    由于[π12,π3]⫋[π12,5π12],故选项C正确.
    对于选项D:令π2+2kπ≤3x≤2kπ+3π2(k∈Z),
    当k=0时,函数的单调增区间为:[π6,π2],故选项D错误.
    故选C.
    10.【答案】A
    【解析】解:设圆锥的底面半径为r,母线长为l,
    则πr2=12×12πrl,解得l=2r,
    ∴圆锥的高h= 3r,
    圆锥的体积V=13πr2⋅ 3r= 33πr3.
    由题意知圆柱的底面半径为r2,设圆柱的高为h′,
    ∵圆锥和圆柱的表面积相等,∴3πr2=2π(r2)2+2π(r2)h′,解得h′=52r,
    ∴圆柱体积V′=π(r2)2⋅52r=58πr3,
    ∴此圆锥与圆柱的体积之比为: 33πr358πr3=85 3.
    故选:A.
    设圆锥的底面半径为r,母线长为l,求出l=2r,圆锥的高h= 3r,从而圆锥的体积V=13πr2⋅ 3r= 33πr3.由题意知圆柱的底面半径为r2,设圆柱的高为h′,由圆锥和圆柱的表面积相等,解得h′=52r,求出圆柱体积V′=π(r2)2⋅52r=58πr3,由此能求出此圆锥与圆柱的体积之比.
    本题考查圆锥与圆柱的体积之比的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
    11.【答案】C
    【解析】解:数列{an}的首项a1=2,an+1=an+6 an+2+9,
    则an+1+2=( an+2+3)2,整理得 an+1+2− an+2=3(常数),
    所以数列{ an+2}是以2为首项,3为公差的等差数列.
    所以 an+2=3n−1,
    整理得an+2=(3n−1)2,
    所以a27=802−2=6398.
    故选:C.
    首先利用递推关系式的应用求出新数列的通项公式,进一步求出结果.
    本题考查的知识要点:数列的递推关系式的应用,构造新数列的方法的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于中档题型.
    12.【答案】D
    【解析】解:如图,设P,Q分别是棱CD和C1D1的中点,
    则四棱锥E−C1D1DC的外接球即三棱柱DFC−D1EC1的外接球,
    ∵三棱柱DFC−D1EC1是直三棱柱,
    ∴其外接球球心O为上、下底面三角形外心G和H连结的中点,
    由题意,MN是平面DD1EF内的一条动直线,
    记直线OC与MN所成角为θ,
    则θ的最小值是直线OC与平面DD1EF所成角,
    即问题转化为求直线OC与平面DD1EF所成角的正切值,
    不妨设正方体ABCD−A1B1C1D1中棱长为2,则EQ=2,ED1= 5,
    ∵△EC1D1为等腰三角形,∴△EC1D1外接圆直径为2GE=ED1sin∠EC1D1= 52 5=52,
    则GE=54,GQ=2−54=34=PH,
    如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
    则D(0,0,0),D1(0,0,2),C(0,2,0),F(2,1,0),O(34,1,1),
    DD1=(0,0,2),DF=(2,1,0),OC=(−34,1,−1),
    设平面DD1EF的法向量n=(x,y,z),
    则n⋅DD1=2z=0n⋅DF=2x+y=0,取x=1,得n=(1,−2,0),
    则sinθ=|n⋅OC||n|⋅|OC|=11 5× 41,tanθ=11 2142.
    故选:D.
    设P,Q分别是棱CD和C1D1的中点,则四棱锥E−C1D1DC的外接球即三棱柱DFC−D1EC1的外接球,其外接球球心O为上、下底面三角形外心G和H连结的中点,θ的最小值是直线OC与平面DD1EF所成角,问题转化为求直线OC与平面DD1EF所成角的正切值.
    本题考查㫒面直线所成最小角的正切值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
    13.【答案】32
    【解析】解:因为a⋅b=0,所以2m+2(m−3)=0,即m=32.
    故答案为:32.
    依题意,2m+2(m−3)=0,由此解得m=32.
    本题考查平面向量的坐标运算,考查运算求解能力.
    14.【答案】2e
    【解析】解:∵函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=xex+1,
    ∴当x<0时,−x>0,∴f(−x)=−xe−x+1,
    ∴f(x)=xe−x−1,∴f′(x)=(1−x)e−x,
    ∴f(x)的图象在点(−1,f(−1))处的切线斜率为k=f′(−1)=2e.
    故答案为:2e.
    根据条件求出f(x)在x<0时的解析式,然后求出其导数,再求出f(x)的图象在点(−1,f(−1))处的切线斜率f′(−1).
    本题考查了函数与导数的综合应用和利用导数研究曲线上某点切线方程,考查化归与转化的数学思想,属基础题.
    15.【答案】127
    【解析】解:∵正项等比数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S3=39,
    ∴q≠1,
    ∴a3=a1q2=3S3=a1(1−q3)1−q=39q>0,
    解得a1=27,q=13,
    ∴a7=27×(13)6=127.
    故答案为:127.
    利用等比数列的通项公式、前n项和公式列方程组,求出首项和公比,由此能求出a7.
    本题考查等比数列的第7项的求法,考查等比数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
    16.【答案】1058;−15
    【解析】解:(1)由二项式定理可得(x22−x−12)n的展开式中第r+1项为
    Tr+1=Cnr(x22)n−r(−x−12)r=(−1)r×(12)n−rCnrx2n−5r2,
    由题意:令r=8,则2n−5r2=2n−20=0,解得:n=10,
    ∴Tr+1=Cnr(x22)n−r(−x−12)r=(−1)r×(12)10−rC10rx20−5r2,
    令20−5r2=5,解得r=6,所以展开式中x5的系数为(−1)6×(12)10−6C106=1058;
    (2)设展开式中第r+1项系数的绝对值为Pr+1=|(−1)r×(12)10−rC10r|=C10r210−r,
    则Pr+1Pr=C10rC10r−1⋅210−(r−1)210−r=2(11−r)r=22r−2,所以当1≤r≤7时,Pr+1Pr>1;当8≤r≤10时,Pr+1Pr<1.
    所以P1P9>P10,所以第8项的系数的绝对值最大,
    该项的系数为(−1)7×(12)10−7C107=−15.
    故填:1058,−15.
    先由题设条件求出n,再根据二项式定理求出需要的结果.
    本题主要考查二项式定理,属于中档题.
    17.【答案】解:(1)∵a=2bcsC⇒sinA=2sinBcsC⇒sin(B+C)=2sinBcsC;
    即sinBcsC+sinCcsB=2sinBcsC⇒tanC=tanB⇒B=C;
    又sin(A+π4)=cs(B−C)⇒sin(A+π4)=cs0=1.
    ∴A+π4=2kπ+π2,k∈Z;
    ∴取k=0,可得A=π4;
    (2)∵a2=b2+c2−2bccsA⇒8=2b2−2b2× 22⇒b2=82− 2=4( 2+1);
    ∴△ABC的面积:S=12bc⋅sinA=12b2× 22=2+ 2.
    【解析】(1)根据已知条件以及两角和的正弦即可求得角A;
    (2)先根据余弦定理求得b,进而求得结论.
    本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用并考查了三角形的面积计算,考查运算能力,属于基础题.
    18.【答案】解:(1)因为总共抽取100人进行调查,所以m=100−10−15−20−25−5=25,
    “延迟退休”的人中任选1人,此人年龄在[35,45)的概率为15,可得:n52+n=15,所以n=13.
    (2)从年龄在[45,55)的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样,从中抽取10人,赞成的抽取10×2025=8人,不赞成的2人,在从这10人中抽取4人,则随机变量X的可能取值为2,3,4.P(X=2)=C82⋅C22C104=215,
    P(X=3)=C83⋅C21C104=815,
    P(X=4)=C84⋅C20C104=13,X的分布列为:
    所以EX=2×215+3×815+4×13=165.
    【解析】(1)通过抽取的人数求解m,通过年龄在[35,45)的被调查者中选取的2人都是赞成的概率,求解n;
    (2)由已知得X的可能取值为0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出随机变量X的分布列和数学期望.
    本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题.
    19.【答案】解:(1)证明:∵AD/​/BC,BC=12AD,Q为AD的中点,
    ∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD//BQ,
    ∵∠ADC=90°,∴∠AQB=90°,∴BQ⊥AD,
    ∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,
    BQ⊂平面ABCD,∴BQ⊥平面PAD,
    ∵BQ⊂平面BQM,∴平面BQM⊥平面PAD.
    (2)解:由(1)知QA,QB,QP两两垂直,
    以Q为原点,QA,QB,QP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
    则Q(0,0,0),B(0, 3,0),C(−2, 3,0),P(0,0,2 3),M(−1, 32, 3),
    QB=(0, 3,0),QM=(−1, 32, 3),
    设平面BMQ的法向量n=(x,y,z),
    则n⋅QB= 3y=0n⋅QM=−x+ 32y+ 3z=0,取x= 3,得n=( 3,0,1),
    平面ABQ的法向量m=(0,0,1),
    设二面角M−BQ−A的大小为θ,由图知θ为钝角,
    则csθ=−|m⋅n||m|⋅|n|=−12,∴θ=2π3.
    ∴二面角M−BQ−A的大小为2π3.
    【解析】(1)推导出四边形BCDQ为平行四边形,CD/​/BQ,BQ⊥AD,从而BQ⊥平面PAD,由此能证明平面BQM⊥平面PAD.
    (2)以Q为原点,QA,QB,QP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角M−BQ−A的大小.
    本题考查面面垂直的证明,考查二面角的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
    20.【答案】解:(1)m=0,f(x)=−lnx+x−3e,x>0,f′(x)=1−1x=x−1x,
    当x>1时,f′(x)>0,函数单调递增,当0故当x=1时,函数取得最小值f(1)=1−3e;
    (2)∵f′(x)=m(1+lnx−1x)+1−1x,
    因为m>0时,f′(x)单调递增且f′(1)=0,
    所以01时,f′(x)>0,函数fx单调递增,
    故当x=1时,函数取得最小值f(1)=1−3e<0,
    又f(1e)=−m(1e−1)+1−2e=m(e−1)+e−2e>0,
    f(e)=me−m−1+e−3e=m(e−1)+e−1−3e>0,
    所以f(x)在(1e,1)上存在一个零点,在(1,e)上存在一个零点,
    因此x2−x1【解析】(1)把m=0代入,对函数求导,然后结合导数与单调性的关系可求函数的最小值;
    (2)结合导数与单调性的关系及函数的性质及零点判定定理可证.
    本题主要考查了函数的最值的求解及利用导数及函数的性质综合解决函数问题,体现了转化思想的应用.
    21.【答案】解:(1)由F2E=2F2D可知,D为线段EF2的中点,
    又PD⊥EF2,故PD是线段EF2的垂直平分线,则|PE|=|PF2|,
    ∵点P在直线EF1上,
    ∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PE|=|EF1|=2|CD|=4>2,
    由椭圆定义可知,点P的轨迹是以F1(−1,0),F2(1,0)为焦点,以4为长轴长的椭圆,即2a=4,c=1,
    ∴a=2,b= 3,
    另当点D坐标为(±2,0)时,P与D重合,不符合题意,
    ∴轨迹C的标准方程为x24+y23=1(x≠±2);
    (2)设M(x1,y1),N(x2,y2),Q(4,t),则曲线Cx24+y23=1上点M(x1,y1)处的切线QM的方程为xx14+yy13=1,
    又切线QM过点Q(4,t),所以x1+ty13=1,
    同理可得x2+ty23=1,故直线MN的方程为x+ty3=1,
    ∴由弦长公式可得|MN|= 1+t29|y1−y2|,
    ∵直线OQ的方程为tx−4y=0,
    ∴d1=|tx1−4y1| 16+t2,d2=|tx2−4y2| 16+t2,
    又∵M,N在直线OQ两侧,
    ∴d1+d2=|tx1−4y1| 16+t2+|tx2−4y2| 16+t2=|tx1−4y1−tx2+4y2| 16+t2=(t23+4)|y2−y1| 16+t2,
    ∴|MN|d1+d2= 1+t29|y1−y2|(t23+4)|y2−y1| 16+t2= t2+9⋅ t2+16t2+12,
    令t2+12=x(x≥12),y=|MN|d1+d2,则y= x−3⋅ x−4x= −12x2+1x+1(x≥12),
    当1x=124,即t=±2 3时,y=|MN|d1+d2有最大值7 312,此时点Q的坐标为(4,±2 3).
    【解析】(1)根据已知条件可得D为线段EF2的中点,进而得出|PE|=|PF2|,由此|PF1|+|PF2|=4>2,根据椭圆的定义可得点P的轨迹是以F1(−1,0),F2(1,0)为焦点,以4为长轴长的椭圆,进而求得轨迹方程,同时注意x≠±2;
    (2)设M(x1,y1),N(x2,y2),Q(4,t),可得切线QM的方程为xx14+yy13=1,而切线QM过点Q(4,t),则x1+ty13=1,同理可得x2+ty23=1,故直线MN的方程为x+ty3=1,利用弦长公式可求得|MN|,直线OQ的方程为tx−4y=0,利用点到直线的距离公式可得d1,d2,进而表示出d1+d2,再由此得出|MN|d1+d2,通过换元后利用二次函数的性质即可得解.
    本题考查椭圆的定义及其标准方程的求法,考查直线与椭圆的位置关系,涉及了点到直线的距离公式,弦长公式等基础知识点,也涉及了曲线的切线方程等二级结论,考查了函数思想,换元思想以及化简求解能力,属于较难题目.
    22.【答案】解:(1)由曲线C1的参数方程为x=4ty=4t2,(t为参数),可得其直角坐标方程x2=4y,
    由x=ρcsθy=ρsinθ,得曲线C1的极坐标方程ρcs2θ=4sinθ.C2: 3ρcsθ−2ρsinθ=2,
    由x=ρcsθy=ρsinθ,得曲线C2的直角坐标方程 3x−2y−2=0.
    (2)将θ=α(ρ>0)代入ρ( 3csθ−2sinθ)=2,
    得ρA=|OA|=2 3csα−2sinα.
    将OA逆时针旋转90°,得OB的极坐标方程为θ=α+π2(ρ≥0),
    所以ρB=|OB|=4sin(α+π2)cs2(α+π2)=4csαsin2α.
    由|OB|=2 3|OA|,得−4csαsin2α=4 3 3csα−2sinα, 3cs2α− 3sin2α−2sinαcsα=0.
    即sin2α= 3cs2α,解得tan2α= 3.
    因为α∈(0,π2),所以α=π6.
    【解析】(1)由曲线C1的参数方程为x=4ty=4t2,(t为参数),消去参数t可得其直角坐标方程,由x=ρcsθy=ρsinθ,代入得曲线C1的极坐标方程.C2: 3ρcsθ−2ρsinθ=2,由x=ρcsθy=ρsinθ,得曲线C2的直角坐标方程.
    (2)将θ=α(ρ>0)代入ρ( 3csθ−2sinθ)=2,得ρA.将OA逆时针旋转90°,得OB的极坐标方程为θ=α+π2(ρ≥0),可得ρB.由|OB|=2 3|OA|,化简即可得出.
    本题考查了极坐标参数方程与普通方程的互化、和差公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
    23.【答案】解:(1)f(x)=|x+2|+|2x−3|=3x−1,x>325−x,−2≤x≤32−3x+1,x<−2.
    即3x−1>6x>32,或5−x>6−2≤x≤32,或−3x+1>6,x<−2,
    解得x>73或x<−1,
    所以原不等式的解集为{x|x>73或x<−1}.
    (2)证明:由(1)知当x=32时,f(x)有最小值72,
    所以m=72,a2+b29=72.
    因为(1a+3b)2=1a2+9b2+6ab,
    所以1a2+9b2+6ab=27(a2+b29)(1a2+9b2+6ab)=27(2+b29a2+6ab+2b3a+9a2b2),
    因为9a2b2+b29a2≥2,6ab+2b3a≥4,当且仅当b=3a时取等号,
    所以(1a+3b)2≥167,当且仅当b=3a时取等号,
    所以1a+3b≥4 77,当且仅当a= 72,b=3 72时取等号.
    【解析】(1)将函数f(x)化为分段函数的形式,再分类讨论解不等式组,最后将各部分的解集取并集即可得到答案;
    (2)由(1)知a2+b29=72,而(1a+3b)2=1a2+9b2+6ab,又1a2+9b2+6ab=27(a2+b29)(1a2+9b2+6ab)=27(2+b29a2+6ab+2b3a+9a2b2),再利用基本不等式可得9a2b2+b29a2≥2,6ab+2b3a≥4,继而得到(1a+3b)2≥167,由此得证.
    本题考查绝对值不等式的解法以及基本不等式的运用,考查不等式的证明,考查分类讨论思想以及推理计算能力,属于中档题.年龄段(单位:岁)
    [15,25)
    [25,35)
    [35,45)
    [45,55)
    [55,65)
    [65,75]
    被调查的人数
    10
    15
    20
    m
    25
    5
    赞成的人数
    6
    12
    n
    20
    12
    2
    X
    2
    3
    4
    P
    215
    815
    13
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