2023年宁夏顶级名校高考数学三模试卷（理科）（含解析）

这是一份2023年宁夏顶级名校高考数学三模试卷（理科）（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年宁夏顶级名校高考数学三模试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知集合，，则中的元素个数为(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知，复数是实数，则(    )A.  B.  C.  D. 3.  命题“有一个偶数是素数”的否定是(    )A. 任意一个奇数是素数 B. 任意一个偶数都不是素数
C. 存在一个奇数不是素数 D. 存在一个偶数不是素数4.  如图，是年在陕西宝鸡贾村出土的一口“何尊”尊为古代的酒器，用青铜制成，尊内底铸有行、字铭文铭文中写道“唯武王既克大邑商，则廷告于天，曰：余其宅兹中国，自之辟民”，其中宅兹中国为“中国”一词最早的文
字记载“何尊”可以近似看作是圆台和圆柱组合而成，经测量，该组合体的高约为，上口的直径约为，圆柱的高和底面直径分别约为，，则“何尊”的体积大约为(    )
 A.  B.  C.  D. 5.  已知，是第一象限角，且，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 6.  已知两条不同的直线，及三个不同的平面，，，下列条件中能推出的是(    )A. 与，所成角相等 B. ，
C. ，， D. ，，7.  函数在区间上存在零点则实数的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 8.  如图，圆的半径为，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，将的面积表示为的函数，则在上的图象大致为(    )
 A.  B.
C.  D. 9.  在中，，，的平分线交于点若则(    )A.  B.  C.  D. 10.  已知双曲线的上、下焦点分别为，，若存在点，使得，则实数的取值范围为(    )A.  B.  C.  D. 11.  英国数学家泰勒年提出了泰勒公式，这个公式是高等数学中非常重要的内容之一其正弦展开的形式如下：，其中，，则的值约为弧度(    )A.  B.  C.  D. 12.  已知关于的不等式对任意恒成立，则的最大值为(    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  已知的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，则 ______ ．14.  若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为______ ．15.  已知直线：被圆：所截得的弦长为整数，则满足条件的直线有______ 条16.  已知的三边分别为，，，所对的角分别为，，，且满足，且的外接圆的面积为，则的最大值的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
已知公差不为零的等差数列的首项为，且，，是一个等比数列的前三项，记数列的前项和为．
求数列的通项公式；
求数列的前项的和．18.  本小题分
如图所示，在四棱锥中，平面，，，且，．
求证：平面；
若为的中点，求与平面所成角的正弦值．
19.  本小题分
某高校为了解全校学生的阅读情况，随机调查了名学生的每周阅读时间单位：小时并绘制如图所示的频率分布直方图．
求这名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差同一组的数据用该组区间中点值代表；
由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间大致服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．
一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且利用直方图得到的正态分布，求．
从该高校的学生中随机抽取名，记表示这名学生中每周阅读时间超过小时的人数，求的均值．
参考数据：，若，则．
20.  本小题分
已知椭圆的右焦点为，点，在椭圆上运动，且的最小值为；当点不在轴上时点与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为．
求椭圆的方程；
已知直线：与椭圆在第一象限交于点，若的内角平分线的斜率不存在探究：直线的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21.  本小题分
已知函数在处的切线方程为．
求，的值；
若方程有两个实数根，，证明：；当时，是否成立？如果成立，请简要说明理由．22.  本小题分
如图所示形如花瓣的曲线称为四叶玫瑰线，并在极坐标系中，其极坐标方程为．
若射线：与相交于异于极点的点，与极轴的交点为，求；
若、为上的两点，且，求面积的最大值．
23.  本小题分
设函数，解不等式．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，，
，
的元素个数为：．
故选：．
可求出集合，然后进行并集的运算求出，然后即可得出的元素个数．
本题考查了集合的列举法和描述法的定义，并集的定义及运算，元素的定义，考查了计算能力，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：，
复数是实数，，．
故选：．
由条件式和复数的乘法运算法则求出复数的代数形式即可．
本题考查复数的概念和四则运算，还考查了计算能力，属基础题．
 3.【答案】 【解析】解：由于存在量词命题：，，否定为：，，
所以命题“有一个偶数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”．
故选：．
根据存在量词命题：，，否定为：，，即可解得正确结果．
本题主要考查命题的否定，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：由题意可知，圆台的高度为，
上端圆台的体积为：，
下端圆柱的体积为：，
该“何尊“的体积．
故选：．
根据圆柱和圆台的体积公式即可求解．
本题考查圆柱和圆台的体积公式等基础知识，考查运算求解能力，属中档题．
 5.【答案】 【解析】解：，是第一象限角，，
则，又，，，
，，
．
故选：．
先求出，再利用，，可求的值．
本题考查同角三角函数关系，考查两角和差公式，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：对于，正方体中，设边长为，
连接，则为与平面所成角，
由勾股定理得到，故，
同理可得和所成角的正弦值为，
故AC与平面和所成角大小相等，
但平面与平面不平行，故A错误；

选项，平面平面，平面平面，
但平面与平面不平行，故B错误；
对于，由，得，又，所以，故C正确；
对于，与可同时平行于与的交线，故D错误．
故选：．
可举出反例；选项，可根据平行的传递性和垂直关系进行证明．
本题考查空间中线面角的概念，面面垂直的证明，线面平行的证明，属中档题．
 7.【答案】 【解析】解：函数在区间上是单调增函数，
函数在区间上存在零点．
可得，解得．
故选：．
利用函数的零点判断定理，列出不等式组，求解即可．
本题考查函数的零点判断定理的应用，是基础题．
 8.【答案】 【解析】解：在直角三角形中，，，
，
，其周期为，最大值为，最小值为，
故选：．
注意长度、距离为正，再根据三角形的面积公式即可得到的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择
本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查了三角形的面积公式．
 9.【答案】 【解析】解：设，因为，，所以，
又是的平分线，所以，，
，
又，所以，，
所以．
故选：．
根据角平分线定理可得，利用三角形法则先将表示出来，再利用向量相等可求出，．
本题考查向量的表示，属于中档题．
 10.【答案】 【解析】解：双曲线的上、下焦点分别为，，
若存在点，使得，满足双曲线的定义，
所以是双曲线上的上支上的点，双曲线的渐近线的斜率为：，而在上，
所以，解得，
即实数的取值范围为．
故选：．
利用已知条件，推出是双曲线上的点，通过的坐标以及双曲线的渐近线方程的关系，求解的范围即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的判断，是中档题．
 11.【答案】 【解析】解：因为，其中，，
两边取导数，得；
所以，
因为弧度，所以；
所以
故选：．
根据题意，将公式两边分别求导，结合诱导公式，即可得到的值．
本题考查了三角函数诱导公式的应用问题，也考查了角度与弧度互化以及推理运算能力，是中档题．
 12.【答案】 【解析】解：关于的不等式对任意恒成立，
设，，
若，对任意恒成立，则，对任意恒成立，
当时，在同一坐标系中作出函数，的图象，

显然，由图可知，对任意不恒成立；
当时，在同一坐标系中作出函数，的图象，

由图可知，临界条件是直线与曲线的图象相切时，
由，求导，
设，解得，且，
当的切线斜率为时，切点坐标为，
故，所以，
即，
两边同除以，令，
求导，
令，得，即，
当，函数单调递增，
当，函数单调递减，
所以当，函数取到最大值，且，
故的最大值为．
故选：．
讨论的取值范围，利用函数图象，结合导数求出，构造函数，利用导数求出函数的最值，进而得解．
本题考查了函数的恒成立问题，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，
即，
．
故答案为：．
由题意，利用二项式系数的性质，求得的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：在区间上不单调，
函数在区间上有极值，
又，令，得或舍去，
，解得，
即实数的取值范围是．
故答案为：．
依题意知，函数在区间上有极值，对求导，求出极值点，从而得到关于的不等式，解之即可．
本题主要考查考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查运算求解能力，属于中档题．
 15.【答案】 【解析】解：由圆：，得圆心，
直线：可化为，即直线过定点
圆心到定点的距离为，
直线：被圆：所截得的最短弦长为，
又过定点的最长的弦长为，
过点垂直轴的直线与圆所截得的弦长恰好为不是整数，
弦长为整数时直线共有条．
故答案为：．
先确定直线过定点，再计算直线被圆截得的最短弦长、最长的弦长，即可求得结论．
本题考查直线与圆的位置关系，考查圆中弦长的计算，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．
 16.【答案】 【解析】【分析】
本题考查的外接圆，正弦、余弦定理的灵活运用和计算能力，考查了二次函数的性质，属于基础题．
由，通分移项，化简，结合余弦定理即可求解角的大小，然后得出的取值范围，通过二次函数的性质得到的最大值是，即可求解．
【解答】
解：由，
可得：，
可得
，
即，那么，
即，，．
的外接圆的面积为，
的外接圆的半径为，
，

，，


令，
则，
在单调递减，
．
则的最大值的取值范围为．
故答案为：．  17.【答案】解：设等差数列的公差为，
又，
所以，
因为，，是一个等比数列的前三项，
所以．
即，
又，
所以，
所以数列的通项公式为；
由知数列的前项和，
所以，
则，，
则数列的前项的和为． 【解析】由已知求出等差数列的公差为，然后结合等差数列通项公式的求法求解即可；
由知数列的前项和，又，，然后求解即可．
本题考查了等差数列通项公式的求法，重点考查了数列的求和，属中档题．
 18.【答案】解：作，垂足为，易证，四边形为正方形．
所以，又，
因为，所以．
因为平面，平面，所以．
又，平面，平面，所以平面．

以点为坐标原点，以，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，．
则，，．
设平面的法向量为，
由，得，
令，可得平面的一个法向量为．
设与平面所成角为，
则． 【解析】先证，，由此即可证得平面；
建立空间直角坐标系，求出，平面的一个法向量为，然后利用公式，即可求得本题答案．
本题主要考查直线与平面所成的角，考查转化能力，属于中档题．
 19.【答案】解：，

．
由题意知，，
，，，
由知，可得，
． 【解析】本题主要考查离散型随机变量期望与方差的求解，以及正态分布对称性的应用，属于中档题．
根据已知条件，结合平均数和方差公式，即可求解．
由题意知，，结合正态分布的对称性，即可求解．
结合正态分布的对称性，以及期望公式，即可求解．
 20.【答案】解：设，椭圆的左、右顶点坐标分别为，，
故，
即，则，
又，即，解得，所以，
即椭圆的方程为．
联立，解得或，又在第一象限，所以，
由题意知的内角平分线的斜率不存在，即该角平分线与轴垂直，
设直线的斜率为，则直线的斜率为，
设，，直线的方程为，即，
由消去得，
因为、为直线与椭圆的交点，所以，即，
把换为得，
所以，
所以，
所以直线的斜率，即直线的斜率为定值． 【解析】设，椭圆的左、右顶点坐标分别为，，即可得到，再根据及求出、，即可得解；
首先求出点坐标，设直线的斜率为，则直线的斜率为，，，表示出的方程，联立求出，把换为得，即可求出、，从而求出直线的斜率，即可得解．
本题考查直线与椭圆的综合问题，属于较难题．
 21.【答案】解：，，，
，或，舍；
证明：由可知，，，，得，
所以当时，单调递减，单调递减；
当时单调递增，单调递增，
所以，
当时，，当时，且，，
，，，．，
，，，．
成立，理由如下：当直线过，时割线方程为，
得．
当直线过，时割线方程为，得，
． 【解析】根据题意得关于、的方程组可求得、值；
对于，通过导数研究图像，从而得其最小值，可得结论；
对于，通过直线过，时割线方程为
与当直线过，时割线方程为，可证的结论．
本题考查导数应用，考查数学运算能力及抽象能力，属于难题．
 22.【答案】解：将代入方程，得，
则的极坐标为．
又与极轴的交点为的极坐标为．
则．
不妨设，，
则，，
所以，的面积


，
所以，当，即时，．
所以，面积最大值为． 【解析】根据已知得到、两点的极坐标，代入距离公式即可；
设，，根据极坐标方程求出、，将三角形面积表示为的三角函数，根据三角恒等变换求三角函数的最大值．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．
 23.【答案】解：，
不等式，即或或，
解得或或，
综上可得原不等式的解集为． 【解析】将函数写成分段函数，再分类讨论，分别求出不等式的解集，从而得解．
本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于基础题．