2021年陕西省西安市未央区西安中学高考二模理科数学试卷

这是一份2021年陕西省西安市未央区西安中学高考二模理科数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，17.【答案】解等内容，欢迎下载使用。
  西安中学高2021届高三第二次模考理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60分）满足2，的集合A的个数是A. 2 B. 3 C. 4 D. 8某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：可以享受折扣优惠金额折扣率不超过500元的部分超过500元的部分若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为A. 1500元 B. 1550元 C. 1750元 D. 1800元在中，，则        A.  B.  C.  D. 若是公比为e的正项等比数列，则是A. 公比为的等比数列 B. 公比为3的等比数列
C. 公差为3e的等差数列 D. 公差为3的等差数列已知双曲的渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率等于 B.  C.  D. 2某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为     B.
C.       D.  2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得是素数，素数对称为孪生素数．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是    B.  C.  D.  设是两平面，是两直线下列说法正确的是    若，，则    若，，则若，，则   若，，，，则            B.  C.             D. 某市政府决定派遣8名干部分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，则不同的派遣方案共有A. 320种 B. 252种 C. 182种 D. 120种在等差数列中，，且，则在中，n 的最大值为    A. 17 B. 18 C. 19 D. 20已知过抛物线焦点F的直线l交抛物线于两点点A在第一象限，若，则直线l的斜率为A. 2 B.  C.  D. 设函数，则使得成立的x的取值范围是 B.
C.  D.              第二卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，共20分）函数图象的一条对称轴是，则的值是______．设复数，满足，，则______．给出下列命题：
命题“若，则”的否命题为“若，则”；
“”是“”的必要不充分条件；
命题“，使得”的否定是：“，均有”；
命题“若，则”的逆否命题为真命题．
其中所有正确命题的序号是______ ．若函数与的图象存在公共切线，则实数a的最大值为________．三、解答题共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生必须作答.第22、23题为选考题.考生根据要求作答.(一）必考题，共60分（本小题满分12分）如图，在平面四边形ABCD中，，，，，
求      若，求BC．
   （本小题满分12分）如图，在三棱柱中，底面ABC是边长为4的等边三角形，，D为BC的中点．
证明：平面．
若是等边三角形，求二面角的正弦值．
   （本小题满分12分）某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有N人，若逐个检验就需要检验N次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k个人，把这个k个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k个人的血液全为阴性，因而这k个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个k个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k个人再逐个进行检验，这时k个人的检验次数为次假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为p．Ⅰ为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验，若，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率；Ⅱ设为k个人一组混合检验时每个人的血需要检验的平均次数（例如5人一组，血液混合在一起检查为阴性，则平均每人检查次数为0.2次）．当，时，求的分布列；是运用统计概率的相关知识，求当k和p满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数． （本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，其长轴长为．求椭圆E的方程；直线交E于两点，直线交E于两点，若求四边形ABCD的面积．（本小题满分12分）已知函数．Ⅰ当时，求函数的单调区间；Ⅱ当时，证明：函数有2个零点．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任意选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.(本题满分10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．求C的普通方程和l的直角坐标方程；求C上的点到l距离的最大值．(本题满分10分）已知，且．
若是恒成立，求x的取值范围；
Ⅱ证明：  
西安中学高2021届高三第二次模考理科数学答案一、1.C2.A3.B4.D5.C6.C7.D8.D9.C10.C11.D12.B二、13.14.15.16.e
三、17.【答案】解：，，
，．
由正弦定理得：，
即，
，
，
；
，
，
，
在中，由余弦定理得：

，
．
 
18.【答案】解：证明：连接B.
因为，，，
所以≌，所以C.
因为D为BC的中点，所以D.
因为D为BC的中点，且，所以．
因为，所以平面．
解：取AD的中点O，连接，因为是等边三角形，所以．
由可知平面，则BC，AD，两两垂直，
故以O为原点，OA所在直线为x轴，过O作BC的平行线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系．
因为底面ABC是边长为4的等边三角形，所以．
因为是等边三角形，所以．
所以，0，，，，
则，．
设平面的法向量，
则，令，得．
易知平面的一个法向量为，
记二面角为，则，
故二面角的正弦值为．
 19.【答案】解：Ⅰ对3人进行检验，且检验结果是独立的，
设事假A：3人中恰好有1人检测结果为阳性，其概率，
Ⅱ，，则5人一组混合检验结果为阴性的概率为，每人所检验的次数为，若混合检验结果为阳性，则其概率为，每人所检验的次数为，
故的分布列为   p 分组时，每人检验次数的期望如下，
，
，
，
不分组时，每人检验次数为1次，要使分组办法能减少检验次数，
则，即，
当时，用分组的办法能减少检验次数．
 20.【答案】解：由已知得：，
解得．所以椭圆E的方程为．设，则联立，则，，同理可得，且B到直线的距离．所以，又，所以．
 21.【答案】解：由于，则当时，，
令，则，当时，；
当时，，
故在上单调递增，由于
从而时，．
综合上述，的单调递增区间为，单调递减区间为．证明：显然，故是的一个零点．
下面先证明：在上无零点．由于，令，，
知在上单调递增，
从而，故在上单调递增，，
从而在上无零点．下证：在上存在唯一零点．
当时，，故在上无零点．当时，，
设，，
，
故在上单调递增，
又，
从而在上存在唯一零点，
当时，当时，
故在上单调递减，在上单调递增，
由于，，
从而在上存在唯一零点，在上没有零点． 综合上述，函数有2个零点．
 22.【答案】解：因为，且，所以C的普通方程为．l的直角坐标方程为．由可设C的参数方程为为参数，．C上的点到l的距离为．当时，取得最大值6，故C上的点到l距离的最大值为3．
 23.【答案】解：Ⅰ，，且，

，
则，
当时，不等式化为，解得，
当，不等式化为，解得，
当时，不等式化为，解得，
综上所述x的取值范围为；
证明：

，
当且仅当时，取得等号．
另解：由柯西不等式可得

，
当且仅当时，取得等号．