2024年陕西省西安市周至县高考数学一模试卷（理科）（含解析）

这是一份2024年陕西省西安市周至县高考数学一模试卷（理科）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若z(1+i)=2i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.设全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,4}，N={2,5}，则N∪(∁UM)=( )
A. {2,3,5}B. {1,3,4}C. {1,2,4,5}D. {2,3,4,5}
3.函数f(x)=sinx1+csx(x∈(−π,π))的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1+a3=30，S4=120，则其公比q=( )
A. 1B. 2C. 3D. 1或3
5.过点A(4,1)的圆C与直线x−y=1相切于点B(2,1)，则圆C的方程为( )
A. (x−3)2+(y+1)2=5B. (x−3)2+y2= 2
C. (x−3)2+(y−8)2=50D. (x−3)2+y2=2
6.如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
7.现有一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为8，若随机去掉一个数xi(i=1,2,3,4,5)后，余下的四个数的平均数为9，则下列说法正确的是( )
A. 余下四个数的极差比原来五个数的极差更小
B. 余下四个数的中位数比原来五个数的中位数更大
C. 余下四个数的最小值比原来五个数的最小值更大
D. 去掉的数一定是4
8.已知函数f(x)=cs(x+φ)，则“f(0)=0”是“f(x)为奇函数”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
9.已知一个圆锥的高与其底面圆的半径相等，且体积为8π3.在该圆锥内有一个正方体，其下底面的四个顶点在圆锥的底面内，上底面的四个顶点在圆锥的侧面上，则该正方体的棱长为( )
A. 23B. 1C. 2− 2D. 4−2 2
10.已知等差数列{an}的公差为π；集合S={sinan|n∈N*}，若S={a,b}，则a+b=( )
A. −1B. 0C. 12D. 1
11.正方形ABCD的四个顶点都在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )
A. (0, 5−12)B. ( 5−12,1)C. (0, 3−12)D. ( 3−12,1)
12.若曲线y=lnx与曲线y=x2+2x+a(x0)上横坐标为3的点M到焦点F的距离为6，则p= ______．
14.将6本不同的书平均分给甲、乙两名同学，则不同的分法种数为______．
15.已知函数y=f(x+1)是偶函数，且在区间(−∞,−1]上是增函数，则不等式f(−2x)>f(−8)的解集为______．
16.南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为1，3，7，13，则该数列的第14项为______．
三、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sinA=sin2B，a=4，b=6．
(1)求csB的值；
(2)求△ABC的面积．
18.(本小题12分)
为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组(不加药物)和实验组(加药物)．
测得40只小鼠体重如下(单位：g)：(已按从小到大排好)
对照组：17.3ㅤ18.4ㅤ20.1ㅤ20.4ㅤ21.5ㅤ23.2ㅤ24.6ㅤ24.8ㅤ25.0ㅤ25.4
26.1ㅤ26.3ㅤ26.4ㅤ26.5ㅤ26.8ㅤ27.0ㅤ27.4ㅤ27.5ㅤ27.6ㅤ28.3
实验组：5.4ㅤ6.6ㅤ6.8ㅤ6.9ㅤ7.8ㅤ8.2ㅤ9.4ㅤ10.0ㅤ10.4ㅤ11.2
14.4ㅤ17.3ㅤ19.2ㅤ20.2ㅤ23.6ㅤ23.8ㅤ24.5ㅤ25.1ㅤ25.2ㅤ26.0
(Ⅰ)求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面2×2列联表：
(Ⅱ)根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
19.(本小题12分)
如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点E在线段DD1上.
(1)求证：AC⊥BE；
(2)当E是DD1的中点时，求直线AC与平面BC1E所成角的正弦值．
20.(本小题12分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程y= 2x，原点到过A(a,0)、B(0,−b)点直线l的距离为 63．
(1)求双曲线方程；
(2)过点Q(1,1)能否作直线m，使m与已知双曲线交于两点P1，P2，且Q是线段P1P2的中点？若存在，请求出其方程；若不存在，请说明理由．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=x−ax+1−ln(x+1)(a∈R)．
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)已知m，n是正整数，且10)，
由f(x)=lnx，得f′(x)=1x，所以公切线的斜率为1x1，
所以公切线方程为y−lnx1=1x1(x−x1)，化简得y=1x1⋅x+(lnx1−1)，
设公切线与函数g(x)=x2+2x+a(x0)的一条渐近线方程y= 2x，可得ba= 2，②由①②可得a=1，b= 2，即可求双曲线方程；
(2)假设直线l存在．由已知条件利用点差法求出直线l的方程为2x−y−1=0，联立方程组，得2x2−4x+3=0，由△−8−1)，
当a>−1时，令f′(x)>0，解得−1mln(n+1)，
即证明ln(1+m)m>ln(1+n)n，
令h(x)=ln(1+x)x，则h′(x)=xx+1−ln(1+x)x2，
令g(x)=xx+1−ln(1+x)，
由(Ⅰ)知，当a=0时，g(x)在(0,+∞)上为减函数，
所以g(x)−1和a≤−1两种情况，判断函数f(x)的单调性即可；
(Ⅱ)证明不等式(1+m)n>(1+n)m成立等价于证明ln(1+m)m>ln(1+n)n，令h(x)=ln(1+x)x，判断h(x)的单调性，进一步证明不等式成立即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用综合法证明不等式，考查了函数思想，分类讨论思想和转化思想，属中档题．
22.【答案】解：(1)曲线C1的参数方程为x=t+8t,y=t−8t(t为参数)，
∴x2−y2=(t+8t)2−(t−8t)2=16−(−16)=32，
又∵x=ρcsθ，y=ρsinθ，
∴ρ2cs2θ−ρ2sin2θ=32，
即ρ2cs2θ=32，
∴曲线C1的极坐标方程为ρ2cs2θ=32；
(2)将θ=π6代入C1的极坐标方程得，ρ2csπ3=32，
则ρ2=64，即|OA|=8，
将θ=π6代入C2的极坐标方程得，ρ=2 3csπ6，
则ρ=3，即|OB|=3，
∴|AB|=|OA|−|OB|=5，
∵点P(4,0)，
∴点P到射线l的距离d=4×sinπ6=2，
∴△PAB的面积为12×|AB|×d=12×5×2=5．
【解析】(1)先把曲线C1的参数方程化为普通方程，再利用x=ρcsθ，y=ρsinθ化为极坐标方程即可；
(2)将θ=π6分别代入C1和C2的极坐标方程，求出|OA|，|OB|的值，进而求出|AB|的值，再利用三角形面积公式求解．
本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，考查了三角形面积公式的应用，属于中档题．
23.【答案】解：(1)当x−52，
当12≤x≤3时，f(x)=2x−1+x−3=3x−4∈[−52,5]，
当x>3时，f(x)=2x−1−x+3=x+2>5，
综上，f(x)=−x−2,x3，可知当x=12时，f(x)有最小值−52，
所以m=−52；
(2)证明：由(1)可得a+b=5，因为a，b为正实数，
所以a2b+b≥2a,b2a+a≥2b，当且仅当a=b=52时等号成立，
所以a2b+b2a≥a+b=5．
【解析】(1)讨论去绝对值可得f(x)的解析式及最小值；
(2)由(1)可得a+b=5，利用基本不等式可得答案．
本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式的证明，基本不等式的应用，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．