最新中考几何专项复习专题19 几何最值之阿氏圆知识精讲

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高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提，学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练，获得知识、发展能力的一种教学模式。
策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊
总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。
策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。
几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。
几何最值之阿氏圆知识精讲
在平面上，到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上，即对于平面内的定点A、B，若平面内有一动点P满足PA:PB＝1，则P点轨迹为一条直线(即线段AB的垂直平分线)，如果这个比例不为1，P点的轨迹又会是什么呢？两千多年前的阿波罗尼斯在其著作《平面轨迹》一书中，便已经回答了这个问题。接下来，让我们站在巨人的肩膀上，一起探究PA：PB＝k(k≠1)时P点的轨迹。
对于平面内的定点A、B，若在平面内有一动点P且P满足PA：PB＝k(k≠1)，则动点P的轨迹就是一个圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”，如图所示：
借助画板工具我们发现，动点P在运动过程中，PA、PB的长度都在变化，但是PA：PB的比值始终保持不变，接下来我们在深入研究一下！
若，设，如图所示：
由图可以发现在AB上存在点C使得，在AB延长线上存在点D使得，也就是说，当点P与点C、D重合时，符合条件；
当点P不与点C、D重合时，对于任意一点P，连接PA、PB、PC，可得，所以PC为△PAB一条内角平分线，再连接PD，可得，所以PD为△PAB一条外角平分线，所以PC⊥PD，即∠CPD＝90º，所以点P的轨迹是以CD为直径的一个圆.
当我们遇到平面内一动点到两定点之比为定值且不为1的情况时，可以在过两定点的直线上按定比确定内分点和外分点，并以之为直径做圆从而确定动点的轨迹.
如何具体证明P点的轨迹就是一个完整的圆呢？
分别取线段AB的内外分点C、D，再取CD中点O，可得，设，则，由线段位置关系可得AC＋BC＋BD＝AD，则，解得，.
又，即，
整理得，即，
当点P在一个以O为圆心，r为半径的圆上运动时，如图所示：
易证：△BOP∽△POA，，∴对于圆上任意一点P都有.
对于任意一个圆，任意一个k的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取A、B点，则需，就可以构造出上述的A字型相似(详见本专辑的相似模型).
例1、如图，正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上一动点，则的最小值为 ，的最大值为 .
【解答】最小值为5，最大值为5
【解析】在BC上取一点G，使得BG＝1，连接PG、DG，如图所示：
∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，，
∴，
在△PDG中，DP＋PG≥DG，∴当D、G、P共线时，的值最小，
最小值为；
当点P在DG的延长线时，的值最大，如图所示：
此时最大值也是DG，最大值为5.
例2、如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，点P为弧AB上一动点，求的最小值.
【解答】
【解析】当A、P、D三点共线时，的值最小.
连接PB、CO，AD与CO相交于点M，如图所示：
∵AB＝BD＝2,BD是⊙O的切线,
∴∠ABD＝90º,∠BAD＝∠D＝45º,
∵AB是⊙O直径,∴∠APB＝90º,
∴∠PAB＝∠PBA＝45º,∴PA＝PB,PO⊥AB,
∵AC是⊙O的切线,∴AC⊥AB,
∴AC∥PO,∠CAO＝90º
∵AC＝PO＝1,
∴四边形AOPC是平行四边形,
而OA＝OP,∠CAO＝90º,
∴四边形AOPC是正方形,
，
∴PC＋PD＝PM＋PD＝DM,
∵DM⊥OC,∴由"垂线段最短"可知此时PC＋PD的值最小，
最小值为.